2018-2019学年北京市海淀区北京一零一中学八下期中数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市海淀区北京一零一中学八下期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是
A. B.
C. D.

2. 若点 P−1,3 在函数 y=kx 的图象上，则 k 的值为
A. −3B. 3C. 13D. −13

3. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 −1,0 与 0,2，则关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是
A. x>−1B. x<−1C. x>2D. x<2

4. 已知点 −3,y1，2,y2 都在直线 y=2x+1 上，则 y1，y2 的大小关系是
A. y1=y2B. y1y2D. 不能确定

5. 已知 2 是关于 x 的方程 3x2−2a=0 的一个解，则 a 的值是
A. 3B. 4C. 5D. 6

6. 如图，若 DE 是 △ABC 的中位线，△ABC 的周长为 1，则 △ADE 的周长为
A. 1B. 2C. 12D. 14

7. 若 m<−1，则一次函数 y=m+1x+m−1 的图象不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

8. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE，EF 为折痕，∠BAE=30∘，BE=1，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处．则 EC 的长为
A. 3B. 2C. 3D. 23

9. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AE 平分 ∠BAD 交 BC 于点 E，且 ∠ADC=60∘，AB=12BC，连接 OE，下列结论：
① ∠CAD=30∘；
② S平行四边形ABCD=AB⋅AC；
③ OB=AB；
④ OE=14BC，
成立的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 如图 1，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿着 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则下列说法不正确的是
A. 当 x=2 时，y=5B. 矩形 MNPQ 的面积是 20
C. 当 x=6 时，y=10D. 当 y=152 时，x=10

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 函数 y=x+5 中自变量 x 的取值范围是 ．

12. 若一元二次方程 x2−2x−m=0 无实根，则 m 的取值范围是 ．

13. 将函数 y=2x+1 的图象向上平移 2 个单位，所得的函数图象的解析式为 ．

14. 如图，等边三角形 EBC 在正方形 ABCD 内，连接 DE，则 ∠ADE= 度．

15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，且 BE=3．若平行四边形 ABCD 的周长是 16，则 EC= ．

16. 根据如图所示的程序计算函数值，若输入 x 的值为 32，则输出的 y 值为 ．

17. 已知点 A2,−4，直线 y=−x−2 与 y 轴交于点 B，在 x 轴上存在一点 P，使得 PA+PB 的值最小，则点 P 的坐标为 ．

18. 正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，⋯ 按如图所示的方式放置．点 A1，A2，A3，⋯ 和点 C1，C2，C3，⋯ 分别在直线 y=kx+bk>0 和 x 轴上，已知点 B11,1，B23,2，则点 B3 的坐标是 ；点 B2018 的坐标是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 解一元二次方程：
（1）2x+12=9；
（2）x2+4x−2=0；
（3）x2−6x+12=0；
（4）3x2x+1=4x+2．

20. 已知 m 是方程 x2−x−3=0 的一个实数根，求代数式 m2−mm−3m+1 的值．

21. 已知直线 l1 的函数解析式为 y=x+1，且 l1 与 x 轴交于点 A，直线 l2 经过点 B，D，直线 l1，l2 交于点 C．
（1）求点 A 的坐标；
（2）求直线 l2 的解析式；
（3）求 S△ABC 的面积．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边的中点，点 E，F 分别在 AD 及其延长线上，且 CE∥BF，连接 BE，CF．
（1）求证：四边形 EBFC 是菱形；
（2）若 BD=4，BE=5，求四边形 EBFC 的面积．

23. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+m+1x+m=0．
（1）求证：无论 m 为何值，方程总有两个实数根；
（2）若 x 为方程的一个根，且满足 0
24. 某游乐场普通门票价格 40 元/张，为了促销，新推出两种办卡方式：
①白金卡售价 200 元/张，每次凭卡另收取 20 元；
②钻石卡售价 1000 元/张，每次凭卡不再收费．
促销期间普通门票正常出售，两种优惠卡不限次数，设去游乐场玩 x 次时，所需总费用为 y 元．
（1）分别写出选择白金卡、普通门票消费时，y 与 x 之间的函数关系式．
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 B，C 的坐标．
（3）请根据图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 x1,y1，点 Q 的坐标为 x2,y2，且 x1≠x2，y1≠y2．若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，下图①为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点 A 的坐标为 1,0．
（1）若点 B 的坐标为 3,1，求点 A，B 的“相关矩形”的面积；
（2）点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式；
（3）若点 D 的坐标为 4,2，将直线 y=2x+b 平移，当它与点 A，D 的“相关矩形”没有公共点时，求出 b 的取值范围．

