4.6　利用相似三角形测高

1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）

2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）

一、情景导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.

你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？

二、合作探究

探究点一：利用阳光下的影子测量高度

【类型一】 影子在同一平面上时高度的测量

 如图所示，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？

解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.

解：如图，用DC表示人的身高，EC表示人的影长，AB表示旗杆的高度，BC表示旗杆的影长.

由题意知DC＝1.6m，EC＝2m，BC＝8m.

∵太阳光AC∥DE，

∴∠E＝∠ACB.

又∵∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DCE.

∴＝，即＝.

解得AB＝6.4（m）.

故旗杆的高度是6.4m.

方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.

【类型二】 影子不在同一平面上时高度的测量

 如图①，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？

解：方法一：延长AD，与地面交于点M，如图②.

根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，

所以＝＝.

因为CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m，BC＝4m，

所以CM＝m，所以BM＝BC＋CM＝（m）.

所以＝，AB＝4.4（m）.

故这棵树的高是4.4m.

方法二：过点D作AB的垂线，交AB于点M，如图③.

由题意可知＝，而DM＝BC＝4m，AM＝AB－CD＝（AB－2）m，FG＝1.2m，GH＝2m，

所以＝，解得AB＝4.4（m）.

故这棵树的高是4.4m.

方法三：过点C作AD的平行线交AB于点P，如图④.

由题意可知＝，而BP＝AB－CD＝（AB－2）m，BC＝4m，FG＝1.2m，GH＝2m，

所以＝，解得AB＝4.4（m）.

故这棵树的高是4.4m.

方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.

探究点二：利用标杆测量高度

 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.

解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.

解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，

所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，

所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.

因为∠EAM＝∠CAN，

所以△AEM∽△ACN，所以＝.

因为AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m，FD＝24m，

所以＝，所以CN＝3.6（m），

所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）.

故树的高度为5.2m.

　　方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.

探究点三：利用镜子的反射测量高度

 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？

　　解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.

解：如图，∵∠1＝∠2，

∠DCE＝∠BAE＝90°，

∴△DCE∽△BAE.

∴＝，即＝，

解得BA＝18.75（m）.

因此，树高约为18.75m.

　　方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.

三、板书设计

利用相似三角形测高

通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.