2020-2021学年北京市西城区北京四中八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区北京四中八下期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 要使 x+1 有意义，则 x 的取值范围为
A. x≤0B. x≥0C. x≥−1D. x≤−1

2. 平行四边形的一边长为 6 cm，周长为 28 cm，则这条边的邻边长是
A. 22 cmB. 16 cmC. 11 cmD. 8 cm

3. 下列各式中正确的是
A. 27=33B. −22=−2
C. −4=−2D. 16=±4

4. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，∠BCD=120∘，则对角线 AC 等于
A. 5B. 10C. 15D. 20

5. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 8，15，17D. 11，12，13

6. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是
A. 一组对边平行且相等B. 两组对边分别平行
C. 一组对边平行，另一组对边相等D. 对角线互相平分

7. 我们把形如 ax+b（a，b 为有理数，x 为最简二次根式）的数叫做 x 型无理数，如 25+3 是 5 型无理数，则 2+62 是
A. 2 型无理数B. 3 型无理数C. 6 型无理数D. 12 型无理数

8. 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对角线交点，点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，移动到点 B 停止，延长 EO 交 CD 于点 F，则四边形 AECF 形状的变化依次为
A. 平行四边形 → 正方形 → 平行四边形 → 矩形
B. 平行四边形 → 菱形 → 平行四边形 → 矩形
C. 平行四边形 → 正方形 → 菱形 → 矩形
D. 平行四边形 → 菱形 → 正方形 → 矩形

9. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 到 △ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G．若 BG=3，CG=2，则 CE 的长为
A. 54B. 154C. 4D. 92

10. 如图 1，点 P 从 △ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点，则 △ABC 的面积是
A. 12B. 24C. 36D. 48

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 比较大小：32 4．（填“>”“<”，或“=”）

12. 直角三角形两直角边长分别是 6 cm 和 8 cm，则斜边上的中线长为 ．

13. 如果 xx−6=x⋅x−6，请写出一个满足条件的 x 的值 ．

14. 如图所示，点 D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点，连接 BE，过点 C 作 CF∥BE，交 DE 的延长线于点 F，若 EF=3，则 DE 的长为 ．

15. 阅读下面材料
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：已知：Rt△ABC，∠ABC=90∘．
求作：矩形 ABCD．
小敏的作法如下：
①以 A 为圆心，BC 长为半径作弧，以 C 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧相交于点 D．
②连接 DA，DC．
∴ 四边形 ABCD 为所求矩形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．

16. 如图，已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连接 BD．若 BD 的长为 23，则 m 的值为 ．

17. 你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 x2+5x−14=0 即 xx+5=14 为例加以说明．数学家赵爽（公元 3∼4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 x+x+52，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14+52，据此易得 x=2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 x2−4x−12=0 的正确构图是 ．（只填序号）

18. 如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点．点 D 为平面内一个动点．线段 AB，BC，CD，DA 的中点分别为 M，N，P，Q．在点 D 的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形；
②存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形；
③存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形；
④存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
19. 计算．
（1）12−18+1−30+2−1．
（2）12÷2+7+57−5．

20. 解下列一元二次方程．
（1）x2−2x=0．
（2）（用配方法解方程）x2−8x+1=0．

21. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 是直线 BD 上两点，且 BE=DF，连接 AF，CE．求证：AF=CE．

22. 如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为 1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，画一个格点三角形 ABC，使得 AB=5，BC=25，CA=5．
（2）在（1）的条件下，直接写出 AC 边上的高．
（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

23. 阅读下面的例题．
解方程：x2−∣x∣−2=0．
解：（1）当 x≥0 时，原方程化为 x2−x−2=0，
解得：x1=2，x2=−1（不合题意，舍）．
（2）当 x<0 时，原方程化为 x2+x−2=0，
解得： ．
综上，原方程的根是 ．
请参照例题解方程 x2−∣x−3∣−3=0，则此方程的根是 ．

24. 如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60∘，点 E 是边 AB 上任意一点（端点除外），线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N．
（1）求证：AF=EF．
（2）填空．
① ∠CEF= ．
② MN+NG 的最小值为 ．

25. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 的延长线上，DF⊥DE，EG 平分 ∠BEF 交 BD 于点 G．
（1）求证：DE=DF．
（2）请写出线段 DG 和 DF 的数量关系并证明．
（3）作 GH⊥EF 于点 H，请直接写出线段 AB，GH 与 EF 的数量关系．

26. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一 点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“闭距离”，记作 dM,N，已知点 A−2,6，B−2,−2，C6,−2．
（1）①求 d点O,△ABC．
②若点 P 在 x 轴正半轴上，d点P,△ABC=3，求点 P 的坐标．
（2）记函数 y=kx（−1≤x≤1，k≠0）的图象为图形 G，若 d图G,△ABC=1，直接写出 k 的取值范围．
（3）以点 Px,y 为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到 P 点距离为 1 的正方形为 P− 单位正方形，若点 Pt,0 在 x 轴上且 dP−单位正方形,△ABC=1，请直接写出 t 的取值范围．

27. 如图，将等边三角形的三条边分别 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注等分点的序号 0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为 1,2,5，点 B 的坐标可表示为 3,1,4．
（1）按此方法，则点 C 的坐标可表示为 ，点 D 的坐标可表示为 ．
（2）若 P 点的坐标为 3,m,m−1，则 m= ．
（3）在图中以 A，B，C，E 为顶点构成平行四边形，则 E 点的坐标为 ．

28. 小明遇到这样一个问题：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=40∘，∠C=50∘，AB=CD，AD=2，BC=4，求四边形 ABCD 的面积．
经过思考小明想到如下方法：
以 BC 为边作正方形 BCMN，将四边形 ABCD 绕着正方形 BCMN 的中心逆时针旋转 90∘，180∘，270∘，而分别得到四边形 FNBA，EMNF，DCME，则四边形 ADEF 是 ．（填一种特殊的平行四边形）
∴S四边形ABCD= ．
解决问题：如图，四边形 ABCD，∠BAD=140∘，∠CDA=160∘，AB=CD，AD=6，BC=12，则四边形 ABCD 的面积为 ．

