高中人教B版 (2019)10.2.2 复数的乘法与除法教案

10.4 复数习题课

本章首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二部分，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式.第三部分，引入了复数的三角形式，赋予了复数的乘法、除法几何意义，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具.

【教学重点】

复数的相关概念、复数的加法和减法及几何意义、复数的乘法和除法、复数的三角形式的乘法和除法及几何意义

【教学难点】

复数的三角形式、三角形式的的乘法和除法及几何意义

考点1：复数的相关概念

1．虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起，服从实数的运算律．

2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．

3．复数的分类

复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，

z是实数⇔b＝0，　z是虚数⇔b≠0

z是纯虚数⇔.

4．a＋bi与a－bi(a、b∈R)互为共轭复数

5.复数相等的条件：a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d.

特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0.

【典型例题】

例1. 实数m取什么数值时，复数分别是：

(1)实数？  (2)虚数？  (3)纯虚数？

【答案】（1）；（2）；（3）.

解：(1)当，即时，复数z是实数；

(2)当，即时，复数z是虚数；

(3)当，且时，即时，复数z是纯虚数.

例2. 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可得：，所以虚部为.

故选C

例3. 已知，则是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

,因此是“”的充分不必要条件,选A.

例4. 已知（其中是虚数单位），则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

,，故选C.

【变式练习】

1．若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________.

【答案】－1

【解析】

，

∴的虚部为，故答案为.

2．已知复数，复数，给出下列命题：

①；②；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

由复数，复数，

可得复数，复数，

对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴①错误；

对于②: ， ，,∴②正确；

对于③: 复数与其共轭复数，在复平面内的点分别为，

关于实轴对称,∴③正确；

对于④:复数为实数，虚部为0,∴④正确.

综上,真命题3个，

故选：C.

考点2：复数的运算法则

z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．

（1）z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；

（2）z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

（3）＝＋i.

【典型例题】

例5.若复数，则______. 

【答案】

【解析】

复数，

．

故答案为：．

例6.已知，i为虚数单位.

（1）若，求；

（2）若，求实数a，b的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）已知，，

，

.

（2），

，

，解得.

【变式练习】

1．表示虚数单位，则______.

【答案】1

【解析】

解：

且，，，，……

故答案为：

2．已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.

(1)求；

(2)求的值.

【答案】（1）；（2）2

【解析】

 (1)因为|3+4i|=5,

所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.

(2)===2.

3. 已知复数，为虚数单位.

（1）求的值；

（2）类比数列的有关知识，求的值.

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）复数为虚数单位），

，

，

（2）

考点3：复数的几何意义

1.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量，与复数z一一对应，的模叫做复数z的模．

2.复数加法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以与为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是，

3.复数减法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与

根据向量加法的三角形法则有：．于是：．

由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．

【典型例题】

例7. 在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，那么对应的复数为(　   　)

A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i

【答案】C

【解析】

，选C.

【变式练习】

1.若复数的对应点在直线上，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】

∵，

∴在复平面内对应点的坐标为，

由题意，则．

故选：C．

2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票（如图）.这枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

.

故选：A.

3. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.

考点4：复数的三角形式及几何意义

1.复数的三角形式

z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角.

在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.

为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.

2.复数三角形式的乘法法则

法则：r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］

模相乘，辐角相加.

几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为，当时，按逆时针方向旋转角，当时，按顺时针方向旋转角.

3.复数三角形式的除法法则

法则：

模相除，辐角相减.

几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点O旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为.当时，按顺时针方向旋转角，当时，按逆时针方向旋转角

【典型例题】

例8. 计算：

(1)× ；

(2)2；

(3) 2÷

解：　(1)原式＝×

＝＝－i.

(2)原式＝2×2

＝4

＝4

＝4＝－2－2i.

(3) 原式＝＝.

例9.如图，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到1.求向量1对应的复数(用代数形式表示)

解：向量1对应的复数为

(－1＋i)(cos 150°＋isin 150°)

＝(－1＋i)＝－i.

例10. 如图，若1与2分别表示复数Z1＝1＋2i，Z2＝7＋i，求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2的形状．

解　＝

＝＝(1＋i)

＝， 

∴∠Z2OZ1＝，且＝.

∴△OZ1Z2为直角三角形．

【变式练习】

1.复数2×＝_________.

【答案】5i

2. 设3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角主值是(　　)

A．＋θ B．－θ

C．θ－ D．－θ

【答案】A

【解析】根据复数乘法的几何意义得，(3＋4i)·i对应的向量是由复数3＋4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的，所以(3＋4i)·i的辐角主值为θ＋.

3. 复平面内向量对应的复数为2＋i，A点对应的复数为－1，现将绕A点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，则点C对应的复数为_________.

【答案】－2i

【解析】向量对应的复数为＝＝－(2＋i)i＝1－2i，

∵＝＋，∴对应的复数为－1＋(1－2i)＝－2i.

即点C对应的复数为－2i.

小结：