数学第十章 复数10.2 复数的运算10.2.2 复数的乘法与除法学案

10.2.2  复数的乘法与除法

1.理解复数的乘除运算法则.

2.会进行复数的乘除运算．(重点)

3.掌握共轭复数的运算性质．(易混点)

4.掌握实系数一元二次方程在复数范围内的求解

重点：会进行复数的乘除运算；

难点：实系数一元二次方程在复数范围内的求解；

一、复数的乘法

1．定义

一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：

z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝                        .

2．运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

z1·z2＋z1·z3；   z2·z1； z1·(z2·z3)

3.运算性质

zm·zn＝     ，(zm)n＝    ，(z1z2)n＝    .(其中m，n∈N＋)．

4．i的乘方运算性质

i4n＋1＝  ；i4n＋2＝    ；i4n＋3＝   ；i4n＝  .

5．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)        ．

zm＋n； zmn；zz；zz；zz

二、复数的除法

1．定义；如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝   (或z＝      )，z1称为被除数，z2称为除数．

2．意义

一般地，给定复数z≠0，称为z的     ，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，因此可以利用              可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝.

3．复数倒数运算

设z＝a＋bi，则＝         ，且＝.

4．复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝                    .

；＋i

三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总有解，而且

(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个          的虚数根．

互为共轭

一、    情境与问题

复数的乘法

我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即时，有

而且，实数的正整数次幂满足，

, , ,

其中均为正整数,那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？

    设，，你认为的值与的值分别等于多少，由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则。
        一般地，设, ，称（或）为，并规定

（）（ ）

     这就是说,为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，

并利用即可。

【例1】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)

A．5－4i　　　　 B．5＋4i

C．3－4i D．3＋4i

(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　)

A．－2－3i　　　 B．－2＋3i

C．2－3i D．2＋3i

(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.

跟踪训练1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝_____________.

复数的除法
        我们知道，在实数中

下面我们按照类似的方法得到复数除法的定义

           如果复数 ,则满足复数为除以的商，

并记作在(或)
而且同以前一样，为被除数，为除数。

      利用复数除法的定义，可以证明当为非零复数时，有

设实数满足

利用方程组求的值，并思考是否有其他方法可以求出

 上述尝试与发现的式子可以改写为

为了求出的值，我们将上述等式右边看成一个分式，这样一来就只要想办法把变成一个

实数即可,注意到

因此，===

上面这种方法称为“分母实数化”

     一般的给定复数 称为的倒数，的商也可以看成与的倒数之积，显然，利用“分母实数化” 可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商（除数不能为零）

【例2】　＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

(2)i是虚数单位，复数＝(　　)

A．1－i B．－1＋i

C.＋i D．－＋i

跟踪训练2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)

A．＋i　　　 B．－i

C．－＋i D．－－i

(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1　　　　 B．2

C. D．

实系数一元二次方程在复数范围内的解集

我们已经知道虚数单位 是方程的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数，那么方程在复数范围内的解集是什么？

可以

例3.在复数范围内求方程的解集.

1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)

A．4＋2i　　　　　 B．2＋i

C．2＋2i D．3

2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.

4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

5．计算：

(1)(1－i)(1＋i)；

(2)；

(3)(2－i)2.

1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．

2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．

3．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．

4．对共轭复数的理解：

(1)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，其中a＋bi与a－bi是一对共轭复数，这是虚数实数化的一个重要依据．

(2)互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z.

参考答案：

学习过程

二、    典例解析

【例1】（1）D　(2)C　(3)5－5i　[(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，

∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.

∴＝2－3i.故选C.

(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]

跟踪训练1．4＋3i或－4－3i　

[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，

z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.

∵z1·z2是纯虚数，

∴解得或

∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]

【例2】　(1)D　(2)A　[(1)法一：＝＝＝＝＝－1－i.

故选D.

法二：＝(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．

(2)＝＝＝1－i，故选A．]

跟踪训练2．(1)B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．

∴z＝＝＝＝－i.

(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，

∴|z|＝＝.]

例3.【解】因为，

所以原方程可以化为，从而可知或，

因此或，所求解集为.

达标检测

1．A　[z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.]

2． B　[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．]

3．2　[因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.]

4． 　[设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.]

5．计算： [解]　(1)法一：(1－i)(1＋i)＝(1＋i)

＝(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.

法二：原式＝(1－i)(1＋i)＝(1－i2)＝2＝－1＋i.

(2)＝＝＝＝＝i.

(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.