26. 在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，点 P 是边 BC 上一点（点 P 不与点 B，点 C 重合），点 C 关于直线 AP 的对称点为 Cʹ．
（1）如果 Cʹ 落在线段 AB 的延长线上．
①在图①中补全图形；
②求线段 BP 的长度；
（2）如图②，设直线 AP 与 CCʹ 的交点为 M，求证：BM⊥DM．
答案
第一部分
1. D
2. A【解析】∵ 点 P−1,3 在函数 y=kx 的图象上，
∴3=−k，
∴k=−3．
3. A
4. B【解析】∵ 点 −3,y1 和 2,y2 都在直线 y=2x+1 上，
∴y1=2×−3+1=−5，y2=2×2+1=5，
∴y15. D
【解析】把 x=2 代入方程 3x2−2a=0 得 3×4−2a=0，解得 a=6．
6. C【解析】∵DE 是 △ABC 的中位线，△ABC 的周长为 1，
∴DE=12BC，AD=12AB，AE=12AC，
∴△ADE 的周长为 12．
7. A【解析】当 m<−1 时，m+1<0，m−1<−2，
一次函数 y=m+1x+m−1 的图象不经过第一象限．
8. B【解析】∵ 矩形纸片 ABCD，∠BAE=30∘，
∴AE=2BE=2×1=2，∠AEB=90∘−∠BAE=90∘−30∘=60∘，
∵AB 沿 AE 翻折点 B 落在 EC1 边上的 B1 处，
∴∠AEB1=∠AEB=60∘，
∵ 矩形对边 AD∥BC，
∴∠EAC1=∠AEB1=60∘，
∴△AEC1 是等边三角形，
∴EC1=AE=2，
∵EC 沿 BF 翻折点 C 落在 AD 边上的 C1 处，
∴EC=EC1=2．
9. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60∘，∠BAD=120∘，
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60∘，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=12BC，
∴AE=12BC，
∴∠BAC=90∘，
∴∠CAD=30∘，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S平行四边形ABCD=AB⋅AC，故②正确；
∵AB=12BC，OB=12BD，且 BD>BC，
∴AB ∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=12AB，
∴OE=14BC，故④正确．
10. D
第二部分
11. x≥−5
【解析】根据题意得：x+5≥0，解得 x≥−5．
12. m<−1
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−2x−m=0 无实根，
∴Δ=−22−4×1×−m<0，
解得：m<−1．
13. y=2x+3
【解析】由“上加下减”的原则可知，将函数 y=2x+1 的图象向上平移 2 个单位所得函数的解析式为 y=2x+3．
14. 15
【解析】正方形 ABCD 中，BC=CD，等边 △BCE 中，CE=BC，
∴CD=CE，
∵∠DCE=90∘−60∘=30∘，
∴∠CDE=180∘−30∘2=75∘．
∴∠ADE=90∘−75∘=15∘．
15. 2
16. 12
【解析】x=32 时，y=−x+2=−32+2=12．
17. 23,0
【解析】作点 B 关于 x 轴的对称点 Bʹ，连接 ABʹ，交 x 轴于 P，连接 PB，
此时 PA+PB 的值最小．
设直线 ABʹ 的解析式为 y=kx+b，
把 A2,−4，Bʹ0,2 代入得到 b=2,2k+b=−4,
解得 k=−3,b=2,
∴ 直线 ABʹ 的解析式为 y=−3x+2，
令 y=0，得到 x=23，
∴P23,0．
18. 7,4，22018−1,22017
【解析】∵B1 的坐标为 1,1，点 B2 的坐标为 3,2，
∴ 正方形 A1B1C1O1 边长为 1，正方形 A2B2C2C1 边长为 2，
∴A1 的坐标是 0,1，A2 的坐标是 1,2，
代入 y=kx+b 得 b=1,k+b=2, 解得：k=1,b=1,
则直线的解析式是：y=x+1．
∵ 点 B1 的坐标为 1,1，点 B2 的坐标为 3,2，
∴ 点 B3 的坐标为 7,4，⋯，
∴Bn 的横坐标是 2n−1，纵坐标是 2n−1，Bn 的坐标是 2n−1,2n−1．
∴B2018 的坐标是 22018−1,22017．
