必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法教案

10.2.2 复数的乘法和除法（1）

本节内容为复数代数形式的乘除运算，要求掌握复数的代数形式的乘、除运算及共轭复数的概念。本次内容为复数代数形式的乘除运算的教学。复数代数形式的四则运算，即复数代数形式的加法、减法、乘法和除法，重点是加法和乘法。复数加法和乘法的法则是规定的，其合理性表现在这种规定与实数的加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立。由减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算的规定，就可以得到复数减法、除法的运算法则。复数代数形式的四则运算可以类比代数形式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用=-1，将它们归结为实数的四则运算。本节课的教学重点是复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念；解决它关键是能够将实数的乘法过度过来，而复数的除法中要涉及到共轭复数，一定要利用共轭复数将分母实数化。

【教学重点】

1.掌握复数的乘法和除法运算法则；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。

【教学难点】

复数除法中分母的实数化。

（一）、复习准备：

1、复数的加减法的几何意义是什么？

向量的加法、向量的减法

2、计算

（1）  （2） （3）

答案：（1）   （2）  （3）

（二）、讲授新课：

引入：计算：（1）  （2）

（类比多项式的乘法引入复数的乘法）

解析：（1）

（2）

问题1：类比多项式的乘法，定义复数代数形式的乘法法则

复数的乘法法则：

一般地，设 ，称（或）为与的积，

并规定

两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把换为，并且把实部与虚部分别合并即可．

例1.计算（1）                （2） 

解：（1）

（2）

（3）        （4）

解：

（3）

（4）

（5）      （6）

解：（5）

（6）

问题2：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

交换律．

结合律：．

分配律：．

例2.已知，求证：

证明：根据复数乘法的定义有：

以上结论可以总结为：

变式训练：

1．已知复数，则(   )

A． B． C． D．3

解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i2＝﹣2+i，

∴|z|．

故选A．

2．若，则（   ）

A． B． C． D．

解：，，.故选A

3．在复平面内表示复数（1﹣i）（a+i）的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）

解：，对应点为，

由题意，解得．

故选：B.

例3.已知复数，若，试求的值。

问题3.复数的除法

如果 则满足的复数称为除以的商，并记作：

其中，称为被除数，称为除数.

探究：究类比，试写出复数的除法法则。

:探

注：其中共轭复数叫做实数化因子，其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．

例3.解析：

例4：计算

（1）               （2） [来

解析:

（1）

（2） [来

设计意图:运用复数的除法法则，使学生能够尽快将其掌握。

变式训练1：

计算                

解析：

变式训练2：

1．（    ）

A． B． C． D．

解：，故选：A

2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（    ）

A． B． C． D．

解：由题，在复平面对应的点为（1,1），

关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为.

故选：D

3．已知，其中是虚数单位，那么实数=       ．

解：由已知，故

拓展练习：

1．已知是虚数单位，且复数满足.

（1）求；

（2）若是纯虚数，求实数的值.

解：（1）因为，

故可得.

故.

（2）由（1）可知：

又因为其为纯虚数，故可得，

解得.

2．设复数.

（1）若为纯虚数，求a的值；

（2）若，求a的值.

解：（1），

由为纯虚数，

得，，

所以.

（2）由，

得，

所以，

所以.

3．已知复数z=.

(1)求复数z.

(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.

解：(1)z====1+i.

(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,

得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,

整理得a+b+(2+a)i=1-i,

所以

解得

小结：

1.复数的乘法法则：

2.复数的除法法则：

3.复数乘法的运算律：

（1）交换律：

（2）结合律: 

（3）分配律：