高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试复习课件ppt

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试复习课件ppt

第二十二讲正弦定理和余弦定理回归课本1.正弦定理(1)内容: =2R(其中R为△ABC外接圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;② (其中R是△ABC外接圆半径)③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;④a:b:c=sinA:sinB:sinC.2.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA. (2)余弦定理的变形 (3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2. 3.解斜三角形的类型在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:4.测距离的应用5.测高的应用6.仰角､俯角､方位角､视角(1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示. (2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.(3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.7.△ABC的面积公式有考点陪练答案:C答案:C答案:D4.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若 B=45°,则角A等于( )A.30° B.30°或105°C.60° D.60°或120°答案:D5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°, a,则( )A.a>bB.aAC知∠C>∠B,则∠C有两解. (1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得:S= AB·AC·sinA= ×2×sin90°= .(2)当C为钝角时,∠C=120°,∠A=30°,由三角形面积公式得:S= AB·AC·sinA= ∴△ABC的面积为 或解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2× ×|BC|×∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.(1)当|BC|=2时,S△= |AB|·|BC|·sinB(2)当|BC|=4时,S△= |AB|·|BC|·sinB∴△ABC的面积为 或 [反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能力.类型二 判断三角形的形状解题准备:1.这类题型主要是利用正､余弦定理及其变形,把题设条件中的边､角关系转化为角或边的简单关系,从而进行判断.2.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断该三角形的形状.[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系. [解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B).得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.∵0180°,故B=135°不适合题意,是个增解.这个增解产生的根源是忽视了a>b这一条件,根据三角形的边角关系,角B应小于角A,故B=135°应舍去. [正解]在△ABC中,由正弦定理可得因为a>b,所以A>B,所以B=45°.[答案]45°[评析]已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,一定要注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个.错源二 因忽视边角关系而致错【典例2】在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形[剖析]上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个角之间的关系:2A+2B=180°. [答案]D[评析]判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全,避免遗漏.错源三 因忽视角的范围而致错【典例3】在△ABC中,若A=2B,求 的取值范围.[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得因为0b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在△ABC中由余弦定理,得解得a=14或a=4,所以最大边长为4或14.[剖析]上述错解忽视了已知条件a=4+b中隐含的a>4这一要求. [正解]由 可得b-c=4,所以a>b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在△ABC中由余弦定理,得解得a=14或a=4,因为a=4+b,所以a>4,所以最大边长为14. [评析]对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件,一定要善于挖掘.错源五 忽视内角和定理的限制[答案]A技法一 方程思想【典例1】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明:sinα+cos2β=0;(2)若AC= ,求β的值. [方法与技巧]第(2)问借助正弦定理得到“sinβ= sinα”,结合第(1)问的结论消去α角,把问题转化为关于sinβ的一元二次方程,通过解方程求得.此题灵活运用了消元思想和方程思想.技法二 分类讨论思想【典例2】如图,有两条相交成60°的直线xx′,yy′,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx′,Oy′上行驶,起初甲离O点30 km,乙离O点10 km,后来两车均用60 km/h的速度,甲沿xx′方向,乙沿yy′方向行驶(设甲、乙两车最初的位置分别为A,B). (1)起初两车的距离是多少?(2)用包含t的式子表示,t小时后两车的距离是多少? [解](1)由余弦定理,知AB2=OA2+OB2-2×OA×OB×cos60°=302+102-2×30×10× =700.故AB= (km).即起初两车的距离是 (2)设甲､乙两车t小时后的位置分别为P,Q,则AP=60t,BQ=60t.①当0≤t≤ 时,∠POQ=60°.此时OP=30-60t,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2×(30-60t)(10+60t)cos60°=10800t2-3600t+700.②当 时,∠POQ=120°.此时OP=60t-30,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2×(60t-30)(10+60t)cos120°=10800t2-3600t+700.综上知PQ2=10800t2-3600t+700.则故t小时后两车的距离是 [方法与技巧]本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的行驶方向导致以O点为起点的两线段的夹角发生变化,因此必须对两种情况进行分类讨论.技法三 数形结合思想【典例3】在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m后,又从B点测得斜度为45°.设建筑物的高为50 m,求山坡对于地平面的斜度的倾斜角θ的余弦值. [解题切入点]本题是测量角度问题,首先应根据题意画出图形,如图所示.设山坡对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD=θ,这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC;再在△BCD中,利用正弦定理得到关于θ的三角函数关系式,进而解出θ. [方法与技巧]题中已知条件较多,为了求倾斜角,根据题意画出其示意图,将已知条件归结到△ABC与△BCD中.在△BCD中,利用三角形的性质,将∠CDB与角θ联系起来,从而在两个三角形中,利用正弦定理将θ求出.