初中数学人教版九年级上册第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率教案及反思

25. 3用频率估计概率

讷河五中 徐晓波

教学目标

 （1）知识与技能目标

学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。

 （2）过程与方法目标

提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，体会概率的基本思想，感受到概率在问题决策中的重要作用，进一步树立数据的观念。

 （3）情感态度价值观目标

养成学数学、用数学的意识，体验数学的应用价值。

目标解析：1、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性. 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.  

　　2、结合生活实例，能进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.

 　　3、在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的动手能力、处理数据的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作精神.  

教学重、难点

重点：了解用频率估计概率的必要性和合理性.

难点： 教师要注意提问的准确性，并且举恰当的例子，使学生深入理解用频率估计概率，避免出现不必要的枝节。

三、教学问题诊断分析 

1、由于学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为姚明一次罚篮的结果进与不进是等可能的）会依然采取列举法，这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够，对事件发生的可能性大小分析不透彻所致.  

2、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下，可以近似地作为这个事件的概率. 概率是巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势，是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关. 频率与概率是从量变到质变，是对立统一的. 对于初学者，对两者关系的理解，还需要一个循序渐进的过程.  

3、容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件. 这一问题的出现也是对概率思想的内涵把握不够所致. 概率是针对大量重复试验而言的，如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合理的估计概率.  

教学流程

（一）情景引入： 

　　问题1：姚明罚篮一次命中概率有多大？ 

播放“NBA”（美国男子篮球职业联赛）火箭队VS老鹰队的比赛片段，在姚明罚篮球出手后，画面停滞，屏幕显示：问题：姚明罚进的概率有多大？ 

学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法： 

甲：100%  姚明是世界明星嘛！ 乙：50%  因为只有进和不进两种结果，所以概率为50%. 丙：80%  姚明很准的，大概估计有80%的可能性.  

同学们，你们同意谁的观点？

 学生充分交流后，老师对不同说法进行适当的评价，并借机复习用列举法求概率的条件，引导学生分析进与不进的可能性不相等，不能用列举法来求概率.

 师：那它究竟有没有规律，或者说还有没有其它的办法探求概率呢？

 屏幕上闪烁显示08—09赛季姚明罚篮命中率86. 6%.

 师：姚明的命中率从何而来？（统计结果）

 怎么统计的？（罚中个数与罚球总数的比值） 这个比值叫什么？（这实际上就是频率，这种方法实际上就是用频率估计概率） 

　　在此基础上，导出课题.

（二）试验探究

 　　问题2：怎样用频率估计概率？

 　　1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？

  2、试验一（掷硬币试验）（配合亲切童声播放）

 　　全班共分10个小组，每小组8人，共抛50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.

 　 　　 表1（个人抛掷情况统计表）

表2（小组抛掷情况统计表）

表3（硬币抛掷统计表）

　　问题3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？

 　　3、分析数据

 全班填写表3得到硬币正面向上频率的同时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：

 ①随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动？

 ②随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0. 5的左右摆动幅度有何规律？（学生从折线图1中难以发现）

 师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.

引导学生关注数学家的严谨，师：还有一位数学家，做了八万多次的试验.

观察频率在0. 5附近摆动幅度有何规律？

 观察折线图2：

③请大家分析，两个折线图反映的规律有何区别？什么原因造成了不同？学生得出：图一，试验次数少一些，“正面向上”的频率在0. 5左右摆动的幅度大一些.

④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.）

 ⑤数学家为什么要做那么多试验？

 ⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到0. 5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？

师生共同小结：至此，我们就验证了可以用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.

（三）揭示新知

 　　问题4：为什么可以用频率估计概率？

 师：其实，不仅仅是掷硬币有规律，人们在大量的生产生活中发现：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性.

 引出瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明频率具有稳定性，介绍其家族前后三代共出13位大数学家和大物理学家，进行数学史的教育.

师：由于大量重复试验的频率具有稳定性，由此可根据这个稳定的频率来估计概率.

 归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=P.

 教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不仅适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的随机事件，我们也可以用频率来估计概率.

 问题5： 频率与概率有什么区别与联系？

 学生思考、讨论后全班交流. 此处重点强调学生理解，若不能概括、归纳，则直接出示答案.

（四）巩固练习

牛刀小试

 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

①计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0. 01）；

 ②这些频率稳定在哪一个常数附近？

 ③根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0. 1）.

 伶牙俐齿

 （1）天气预报说下星期一降水概率为90%，下星期三降水概率为10%，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你认为他说的对吗？

 （2）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中的概率为5分之4对吗？

 （3）小明的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个7位的数码，如能与开奖结果一致，则获特等奖；如果有相连的6位数码正确，则获一等奖；……；依次类推，小明的爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！小明爸爸的说法正确吗？”

设计方案

1、老王投资在鱼塘里放了一些鱼苗，秋天了，他准备出售这些鱼，但要想卖一个好价钱就必须估计鱼塘里有多少条鱼，这可难住了老王。聪明的同学们，你们能帮助老王解决这个难题吗？

试验二（摸棋子试验）

每组下发一个口袋，里面有8个黑棋和若干个白棋，如果不允许打开袋子看，也不允许将棋倒出来数，你能估计其中的白棋数吗？

    ①你们小组准备采取什么样的试验方法？

    ②各个小组记录试验次数与试验数据

    ③根据你们收集的数据，你能估计出口袋里的白棋数吗？

 2、设计估计鱼数方案

（五）课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

 学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课学习的主要内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。