初中数学人教版（2024）九年级上册25.3 用频率估计概率精品课后复习题

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（一）学习目标：
1.理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，可以利用统计频率的方法估计概率．
2．会设计模拟试验，能应用模拟试验求概率.
3.经历利用频率估计概率的学习过程，学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
4.会用频率估计概率解决实际问题.
（二）学习重难点：
学习重点：利用频率估计概率的理解和应用
学习难点：对利用频率估计概率的理解
基础梳理
阅读课本，识记知识：
(1)在我们的日常生活中存在着大量随机事件我们已经学习了用列表法和画树状图法求某些随机事件发生的概率，但是当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可通过用频率估计某些随机事件发生的概率的大小.
(2)随机事件的概率虽然是随机的、无法预测的，但随着大量重复试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率逐渐稳定到某一个数值.正因为不确定现象发生的频率有这种趋于稳定的特点，我们可以用平稳时的频率估计这一随机事件在每次试验时发生的机会的大小.
(3)某一随机事件发生的频率无限地接近于理论概率.
一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率。(这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即P(A)=p
运用随机事件出现的频率估计随机事件发生的概率大小的几点注意用频率估计事件发生的概率时，需要注意以下几点：
(1)频率和概率是两个不同的概念，两者既有区别又有联系.事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的.当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
(2)通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证试验应在相同的条件下进行，否则结果会受到影响.在相同条件下，试验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同.
(3)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.例如：随机抛掷一枚1元硬币时，理论上“落地后正面朝上”发生的概率为，可抛掷1000次硬币，并不能保证落地后恰好有500次正面朝上，但经大量的重复试验发现：“落地后正面朝上”发生的频率就在一附近波动，
(4)事件的概率需要用稳定时的频率来估计.它需要做大量的试验才能较准确.需要注意的是，1次试验的结果是随机的、无法预测的，不受概率的影响。
(5)虽然用试验的方法可以帮助我们估计随机事件发生的机会的大小，但有时恰好没有相关实物，或者用实物进行试验困难很大时，我们就需要用替代物进行模拟试验.
注意进行模拟试验时应注意：①模拟试验的多样性，即同一试验可以有多种多样的替代物；②模拟试验必须在相同的条件下进行。
典例探究
【例1】 一个密闭不透明的盒子里有若干个红球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计红球的个数，小强向其中放入20个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中50次摸到白球，估计盒中大约有红球（ ）
A．150B．180C．200D．220
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，可根据“白球数量÷红白球总数=白球所占比例”来列等量关系式，其中“红白球总数=红球个数+白球个数”，“白球所占比例=随机摸到白球的次数÷总共摸球的次数”
【详解】设盒子里有红球x个，
解得：
经检验得是方程的解
答：盒中大约有红球180个
故选：B
【例2】 在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可．
【详解】解：区域面积为，区域面积为，
区域面积为，
又落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，
，即，
，
解得：（不合题意，舍去），
故选：B．
达标测试
选择题
1．小明和同学做“抛掷质地均匀的骰子（标有数字1，2，3，4，5，6）试验”获得的数据如下表：
若抛掷骰子的次数为1200，则“数字6朝上”的频数最接近（ ）
A．180B．200C．210D．240
【答案】B
【分析】本题考查了由频率估计概率，在相同条件下，当试验次数增加时，抛掷骰子得到“数字朝上”的频率会稳定在其概率附近，据此即可求解．
【详解】解：由频率的稳定性可知，若抛掷骰子的次数为，则“数字朝上”的频数最接近：
故选：B
2．在一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.25附近，则口袋中黑球的个数可能是（ ）
A．4B．12C．15D．17
【答案】B
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．由摸到白球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
【详解】解：设黑球个数为x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.25附近，
∴口袋中得到白色球的概率为0.25，
∴，
解得：，
经检验：是方程的解，
故黑球的个数为12个．
故选：B．
3．在一个不透明的布袋中装有 10个黄、 白两种颜色的球， 除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．7个
【答案】B
【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】解：设袋中有黄球x个，
由题意得：，
解得：，
故选B．
4．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和5个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中的红球大约有（ ）
A．10个B．15个C．20个D．25个
【答案】C
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率为，再根据概率计算公式求出球的总数即可得到答案．
【详解】解：∵通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，
∴摸到黄球的概率为，
∵黄球有5个，
∴一共有个球，
∴估计口袋中的红球大约有个，
故选C．
5．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的（ ）
A．盖面朝下的频数为550B．该试验总次数是1000
C．盖面朝下的概率为D．盖面朝上的概率为
【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，求频率和频数，根据题意可知盖面朝下的频数为550，试验总次数为1000，根据频率频数总数求出盖面朝上和朝下的频率，再根据大量反复试验下频率稳定值即概率，求出盖面朝上和朝下的概率即可得到答案．
【详解】解：A、盖面朝下的频数是550，原说法正确，不符合题意；
B、该试验总次数是1000，原说法正确，不符合题意；
C、盖面朝下的频率是，则盖面朝下概率约为，原说法正确，不符合题意；
D、1000次试验的盖面朝上的频率为，则盖面朝上概率约为，原说法错误，符合题意；
故选：D．
6．在一个不透明的口袋中有红球、白球共10个，它们除颜色外，其余完全相同．通过大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%附近，估算口袋中红球的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查根据频率估算随机事件的概率，根据大量实验，随机事件发生的频率稳定在某个值附近，这个稳定值可以看做是随机事件的发生的概率，由此即可求解，理解并掌握频率估算概率的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，摸出红球的频率稳定在附近，
∴摸出红球的概率是，
∴，
∴口袋中红球的个数是个，
故选：．
7．口袋中有白球和红球共10个，这些球除颜色外其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过程，共摸了100次，结果有40次是红球，请你估计下一次操作拱到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，在反复试验下，摸到红球的频率为，
∴摸到红球的概率为，
∴估计下一次操作拱到红球的概率是，
故选：B．
