必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论导学案

11.2 平面的基本事实与推论

【学习重点】

平面的基本事实和推理

【学习难点】

符号语言、文字语言、图形语言之间的转换

引入：

问题：在初中几何中，点与直线有哪些基本事实？

（1）连接两点的线中，线段          

（2）过两点有           条直线，并且           一条直线.

结论（2）也可以简单地说成“两点确定一条直线”，事实上，通过指定的一个点可以作           条直线，通过指定的三个点，不一定能作一条直线。

问题1：平面的基本事实

基本事实1：

文字表示：经过                   的3个点，有且只有一个平面.

符号表示：                                                       

图形表示：

注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定        平面”

(2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用           表示.

(3)如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有：

    ，          

(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有           个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，

例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有           个平面.

作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面

基本事实2：

文字表示：如果一条直线上的           在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

符号表示：                              

图形表示：

作用：

①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面

注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：

如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是           。

例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有           点在球面上.

基本事实3：

文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号表示：                                                   

图形表示：

注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有           个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的           ，

如图所示，有；

（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出        或       ，如图所示；

（2）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是           的，而且公共棱是交线的           .

作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上

【对点快练】

1．下列说法正确的是(　　)

A．三点可以确定一个平面

B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内

C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点

D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合

2．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则(　　)

A．C∈α　 B．C∉α　

C．AB⊄α　 D．AB∩α＝C

问题2：由平面的基本事实得到的推论

推论1：

文字表示：经过一条直线与                      ，有且只有一个平面.

符号表示：                                                     

图形表示：

注：(1)这是由基本事实1与基本事实2得到的，

如图，在直线上取两点，因为，所以3点不共线.

由基本事实1可知，确定     个平面，记为，由基本事实2以及可知.

(2)推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定       个平面.

推论2：

文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

符号表示：                                   

图形表示：

推论3：

文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面

符号表示：                                               

图形表示：

注：（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”。

（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的。

（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立.

【对点快练】

1．下列说法不正确的是(　　)

A．三角形是平面图形              B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．平行四边形是平面图形          D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立

2．经过空间任意三点作平面(　　)

A．只有一个　　　　 B．可作二个

C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个

例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；

(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC．

【变式练习】A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是(　　)

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β ＝直线AB

C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合

D．l⊄α，A∈l⇒A∉α

例2.证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.

【变式练习1】

已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．

【变式训练2】

如图，已知E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点．

求证：E，F，G，H四点共面．

例3.如图所示的正方体中，E是棱上的一点，试说明3点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线.

【变式练习】

如图所示，在正方体中．

画出平面与平面及平面与平面的交线．

例4. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．

【变式练习】

如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的AB、BC、CD、DA边上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．

例5. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．

【变式练习】

如图所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且＝＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．