初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组数中，为勾股数的是( )
A．1，2，3 B．3，4，5
C．1.5，2，2.5 D．5，10，12
2．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为( )厘米
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝7，b＝8，c＝9
5．若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为( )
A．25 B．7
C．25或7 D．25或16
6．两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为( )
A．(a＋b)2＝c2 B．(a－b)2＝c2
C．a2＋b2＝c2 D．a2－b2＝c2
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，且AB＝13，BC＝15，AC＝14，则点O到边AB的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2＋CF2的值为( )
A．36 B．9 C．6 D．18
二、填空题(每题2分，共20分)
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝________．
10．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝________．
11．在△ABC中，∠C＝90°，c＝2，则a2＋b2＋c2＝________．
12．斜边上的中线长为5的等腰直角三角形的面积为________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若∠A＝32°，则∠BCD＝________°.
14．如图，已知长方形ABCD，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为________．
15．△ABC为直角三角形，分别以三边为一边向外作三个正方形，且S1＝7，S2＝2，则S3＝________．
16．如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S1＝5，S2＝3，则S3＝________．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰直角△ABF，等腰直角△BEC和等腰直角△ADC，记△ABF、△BEC、△ADC的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是________．
18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是________cm2.
三、解答题(19～21题每题6分，22～23题每题7分，24～26题每题8分，共56分)
19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD.
20．某中学有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝16 m，BC＝25 m，CD＝15 m，AD＝12 m．若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
21．在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13 cm，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求四边形ABCD的面积．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC＋AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝24，AM＝AC，BN＝BC，求MN的长．
24．△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)．
(1)判断三角形的形状；
(2)若以边b为直径的半圆形面积为2π，求△ABC的面积；
(3)若以边a、b为直径的半圆形面积分别为p、q，求以边c为直径的半圆形面积．(用p、q表示)
25．如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5 m，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA走到离树24 m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2 m，设BD为x m.
(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为________m；
(2)求这棵树高多少米．
26．如图是用硬纸板做成的三个直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
(2)假设题图中的两直角边长为a，b的直角三角形有若干个，你能运用它们拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．(无需证明)
答案
一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C
7．C 【点拨】过B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝∠CDB＝90°，
设AD＝x，则CD＝14－x，
∵在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－x2，
在Rt△BCD中，BD2＝CB2－CD2＝152－(14－x)2，
∴132－x2＝152－(14－x)2，
解得x＝5，
∴AD＝5，
∴BD2＝AB2－AD2＝132－52＝144，
∴BD＝12，
∵点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，
∴点O到△ABC的三边的距离相等，
设点O到边AB的距离为h，则
eq \f(1,2)AC×BD＝eq \f(1,2)(AB＋BC＋AC)×h，
∴eq \f(1,2)×14×12＝eq \f(1,2)×(13＋15＋14)×h，
解得h＝4，
∴点O到边AB的距离为4.
8．A 【点拨】如图，∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2＝eq \f(1,2)∠ACB，∠3＝∠4＝eq \f(1,2)∠ACD，
∴∠2＋∠3＝eq \f(1,2)(∠ACB＋∠ACD)＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵EM＝3，
∴EF＝3＋3＝6，
在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2＝62＝36.
二、9.8 10.5 11.8 12.25 13.32
14.eq \f(7,8) cm 15.5 16.2
17.eq \f(1,2)S1＝S2＋S3
【点拨】在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形，
∴S1＝eq \f(1,2)AB2，S2＝eq \f(1,2)EC2＝eq \f(1,4)BC2，S3＝eq \f(1,2)AD2＝eq \f(1,4)AC2，
∴S2＋S3＝eq \f(1,4)BC2＋eq \f(1,4)AC2＝eq \f(1,4)AB2，
∴S2＋S3＝eq \f(1,2)S1.
18．17 【点拨】如图，根据勾股定理可知，
S正方形1＋S正方形2＝S大正方形＝49 cm2，
S正方形C＋S正方形D＝S正方形2，
S正方形A＋S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C＋S正方形D＋S正方形A＋S正方形B＝49 cm2.
∴正方形D的面积＝49－8－10－14＝17(cm2)．
三、19.解：在△ABC中，AB⊥BC，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5，
∵在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴根据勾股定理的逆定理得，△ACD为直角三角形，
∴AC⊥CD.
20．解：如图，连接BD.∵∠A＝90°，AB＝16 m，DA＝12 m，
∴DB2＝162＋122＝400(m2)，
∵BC＝25 m，CD＝15 m，
∴BD2＋DC2＝BC2，
∴△DBC是直角三角形，
∴S△ABD＋S△DBC＝eq \f(1,2)×12×16＋eq \f(1,2)×15×20＝246(m2)，
∴需投入100×246＝24 600(元)．
21．解：在Rt△ACD中，
AC2＝AD2－CD2＝132－122＝25 cm2，
在△ABC中，
∵AB2＋BC2＝9＋16＝25(cm2)，
AC2＝25 cm2，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
∴四边形ABCD的面积＝eq \f(1,2)AB·BC＋eq \f(1,2)AC·CD＝eq \f(1,2)×3×4＋eq \f(1,2)×5×12＝36(cm2)．
22．解：设AD＝x，则AC＝32－x，
∵AD⊥BC于点D，
∴△ADC和△ADB都是直角三角形，
∵CD＝16，∴x2＋162＝(32－x)2，
解得x＝12，∴AD＝12，
在直角三角形ABD中，AB2＝52＋122＝169.∴AB＝13.
23．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，
∴BC2＝252－242＝49.∴BC＝7.
又∵AC＝24，BC＝7，AM＝AC，BN＝BC，
∴AM＝24，BN＝7，
∴MN＝AM＋BN－AB＝24＋7－25＝6.
24．解：(1)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，
∴a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝(n2＋1)2，c2＝(n2＋1)2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
(2)∵以边b为直径的半圆形面积为2π，则eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))eq \s\up12(2)＝2π，
解得b＝4，
∴2n＝4，
∴n＝2，
∴a＝3，
∴△ABC的面积＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)×3×4＝6.
(3)∵以边a、b为直径的半圆形面积分别为p、q，
∴p＝eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(πa2,8)，q＝eq \f(1,2)π(eq \f(b,2))2＝eq \f(πb2,8)，
∵△ABC是直角三角形，∴a2＋b2＝c2，
∴以边c为直径的半圆形面积＝eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(πc2,8)＝eq \f(π,8)(a2＋b2)＝eq \f(πa2,8)＋eq \f(πb2,8)＝p＋q.
25．解：(1)(27－x)
(2)∵∠C＝90°，∴AD2＝AC2＋DC2.
∴(27－x)2＝(x＋5)2＋242.
∴x＝2，∴CD＝5＋2＝7(m)．
∴这棵树高7 m.
26．解：(1)如图所示，是梯形；
我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)．
我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)c2.
∴a2＋b2＝c2.
(2)画边长为(a＋b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．