人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论授课课件ppt

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11.2　平面的基本事实与推论
1. .理解平面的三个基本事实与三个推论,会运用三种语言表示事实和推论.2.能进行文字语言、图形语言、符号语言之间的互相转化.
前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力与逻辑推理能力. 在初中几何中，大家通过实验、观察得到了如下的点与直线的基本事实(1)连接两点的线中，线段最短;(2)过两点有一条直线，并且只有一条直线.
结论(2)也可简单地说成“两点确定一条直线”. 事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线;通过指定的三个点，不一定能作一条直线. 下面我们来总结出空间中关于平面的基本事实《也称为公理).
观察如图 11-2-1的凳子，把凭面看成一个平面，思考(1)如果要把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点?(2)有多少个平面能通过空间中指定的一点? 有多少个平面能通过空间中指定的两点?
基本事实 1 经过不在一条直线上的 3 个点，有且只有一个平面.
这也可以简单地说成“不共线的3 点确定一个平面”，过不共线的 3 点A，B，C的平面，通常记作平面ABC.在用图形直观地表示平面时为了增加立体感，习惯上将平面用平行四边形表示。如图 11-2-2 中的平面B.图 11-2-2a 可以看成由不共线的3点 A，B，C 确定的，此时显然有
值得注意的是，如果给定的 3 个点在同一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这 3 个点不能“确定”一个平面， 例如，如果给定的 3 个点都在长方体的一条棱上，那么过这3 个点就会有无数个平面.
结合图 11-2-3 思考: 直线上至少已知几个点在某平面内时，就能确保直线在该平面内?
基本事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
这就是说，如果A∈a，B∈a，那么直线 ，如图11-2-4 所示.
基本事实 2 还可以作为判断一个面是否是平面的依据:如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有这两个点在球面上，如图 11-2-5 所示.
如图 11-2-6 所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的.裁纸刀裁出的是什么样的痕迹?两个平面相交时，公共点具有什么特点?
基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有条过该点的公共直线.
同前面一样，在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画成虚线或不画，如图 11-2-7(1)(2)所示.
根据基本事实 3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分. 由以上平面的基本事实可以得到如下推论.
推论 1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面
这实际上是由基本事实1与基本事实2 得到的如图 11-2-8 所示，在直线l上取两点A，B，因为 C∉l，所以A，B，C 3 点不共线.
推论1可以简单地说成“直线与直线外一点确定一个平面”.
类似地，还可以得到如下两个推论.
推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
推论 2 与推论 3 可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面“两条平行直线确定一个平面”
已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面? 为什么?
证明:两两相交且不过同一个点的 3 条直线必在同一个平面内.
设直线 AB，BC，AC 两两相交，交点分别为 A，B，C.显然，A，B，C 3 点不共线，因此它们能确定一个平面a.因为 A ∈ a ，B∈ a ，那么直线 ABCa.同理AC3 a ，BC4 a .即直线 AB，BC，AC 都在平面a内.
如图11-2-9 所示正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，E 是楼CC₁，上一点.试说明 D₁，A，E 3 点确定的平面与平面 ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.