29. 在菱形 ABCD 中，∠ABC=60∘，点 K 是线段 AB 延长线上一点，点 E 是 ∠CBK 的平分线上一点，连接 DE，取 DE 的中点 F，连接 BF．
（1）依照题意补全图形．
（2）求证：∠FDA=∠FBA．
（3）若点 G 是线段 BE 延长线上任意一点，连接 CG，点 H 为 CG 中点，连接 FH，用等式表达 EG，DA，FH 的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. C【解析】由题意，得 x+1≥0，解得 x≥−1．
2. D【解析】∵ 平行四边形周长为 28 cm，
∴ 一边长与另一边长和为 14 cm，
∴ 另一边长 =14−6=8 cm．
3. A
4. A【解析】∵AB=BC，∠B+∠BCD=180∘，∠BCD=120∘，
∴∠B=60∘，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=5．
5. C
6. C
7. B【解析】2+62=2+6+212=12+43,
∴2+62 是 3 型无理数．
8. B【解析】当点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动时，四边形 AECF 的形状依次如下图所示．因此本题选B．
9. B【解析】如图所示，连接 EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，DE=BF，
又 ∵AG⊥EF，
∴H 为 EF 的中点，
∴AG 垂直平分 EF，
∴EG=FG，
设 CE=x，则 DE=5−x=BF，FG=8−x，
∴EG=8−x，
∵∠C=90∘，
∴Rt△CEG 中，CE2+CG2=EG2，即 x2+22=8−x2，
解得 x=154，
∴CE 的长为 154．
10. D
【解析】由图 2 知，AB=BC=10，
当 BP⊥AC 时，y 的值最小，
即 △ABC 中，BC 边上的高为 8（即此时 BP=8），
当 y=8 时，
PC=BC2−BP2=102−82=6，AC=2PC=12，
△ABC 的面积 =12×AC×BP=12×8×12=48．
第二部分
11. >
【解析】∵322=18，42=16，且 18>16，
∴32>4．
12. 5 cm
【解析】由勾股定理得，斜边长为：62+82=10，
则斜边上的中线长为：12×10=5 cm．
13. 8
【解析】如果 xx−6=x⋅x−6，
根据二次根式下的数的非负性可知，
xx−6>0，x>0，x−6>0，
由 xx−6>0 可得：x<0，x−6<0 或 x>0，x−6>0，即 x<0 或 x>6，
由 x>0，x−6>0 得：x>6，
∴x 得取值范围为：x>6，
则写一个满足条件得 x 的值为：8．
故答案为：8．（答案不唯一，x 的值 >6 即可．）
14. 32
【解析】∵D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点，
∴DE 为 △ABC 的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF∥BE，
∴ 四边形 BCFE 为平行四边形，
∴BC=EF=3，
∴DE=12BC=32．
15. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
16. 2 或 27
【解析】由作图知，点 D 在 AC 的垂直平分线上，
∵△ABC 是等边三角形，
点 B 在 AC 的垂直平分线上，
BD 垂直平分 AC，
设垂足为 E，
∵AC=AB=2，
∴BE=3，
当点 D，B 在 AC 的两侧时，如图，
∵BD=23，
∴BE=DE，
∴AD=AB=2，
∴m=2；
当点 D，B 在 AC 的同侧时，如图，
∵BDʹ=23，
∴DʹE=33，
∴ADʹ=332+12=27，
∴m=27，
综上所述，m 的值为 2 或 27．
17. ②
【解析】∵x2−4x−12=0 即 xx−4=12，
∴ 构造如图②中大正方形的面积是 x+x−42，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×12+42，
据此易得 x=6．
18. ①②③④
【解析】平面内任意取一点 D，与点 A，点 B，点 C 构成四边形 ABCD，
∵M，N，P，Q 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，
∴MN∥AC，MN=12AC，PQ∥AC，PQ=12AC，
MQ∥BD，MQ=12BD，PN∥BD，PN=12BD，
∴MN∥PQ，MN=PQ，MQ∥PN，MQ=PN，
∴ 四边形 MNPQ 是平行四边形，
∴ 存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形，故①正确；
当 AC=BD 时，即以 B 为圆心，AC 为半径画圆，
在圆弧上取一点 D，则有 MQ=PQ=PN=MN，
∴ 四边形 MNPQ 是菱形，
∴ 存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形，故②正确；
当 BD⊥AC 时，MQ⊥AC，PQ⊥MQ，即 ∠PQM=90∘，
∴ 四边形 MNPQ 是矩形，
∴ 存在无数个中点四边形是矩形，故③正确；
当且仅当 BD⊥AC 时，BD=AC 时，
中点四边形 MNPQ 才是正方形，这样的点 D 只有 2 个，
故存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形，故④正确．
∴ 正确的是①②③④．
第三部分
19. （1） 原式=22−32+1+2−1=−322.
（2） 原式=6+7−5=6+2.
20. （1）
x2−2x=0.xx−2=0.x1=0,x2=2.
（2）
x2−8x+1=0.x2−8x+16=15.x−42=15.x−4=±15.x1=4+15,x2=4−15.
21. 证法一：
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵BE=DF，
∴△ADF≌△CBESAS，
∴AF=CE，
【解析】证法二：
连接 AC 交 BD 于点 O，连接 AE，CF，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OD+DF=OB+BE 即 OF=OE，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形
∴AF=CE．
22. （1） 如图 △ABC 即所求：
（2） 2
【解析】设 AC 边上高为 h，
∵S△ABC=4×4−12×3×4−12×1×2−12×2×4=16−6−1−4=5,
又 ∵S△ABC=12AC⋅h，
∴h=2S△ABCAC=2×55=2，
即 AC 边上的高为 2．
（3） 如图 △DEF 即所求．（答案不唯一）
