2018-2019学年北京市西城区北京市第十四中学九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市西城区北京市第十四中学九上期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=x−22+1 的顶点坐标是
A. 2,1B. −2,1C. 2,−1D. −2,−1

2. 如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．若 AB=4，AD=2，DE=1.5，则 BC 的长为
A. 1B. 2C. 3D. 4

3. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 4,−3，如果射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 α，那么 ∠α 的正弦值是
A. 35B. 34C. 45D. 43

4. 将抛物线 y=−3x2 平移，得到抛物线 y=−3x−12−2，下列平移方式中，正确的是
A. 先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位

5. 已知函数 y=−x2+bx+c，其中 b>0，c<0，此函数的图象可以是
A. B.
C. D.

6. 如图，在 △ABC 中，∠ACD=∠B，若 AD=2，BD=3，则 AC 长为
A. 10B. 23C. 6D. 6

7. 下列图形中 △ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是
A. B.
C. D.

8. 为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图 1 所示，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 的中点，在矩形 ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员 P 从点 B 出发，沿着 B−E−D 的路线匀速行进，到达点 D．设运动员 P 的运动时间为 t，到监测点的距离为 y．现有 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这一信息的来源是
A. 监测点 AB. 监测点 BC. 监测点 CD. 监测点 D

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在 △ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，如果 ADDB=32，AC=10，那么 EC= ．

10. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150∘，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是 m．

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=12，BC=5，CD⊥AB 于点 D，那么 sin∠BCD 的值是 ．

12. 如图标记了 △ABC 与 △DEF 边、角的一些数据，如果再添加一个条件使 △ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 （只填一个即可）．

13. 如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 ∠ABC 的正弦值为 ．

14. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：其图象的对称轴为 ．
x−1013y−3131

15. 在 △ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点 D 为 BC 上一点，BD=2．过点 D 作射线 DE 交 AC 于点 E，使 ∠ADE=∠B．则线段 EC 的长度 ．

16. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 B 的坐标为 B4,0，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点 E．现有下列结论：① a>0；② b>0；③ 4a+2b+c<0；④ AD+CE=4．其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：3tan30∘+cs245∘−2sin60∘．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，tanA=34，BC=12，求 AB 和 AC 的长．

19. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点 E 在 AB 上，∠DEC=90∘．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）若 AD=1，BC=3，AE=2，求 AB 的长．

20. 已知二次函数 y=x2−6x+8．
（1）用配方法将 y=x2−6x+8 化成 y=ax−h2+k 的形式．
（2）当 0≤x≤4 时，y 的最小值是 ，最大值是 ．
（3）当 y<0 时，直线写出 x 的取值范围．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 D 是 BC 边的中点，CD=2，tanB=34．
（1）求 AD 和 AB 的长；
（2）求 sin∠BAD 的值．

22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A−3,−3，点 B−1,−3，点 C−1,−1．
（1）画出 △ABC；
（2）画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1，并写出 A1 点的坐标： ；
（3）以 O 为位似中心，在第一象限内把 △ABC 扩大到原来的两倍，得到 △A2B2C2，并写出 A2 点的坐标： ．

23. 如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔 P 在它的北偏东 60∘ 方向上，在 A 的正东 400 米的 B 处，测得海中灯塔 P 在它的北偏东 30∘ 方向上．问：灯塔 P 到环海路的距离 PC 约等于多少米?（ 3 取 1.732，结果精确到 1 米 ）

24. “母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现"这种文化衫每天的销售件数 y （件）与销售单价 x （元）满足一次函数关系：y=−3x+10820
25. 在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60∘ 角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗?
小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．
下面是小林的探究过程，请补充完整：
（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=6 cm，D 是线段 AB 上一动点，射线 DE⊥BC 于点 E，∠EDF= ∘，射线 DF 与射线 AC 交于点 F．设 B，E 两点间的距离为 x cm，E，F 两点间的距离为 y cm．
（2）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
4.56
（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当 △DEF 为等边三角形时，BE 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−m−1x−mm>0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．
（1）求点 A 的坐标；
（2）当 S△ABC=15 时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点 C 的直线 l:y=kx+bk<0 与抛物线的另一个交点为 D．该抛物线在直线 l 上方的部分与线段 CD 组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于 −8，求 k 的取值范围．