8．随机抛掷一枚瓶盖10000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为4200次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据随机抛掷一枚瓶盖次，“正面朝上”的次数为次可得“反面朝上”的次数，即可得．
【详解】解：∵随机抛掷一枚瓶盖次，“正面朝上”的次数为次，
∴“反面朝上”的次数为（次），
∴这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为：，
故选：C．
9．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（ ）
A．10个B．8个C．4个D．2个
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量．设口袋中红球有x个，用黄球的个数除以球的总个数等于摸到黄球的频率，据此列出关于x的方程，解之可得答案．
【详解】解：设口袋中红球有x个，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
因此口袋中大约有红球4个，
故选C．
10．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个红球．
A．2B．3C．6D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求出摸到白球的概率为，由此根据概率计算公式求出白球的数量，进而求出红球的个数即可．
【详解】解：由题意得，摸到白球的频率为，即摸到白球的概率为，
∴口袋中有白球个，
∴估计这个口袋中有个红球，
故选C．
填空题
11．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：
可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到）．
【答案】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键．根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可．
【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318，
相交的概率为0.318；
，
，
，
解得：，
故答案为：0.318；3.14
12．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，数字“1”朝上的频率逐渐接近的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是接近．
故答案为：．
13．某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示：
根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有 颗．
【答案】
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即概率．由表格可知发芽种子频率的稳定值为，所以发芽种子概率，不发芽种子概率，即可求解．
【详解】解：由题可知：发芽种子概率，
所以不发芽种子概率，
故这种植物种子不发芽的有颗．
故答案为：．
14．二维码具有信息容量大，容错能力强，译码可靠性高，成本低，易制作等特性，如今已被大量应用于各大行业．如图是一个边长为的正方形二维码，在正方形二维码区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该正方形二维码黑色部分的总面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由频率估计概率及几何概率，根据黑色部分面积与总面积的比等于即可求得黑色部分面积．
【详解】解：由题意得：二维码黑色部分的总面积为
故答案为：．
15．某批篮球的质量检验结果如下：
从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是 ．（精确到）
【答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为．
【详解】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是．
故答案为．
三、解答题
16．某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：
(1)写出______ ______ ______精确到）.
(2)估计这批柑橘的损坏概率为______（精确到）.
(3)该水果公司以元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）.
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)元
【分析】本题考查了用频率估计概率的知识以及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．
（）利用频数计算方法去掉频数即可；
（）大量重复试验中频率稳定值即为概率；
（）设每千克大约定价为元，根据“销售额总成本利润”列出关于的方程，解之即可．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：柑橘完好的概率约为，
故答案为：；
（3）解：设每千克大约定价为元，
根据题意得，
解得，
答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为元比较合适．
17．小南发现操场中有一个不规则的封闭图形（如图），为了计算它的面积，他在封闭图形内画了一个半径为的圆，在不远处向封闭图形内郑石子，若石子落在封闭图形外部，则重郑．记录结果如下：
根据以上数据，小南得到了封闭图形的面积．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)估计石子落在阴影部分的概率___________；
(2)估计封闭图形的面积，并写出推理过程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）大量试验时，频率可估计概率；
（2）利用概率，求出圆的面积比总面积的值，计算出封闭图形面积．
【详解】（1）解：观察表格得：
随着投掷次数的增大，估计石子落在阴影部分的概率为；
（2）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：，
解得：，
则封闭图形的面积为．
18．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球实验，将球摚匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近_______．（精确到）
(2)试估算口袋中白球有_____个．
(3)现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【答案】(1)
(2)3
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近．
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数．
（3）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了如何利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
【详解】（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为：
（2）由（1）得摸到白球的概率率为，
所以可估计口袋中白球有（个）；
故答案为：3
（3）将第一个口袋中3个白球分别记为，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．
∴两个球颜色相同的的概率为
自学反思
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
抛掷次数
100
200
300
400
500
数字6朝上的频数
20
35
49
60
85
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
种子个数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
…
发芽种子个数
94
188
281
349
435
531
625
719
812
902
…
发芽种子频率（结果保留两位小数）
0.94
0.94
0.94
0.87
0.87
0.89
0.89
0.90
0.90
0.90
…
抽取的篮球数
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品的频数
93
190
390
564
746
931
1118
优等品的频率
柑橘总质量（/千克）
损坏柑橘质量（/千克）
柑橘损坏的频率（）
石子落在圆内（含圆上）的次数
14
43
93
150
石子落在阴影部分的次数
19
85
186
300
摸球的次数
500
1000
1500
2000
2500
3000
摸到白球的频率
0.748
0.751
0.754
0.747
0.750
0.749