高中数学高考专题08 数列（解析版）

这是一份高中数学高考专题08 数列（解析版），共26页。试卷主要包含了已知数列的前n项和为，，且.，定义数列，已知数列满足，等内容，欢迎下载使用。

专题08 数列

1．（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
2．（2021·北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，，
所以n的最大值为11.
故选：C.
3．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
4．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
5．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
【答案】5
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：


，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
7．（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
8．（2021·北京高考真题）定义数列：对实数p，满足：①，；②；③，．
（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；
（2）若是数列，求的值；
（3）是否存在p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；
(3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.
【详解】(1)由性质③结合题意可知，
矛盾，故前4项的数列，不可能是数列.
(2)性质①，
由性质③，因此或，或，
若，由性质②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因为或，所以或.
若，则，
不满足，舍去.
当，则前四项为:0，0，0，1，
下面用纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
综上可得：，.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此时，，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
9．（2021·全国高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.
【详解】（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
10．（2021·全国高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列.
【详解】选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以.
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.
11．（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.

1．（2021·山西高三三模（理））《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为（ ）
A．1055里 B．1146里 C．1510里 D．1692里
【答案】B
【分析】由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.
【详解】良马日行里数构成以为首项，为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以为首项，为公差的等差数列，
则两马同时出发后第8日，良马日行里数（里），
而驽马日行里数（里），
所以良马较驽马日行里数多（里）．
故选：B．
2．（2021·全国高三其他模拟（理））数列满足（m，），，（ ）
A．300 B．330 C．630 D．600
【答案】B
【分析】根据给定条件判断数列是等差数列，再借助等差数列的前n项和公式求解即得.
【详解】数列满足（m，），则当时，则，
于是得数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
从而有，
所以.
故选：B
3．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.
【详解】设等比数列的公比为q，则，所以，又，
所以，
故选：A.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】根据并结合已知条件得，故数列为等差数列，进而得，再求和即可得答案.
【详解】∵，
∴，∴．
∴数列为等差数列，公差为．
又∵，故首项为，
∴，∴，
∴．
故选：B
5．（2021·四川绵阳市·广安中学高三其他模拟（理））已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】利用等差数列求和公式及等差数列性质求得
【详解】∴∴，
故选：B.
6．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据题意分析出数列为等比数列，再结合等比数列的性质即可求解结论.
【详解】因为在递增的数列中，，所以数列是单调递增的等比数列，
因为，所以，
所以，解得 或(舍)，
所以，即，————①
又因为，即，———————②
①②联立，解得，.
故选：B.
7．（2021·上海民办南模中学高三三模）已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有（ ）
（1）､､可能成等差数列；
（2）､､可能成等比数列；
（3）中任意三项不可能成等比数列；
（4）当时，恒成立.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】首先根据题意得到数列间的关系，不放假设，可判断（1）；假设､､是等比数列退出矛盾可判断（2）,进而可判断（3）；同（2）一样证明中任意三项不可能成等比数列；当时，可判断（4）；
【详解】因为，
因为是递增正整数数列，所以，
当时，，不满足题意；
所以，若，则，不满足题意；
所以，，
不妨取，，此时､､成等差数列，故（1）正确；
若､､成等比数列，则，
所以，
所以即与矛盾，故（2）错误；
同理假设成等比数列则，
所以，
与矛盾故（3）正确；
当时，且
，
故（4）正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查数列与组合数相结合的综合题，组合数公式，这是正确计算的关键，其次也要注意式子的化简与放缩等.
8．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知数列为等比数列，给出下列结论：
①；
②若，，则；
③当时，；
④当时，.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质可判断①； 由可判断②；由，结合均值不等式可判断③；当时，④不成立.
【详解】设等比数列的公比为
对于①. 则，
所以，故①正确.
对于②. 由题意，所以不正确，所以②不正确.
对于③.
当且仅当时，取得等号. 故③正确
对于④. 当时，，则，故④不正确
故选：D
9．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】D
【分析】由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.
【详解】当时，；
由，当时，，
两式相减，可得，
解得，当时，也符合该式，故．
所以
由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，
故选：D．
10．（2021·山西高三三模（理））已知等比数列的前项和为，若，，，则___________.
【答案】
【分析】根据题意列出方程组，然后求得，进而结合通项公式即可求出结果.
【详解】因为，则，
又由，，得，解得，
则.
故答案为：.
11．（2021·河南高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，若，，则___________.
【答案】8
【分析】根据数列前n项和的意义即可作答.
【详解】数列的前项和为，且，
则.
故答案为：8.
12．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据题意设等差数列的公差为可得且有，联立即可得解；
（2），利用等比数列求和公式以及裂项相消法即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
根据有，
由成等比数列可得，
，
由，所以，
解得，，
所以，；
（2）由（1）可得，
.
13．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）因为，
所以，
当时，，满足，当时，，不满足，
所以，数列的通项公式为.
（Ⅱ）因为，
所以，，
所以，
，所以.
14．（2021·安徽马鞍山市·高三二模（理））已知等差数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为.若，(为奇数)，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）设数列的公差为，令，则，
由，
得，
解得，
所以.
（2），
可知恒成立，
.
又是奇数，
所以.
15．（2021·湖南高三其他模拟）已知数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使得成立的的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值6.
【分析】（1）本题可根据得出，然后通过求出，最后根据等比数列的定义即可求出结果；
（2）本题首先可通过分组求和法得出，然后通过求解即可得出结果.
【详解】（1），即，，
因为，，所以，，
则数列是以为首项、为公比的等比数列，，.
（2）因为，
所以，
因为，所以，，
因为，所以解得，使得成立的的最大值为.
16．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）在等式的两边同除得到新的等式，然后即可证明为等差数列；
（2）先求解出的通项公式，然后即可求的通项公式，采用分组求和以及错位相减法进行求和.
【详解】（1）依题，在两边同时除以，
得，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，可得，
所以，
则数列的前项和，
所以，
令①，
则②，
由①②可得，
所以，
所以．
【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；
（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；
（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.
17．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；
（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.
【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数 得
则，所以数列是等差数列；
（2），则公差
∴，
∴.
18．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列前项和是，且．
（1）设，证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由可求得的值，令，由可得出，整理可得，利用定义可证明出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求得，然后利用错位相减法可求得.
【详解】（1）当时，，可得，
当时，由，可得，
上述两式作差得，即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，；
（2），
则，
所以，，
两式作差得，
因此，.
19．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】（1）由已知条件得到为等比数列，即可得到通项；（2）错位相减求出，根据单调性求出最小值.
【详解】解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，
又，，；
（2），
，，
两式相减，得，
即，又，单调递增，
时，最小，最小值为.