27. 在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到线段 AQ，连接 BP，DQ．
（1）依题意补全图 1；
（2）连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 Px,y 和 Qx,yʹ，给出如下定义：
若 yʹ=y,x≥0,−y,x<0 则称点 Q 为点 P 的“可控变点”．
例如：点 1,2 的“可控变点”为点 1,2，点 −1,3 的“可控变点”为点 −1,−3．
（1）点 −5,−2 的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点 P 在函数 y=−x2+16 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 是 7，求“可控变点”Q 的横坐标；
（3）若点 P 在函数 y=−x2+16−5≤x≤a 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 的取值范围是 −16≤yʹ≤16，求实数 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】∵ 顶点式 y=ax−h2+k，顶点坐标是 h,k，
∴y=2x−22+1 的顶点坐标是 2,1，
故选A．
2. C
3. A【解析】如图，过 A 点作 AB⊥x 轴，交 x 轴于点 B，
在 Rt△OAB 中，OA=42+32=5，
∴∠α 的正弦值 =ABOA=35．
4. D
5. D
6. A【解析】∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=5，
∵ 在 △ABC 和 △ACD 中，∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ACAD=ABAC，即 AC2=AB⋅AD，
∴AC2=5×2=10，
∴AC=10．
7. A【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，C，B，D三个图形中的两个图形都是位似图形；
A中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．
8. C【解析】对照图 2 可知，距离先减小后增大，再减小，
由监测点 A 可知，P 到 A 的距离先减小，然后一直增大，不符合；
由监测点 B 可知，P 到 B 的距离一直增大，不符合；
由监测点 C 可知，P 到 C 的距离先减小后增大，再减小，符合要求；
由监测点 D 可知，P 到 D 的距离一直减小，不符合．
第二部分
9. 4
【解析】∵ DE∥BC，
∴ ADDB=AEEC=32，
∵ AC=10，
∴ EC=25×10=4．
10. 4
【解析】如图，过点 C 作 CE⊥AB，交 AB 的延长线于 E；
在 Rt△CBE 中，∠CBE=180∘−∠CBA=30∘；
已知 BC=8 m，则 CE=12BC=4 m，即 h=4 m．
11. 513
12. ∠C=60∘（答案不唯一）
【解析】添加：∠C=60∘，
∵∠A=80∘=∠D，∠C=∠F=60∘，
∴△ABC∽△DEF．
13. 22
14. x=32
【解析】∵x=0 和 x=3 时的函数值相等，都是 1，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 x=0+32=32．
15. 1
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC 是 △ABD 的一个外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
又 ∵∠B=∠ADE，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABDC=BDEC，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=4，
∴84=2EC，解得 EC=1．
16. ②④
【解析】①观察图象开口向下，a<0，
∴ ①错误；
②对称轴在 y 轴右侧，b>0，
∴ ②正确；
③ ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点 B 的坐标为 4,0，对称轴在 y 轴右侧，
∴ 当 x=2 时，y>0，即 4a+2b+c>0，
∴ ③错误；
④ ∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴交于 A，B 两点，
∴AD=BD，
∵CE∥AB，
∴ 四边形 ODEC 为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
∴ ④正确．
综上：②④正确．
第三部分
17. 原式=3×33+222−2×32=3+12−3=12.
18. ∵∠C=90∘，BC=12，tanA=BCAC=34，
∴AC=16，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=162+122=400，
∴AB=20．
19. （1） ∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，∠A=∠B=90∘，
∴∠ADE+∠AED=90∘，
∵∠DEC=90∘，
∴∠AED+∠BEC=90∘，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC．
（2） ∵△ADE∽△BEC，
∴BEAD=BCAE，
∵AD=1，BC=3，AE=2，
∴BE1=32，
∴BE=32，