23. x1=−2，x2=1（不合题意，舍）；x1=2，x2=−2；x1=−3，x2=2
24. （1） 如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 CF．
∵FG 垂直平分 CE，
∴CF=EF．
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴BD 垂直平分 AC，
∴CF=AF，
∴AF=EF．
（2） 30∘，12
【解析】①如图，延长 EF，交 DC 于 H，
∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，
∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA．
∵BD 垂直平分 AC，
∴∠AFD=∠CFD=12∠AFC．
∵AF=CF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，
∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FEA+∠CEF，
∴∠ABF=∠CEF．
∵∠ABC=60∘，
∴∠ABF=∠CEF=30∘．
②连接 AC，交 BD 于点 O，
∵M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点，点 G 为 CE 中点，
∴MN=12AF，NG=12CF，即 MN+NG=12AF+CF，
∴ 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时，AF+CF 最小，即此时 MN+NG 最小．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
又 ∵∠ABC=60∘，
∴△ABC 为等边三角形，AC=AB=1，
即 MN+NG 的最小值为 12．
25. （1） ∵ 正方形 ABCD 中，AD=DC，∠BAD=∠BCD=90∘，
∴∠CDE+∠EDA=90∘，∠FCD=∠EAD，
又 ∵DE⊥DF，
∴∠FDC+∠CDE=90∘，
∴∠FDC=∠EDA，
在 △FDC 和 △EDA 中，
∠FDC=∠EDA,CD=AD,∠FCD=∠EAD,
∴△FDC≌△EDAASA，
∴DF=DE．
（2） DG=DF．
∵∠FDE=90∘，
∴△DFE 是等腰直角三角形，
∴∠DFE=∠DEF=45∘，
∴∠DEG=45∘+∠FEG，∠DGE=∠BEG+45∘，
又 ∵GE 平分 ∠BEF，
∴∠FEG=∠BEG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DE=DG，
∴DG=DF．
（3） AB−GH=12EF．
【解析】如图，过点 G 作 GM⊥AB，交 AB 于 M，
∵GE 平分 ∠BEF，GM⊥AB，GH⊥EF，
∴GM=GH，
∵ 在正方形 ABCD 中，∠ABG=45∘，
∴△MGB，△ABD 是等腰直角三角形，
即 GB=2GM=2GH，BD=2AB，
由（1）可知 △EDF 是等腰直角三角形，
即 EF=2ED，
∵ED=DG，
∴DG=22EF，
∵BD=BG+DG，
即 2AB=2GH+22EF，
∴AB−GH=12EF．
26. （1） ①点 O 到 △ABC 上任意一点距离为 d点O,△ABC，
由图可知，d点O,△ABC=2．
② P 在 x 轴正半轴，由点到直线垂线段最短可知，
P 在 O 时，最小距离为 d=42=22<3，
故 P 在 AC 与 x 轴交点右侧，过 C 作 CE⊥x轴，
∴CE=DE=2，则 PC=3，故 PE=5，
∴OP=4+2+5=6+5，
故 P6+5,0．
（2） −1≤k≤1 且 k≠0
【解析】如图，y=kx（k≠0）的图象过原点，在 −1≤x≤1 内，
当 y=kx 过 1,−1 时，此时 k=−1，即 dG,△ABC=1，
当 y=kx 过点 −1,−1 时，k=1，此时 dG,△ABC=1，
∴−1≤x≤1，
∵k≠0，
故 −1≤k≤1 且 k≠0．
（3） t=−4，0≤t≤2−2，或 t=6+2
【解析】正方形位置分三种情况，
当 P 在 AB 左侧时，dP−单位正方形,△ABC=1，t=−4；
当 P 在三角形内部时，dP−单位正方形,△ABC=1，
此时 0≤t≤4−22；
当 P 在 AC 右侧时，dP−单位正方形,△ABC=1，
此时 t=4+22，
综上，t=−4或4+22 或 0≤t≤4−22 时，
dP−单位正方形,△ABC=1．
27. （1） 3,2,3；5,3,0
（2） 3
（3） 5,1,2，1,1,6，1,3,4
28. 正方形；3；27
【解析】∵ 四边形 ABCD 是以正方形 BCMN 的中心为旋转中心分别旋转 90∘，180∘，270∘ 而得到的四边形 FNBA，EMNF，DCME，
∴ 边 AD 也是分别旋转 90∘，180∘，270∘ 而得到的 DE，EF，AF，
故：∠ADE=∠DEF=∠EFA=∠FAD=90∘，
AD=DE=EF=AF，则四边形 ADEF 是正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形BCMN−S四边形ADEF÷4=42−22÷4=3．
解决问题：
∵AD=6，BC=12，
由 2 可得，S四边形ABCD=S正方形BCMN−S正方形ADEF÷4=122−62÷4=27．
29. （1） 如图所示．
（2） 如图所示，连接 DB，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴BD 平分 ∠ABC．
∴∠DBC=12∠ABC=30∘．
同理 ∠CBE=12∠CBK=60∘．
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=90∘．
∵ 在 Rt△DBE 中，F 为 BE 中点，
∴BF=12DE=DF．
∴∠FDB=∠FBD．
∵DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠FDA=∠FBA．
（3） 4FH2=EG2+DA2+EG⋅DA．
如图 1 所示，连接 CE，取 CE 中点为点 M，连接 FM，HM．延长 HM 交 AB 于点 N．
不妨设 EG=a，DA=b，FH=c，
∵H，M 分别为 CG，CE 的中点，
∴HM∥GE，且 HM=12EG=12a．
同理 FM∥DC，且 FM=12DC=12DA=12b．
∴∠HMF=∠MNA=∠ABG=120∘．
如图 2 所示，过点 H 作 HP⊥FP 交 FM 延长线于点 P，
∵ 在 Rt△HMP 中，∠HMP=60∘，HM=12a，
∴MP=14a，HP=34a．
∴FP=12b+14a．
∵ 在 Rt△HMP 中，∠HPM=90∘，
∴HP2+MP2=HM2，
即 3a42+b2+a42=c2．
化简得：4c2=a2+b2+ab．
即 4FH2=EG2+DA2+EG⋅DA．