高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台教学设计及反思

11.1.4棱锥与棱台

本小节是人教B版必修四《立体几何初步》的第4课时，在学习了多面体和棱柱的基础上，进一步学习特殊的多面体——棱锥与棱台。本节内容仍然从实物模型，整体观察入手，引导学生认识棱锥、棱台的结构特征；用运动的观点形成棱锥、棱台的概念，用运动变化的观点理解棱锥、棱台的概念和相互之间的关系；重视立体几何知识和平面几何知识间的“类比”，体会空间问题转化为平面问题的“转化”思想；会借助几何关系计算棱锥与棱台的棱长和表面积。教学过程中，要从整体到局部，从具体到抽象，充分通过直观感知，操作确认，多角度、多层次地揭示空间图形地本质，突出几何体地本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力，倡导学生积极主动，勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会比较、划归、分析等一般科学方法的运用。

【教学重点】

棱锥与棱台的概念和结构特征、棱锥与棱台的棱长和表面积运算

【教学难点】

运动变化的观点理解棱锥、棱台的概念和相互之间的关系、空间问题转化为平面问题的转化方法

问题1：棱锥

知识点1：棱锥的定义

如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥．

思考：（1）各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？

解答：如图所示的几何体，各个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥．

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明．

解答：不一定，如图．

知识点2：棱锥的结构特征

棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱．

知识点3：棱锥的分类

按底面的形状分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)，五棱锥(底面是五边形)，…….

如图11-1-31，（2）是一个四棱柱、（3）是一个三棱锥、（4）是一个五棱锥.

知识点4：棱锥的表示

棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示，例如四棱锥可表示为：四棱锥P－ABCD或四棱锥P－AC．

知识点5：棱锥的高和侧面积

过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积．

如图，PO为棱锥的高，因此面ABCD

从而可知：

知识点6：正棱锥及其性质

(1)正棱锥的定义：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．

(2)正棱锥的性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．

例1.如图是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥

（1）写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；

（2）求棱锥的高和斜高；

（3）求棱锥的侧面积

解：（1）直线PA与直线CD异面，直线面ABCDEF=A

（2）作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC=1

在中，可知： ；

设BC的中点为M，由为等腰三角形可知， ，因此PM为斜高，从而

（3）因为的面积为：.

故棱锥的侧面积为：

【变式练习】

已知正四棱锥的底面边长为4，高是2，则它的表面积为________.

答案：16＋16

解析：如图，

∵AO＝2，OB＝2，

∴AB＝2.

又∵S侧＝4××4×2

＝16，

S底＝4×4＝16，∴S表＝S侧＋S底＝16＋16.

问题2：棱台

知识点1：棱台的定义

一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台．原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱．

知识点2：棱台的分类及表示

按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……，棱台可用上底面与下底面的顶点表示，例如底面是四边形的棱台可表示为四棱台ABCD－A′B′C′D′.

如图所示的棱台 ，可以看出是从棱锥P-ABCD上截去棱锥得到的.

知识点3：棱台的高和表面积

过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高．棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积．

知识点4：正棱台及其性质

(1)正棱台的定义：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．

(2)正棱台的性质：正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．

【概念辨析】

1．思考辨析

(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．(　　)(2)棱台的侧面都是等腰梯形．(　　)

答案　(1)×　(2)

2．下列命题中正确的是(　　)

A．棱台的侧面可以是平行四边形

B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．棱台的底面是两个相似的正方形

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

答案：D　棱台的侧面是梯形，一定不会是平行四边形，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形．

例2.如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长和侧棱长都为1，与分别是下底面和上底面的中心.

（1）求棱台的斜高；

（2）求棱台的高.

解：（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形。

如图所示，在梯形中，分别过作AC的垂线与，

则由

可知 ，从而

，即斜高为.

（2）根据与分别为下底面和上底面的中心，以及下底面边长和上底面的边长分别为2，1,可以算出：

假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的，则由已知可得

VO是棱锥的高，是棱锥的高，是所求棱锥的高.

因此是一个直角三角形，画出这个三角形，如图所示，则是的中位线.

因为棱台的棱长为1，所以，从而

因此：

因此棱台的高为：

【变式练习】

1.关于几何体ABC－A1B1C1，平面ABC与平面A1B1C1平行，其中能构成棱台的是(　　)

A．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝2，B1C1＝2

B．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝3，A1C1＝4，B1C1＝4

C．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝4，B1C1＝4

D．AB＝2，AC＝4，BC＝3，A1B1＝5，A1C1＝3，B1C1＝4

答案：C　

由于棱台的两个底面互相平行，侧棱延长后相交于一点，因此棱台的对应边成比例，通过计算可知答案．

∵A中＝≠，B中≠，D中≠≠，只有C中＝＝＝，∴只有C能构成棱台．

2. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为2，求该三棱台的侧面积．

解：设正三棱台侧面梯形的高为h′，则h′＝ ＝2.

∴S棱台侧＝3×(d＋d′)h′＝3×(2＋6)×2＝24.

即该三棱台的侧面积为24.

小结：

1．棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．

2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．

3．计算锥体和台体的表面积，注意四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用．