∴AB=AE+BE=72．
20. （1） y=x2−6x+8=x2−6x+9−1=x−32−1.
（2） −1；8
【解析】函数 y=x−32−1 的图象开口向上，对称轴为 x=3，顶点坐标为 3,−1，
当 x=0 时，y=0−32−1=8，
当 x=4 时，y=4−32−1=0，
∴ 当 0≤x≤4 时，y 的最小值是 −1，最大值是 8．
（3） ∵y=0 时，x2−6x+8=0，解得 x=2或4，
∴ 当 y<0 时，x 的取值范围是 221. （1） ∵D 是 BC 的中点，CD=2，
∴BD=DC=2，BC=4，
在 Rt△ACB 中，由 tanB=ACCB=34，
∴AC4=34，
∴AC=3，
由勾股定理得：AD=AC2+CD2=32+22=13，
AB=AC2+BC2=32+42=5．
（2） 过点 D 作 DE⊥AB 于 E．
∴∠C=∠DEB=90∘，
又 ∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴DEAC=DBAB，
∴DE3=25，
∴DE=65，
∴sin∠BAD=DEAD=6513=61365．
22. （1） △ABC 如图所示．
（2） △A1B1C1 如图所示；−3,3
（3） △A2B2C2 如图所示；6,6．
23. 由题意，可得 ∠PAC=30∘，∠PBC=60∘．
∴∠APB=∠PBC−∠PAC=30∘．
∴∠PAC=∠APB．
∴PB=AB=400．
在 Rt△PBC 中，∠PCB=90∘，∠PBC=60∘，PB=400，
∴PC=PB⋅sin∠PBC=400×32=2003=346.4≈346 （米 ） .
答：灯塔 P 到环海路的距离 PC 约等于 346 米．
24. 每天获得的利润为P=−3x+108x−20=−3x2+168x−2160=−3x−282+192.
∵20<28<36，
∴ 当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 192 元．
25. （1） 60
（2） 3.5
【解析】取点、画图、测量，得到数据为 3.5．
（3） 由数据得
（4） 3.2
【解析】当 △DEF 为等边三角形时，EF=DE，由 ∠B=45∘，射线 DE⊥BC 于点 E，则 BE=EF．即 y=x．
所以，当（2）中图象与直线 y=x 相交时，交点横坐标即为 BE 的长，由作图、测量可知 x 约为 3.2．
26. （1） ∵ 抛物线 y=x2−m−1x−mm>0 与 x 轴交于 A，B 两点，
∴ 令 y=0，即 x2−m−1x−m=0，解得：x1=−1，x2=m，
又 ∵ 点 A 在点 B 左侧，且 m>0，
∴ 点 A 的坐标为 −1,0．
（2） 由（1）可知点 B 的坐标为 m,0，
∵ 抛物线与 y 轴交于点 C，
∴ 点 C 的坐标为 0,−m，
∵m>0，
∴AB=m+1，OC=m，
∵S△ABC=15，
∴12mm+1=15，即 m2+m−30=0，解得：m=−6 或 m=5，
∵m>0，
∴m=5，则抛物线的表达式为 y=x2−4x−5．
（3） 由（2）可知点 C 的坐标为 0,−5，
∵ 直线 l:y=kx+bk<0 经过点 C，
∴b=−5，
∴ 直线 l 的解析式为 y=kx−5k<0，
∵y=x2−4x−5=x−22−9，
∴ 当点 D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为 −9，不符合题意；
当点 D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于 −8，
令 y=−8，即 x2−4x−5=−8，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=3，
∴ 抛物线经过点 3,−8，
当直线 y=kx−5k<0 经过点 3,−8 时，可求得 k=−1，
由图象可知，当 −127. （1） 补全图形如图 1．
（2） 连接 BD，如图 2．
∵ 线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到线段 AQ，
∴AQ=AP，∠QAP=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90∘，
∴∠1=∠2．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ=BP，∠Q=∠3，
∵ 在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90∘，
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90∘，
∵在Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2，
又 ∵DQ=BP，BD2=2AB2，
∴DP2+DQ2=2AB2．
28. （1） −5,2
（2） 依题意，y=−x2+16 图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 yʹ=−x2+16,x≥0x2−16,x<0 的图象上．
∵“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 是 7，
∴ 当 −x2+16=7，解得 x=3；
当 x2−16=7，解得 x=−23．
（3） 依题意，y=−x2+16 图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 yʹ=−x2+16,x≥0x2−16x<0 的图象上（如图）．
∵−16≤yʹ≤16，
∴−16=−x2+16．
∴x=42．
∴ 由题意可知，a 的取值范围是 a=42．