第三部分
19. （1）
2x+1=±3,
所以
x1=1,x2=−2.
（2）
x2+4x=2,x2+4x+4=6.x+22=6.x+2=±6.
所以
x1=−2+6,x2=−2−6.
（3） Δ=−62−4×1×12<0，
所以方程没有实数解．
（4）
3x2x+1−22x+1=0.2x+13x−2=0.2x+1=0或3x−2=0.
所以
x1=−12,x2=23.
20. ∵m 是方程 x2−x−3=0 的一个实数根，
∴m2−m−3=0，
∴m2−m=3，m−1−3m=0，即 m−3m=1，
∴m2−mm−3m+1=3×1+1=6．
21. （1） 在 y=x+1 中，令 y=0，则 x=−1，
∴A−1,0．
（2） 设直线 l2 的解析式为 y=kx+b，
则 0=3k+b,−2=4k+b, 解得 k=−2,b=6,
∴y=−2x+6．
（3） 解方程组 y=−2x+6,y=x+1, 可得 x=53,y=83,
∴C53,83，
∴S△ABC=12×3+1×83=163．
22. （1） ∵D 是 BC 边的中点，
∴BD=CD，
∵CE∥BF，
∴∠DBF=∠ECD，
在 △BDF 和 △CDE 中，
∠DBF=∠ECD,BD=CD,∠BDF=∠CDE,
∴△BDF≌△CDEASA，
∴CE=BF，
又 ∵CE∥BF，
∴ 四边形 BFCE 是平行四边形；
∵AB=AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
又 ∵ 四边形 BFCE 是平行四边形，
∴ 四边形 BFCE 是菱形．
（2） 在 Rt△BDE 中，BE=5，BD=4，
∴DE=52−42=3，
∵ 四边形 BECF 是菱形，
∴EF=2DE=6，BC=2BD=8，
∴ 菱形 BECF 的面积 =12×6×8=24．
23. （1） ∵Δ=m+12−4×1×m=m2+2m+1−4m=m2−2m+1=m−12≥0,
∴ 无论 m 为何值，方程总有两个实数根．
（2） ∵x+1x+m=0，
∴x+1=0 或 x+m=0，
即 x1=−1，x2=−m，
∵0 ∴0<−m<3，
解得：−3则整数 m 的值为 −2，−1．
24. （1） 根据题意可得：白金卡：y=20x+200．
普通门票：y=40x．
（2） 将 y=40x 代入 y=200+20x，得 40x=200+20x，解得 x=10，把 x=10 代入 y=40x，得 y=400，
所以 B10,400，把 y=1000 代入 y=200+20x，得 1000=200+20x，解得 x=40，所以 C40,1000．
（3） 当 0当 x=10 时，选普通门票或白金卡；
当 10当 x=40 时，选白金卡或钻石卡；
当 x>40 时，选钻石卡．
25. （1） ∵A1,0，B3,1，
由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1，
∴ 点 A，B 的“相关矩形”的面积为 2×1=2．
（2） 由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线，
又 ∵ 点 A，C 的“相关矩形”为正方形，
∴ 直线 AC 与 x 轴的夹角为 45∘，
设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=−x+n，
把 1,0 代入 y=x+m，
∴m=−1，
∴ 直线 AC 的解析为 y=x−1，
把 1,0 代入 y=−x+n，
∴n=1，
∴y=−x+1．
综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x−1 或 y=−x+1．
（3） 把 A1,0，D4,2 分别代入 y=2x+b±2，得出 b=0 或 b=−8，
∴b>0 或 b<−8．
26. （1） ①如图①所示：
②连接 AC，作 PH⊥AC 于 H．则 △APB≌△APH，
∴AB=AH=1，PB=PH，设 PB=PH=x，
∵AC=12+22=5，
∴CH=5−1，
在 Rt△PCH 中，x2+5−12=2−x2，
解得 x=5−12，
∴PB=5−12．
（2） 如图②中，连接 AC，BD 交于点 O．连接 OM．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠AMC=90∘，
∴OM=OA=OB=OC=OD，
∴A，B，M，C，D 五点共圆，
∵BD 是直径，
∴∠BMD=90∘，
∴BM⊥DM．