2019-2020学年天津市和平区汇文中学九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市和平区汇文中学九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列关于 x 的方程：① ax2+bx+c=0；② 3x−92−x+12=1；③ x+3=2x；④ a2+a+1x2−a=0；⑤ x+1=x−1，其中一元二次方程的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 在 −2，−1，0，1，2，3 这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为
A. 215B. 19C. 536D. 13

3. 下列关于 x 的方程有实数根的是
A. x2−x+1=0B. x2+x+1=0
C. x−1x+2=0D. x−12+1=0

4. 如图，在长为 8 cm 、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是
A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm2

5. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185 元降到了 580 元，设平均每次降价的百分率为 x，列出方程正确的是
A. 5801+x2=1185B. 11851+x2=580
C. 5801−x2=1185D. 11851−x2=580

6. 数学老师将全班分成 7 个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第 3 个小组被抽到的概率是
A. 17B. 13C. 121D. 110

7. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120∘，AB 长为 25 cm，贴纸部分的宽 BD 为 15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为
A. 175π cm2B. 350π cm2C. 8003π cm2D. 150π cm2

8. 下列说法正确的是
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等

9. 同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+1 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是
A. B.
C. D.

10. 已知抛物线 y=12x2−x，它与 x 轴的两个交点间的距离为
A. 0B. 1C. 2D. 4

11. 已知二次函数 y=kx2−7x−7 的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围为
A. k>−74B. k≥−74 且 k≠0
C. k<−74D. k>−74 且 k≠0

12. 如图，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与 BE，BF，DF，DG，CG 分别交于点 P，Q，K，M，N．设 △BPQ，△DKM，△CNH 的面积依次为 S1，S2，S3．若 S1+S3=20，则 S2 的值为
A. 6B. 8C. 10D. 12

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 在平面直角坐标系中，若将抛物线 y=−x+32+1 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．

14. 中心角为 45∘ 的正多边形的边数是 ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点 P 旋转后所得的图形，则旋转中心 P 的坐标是 ．

16. 在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10 ；乙组：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为 19 的概率为 ．

17. 如图，光源 P 在横杆 AB 的上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，已知 AB=2 m，CD=6 m，点 P 到 CD 的距离是 2.7 m，那么 AB 与 CD 间的距离是 ．

18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端在 CB，CD 上滑动，当 CM= 时，△AED 与以 M，N，C 为顶点的三角形相似．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图，一次函数 y1=−x+2 的图象与反比例函数 y2=mx 的图象交于点 A−1,3，Bn,−1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当 y1>y2 时，直接写出 x 的取值范围．

20. （1）2x2+8x−1=0（公式法）．
（2）x2+4x−5=0（配方法）．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 C，过点 C 作直线 MN，使 ∠BCM=2∠A．
（1）判断直线 MN 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 OA=4，∠BCM=60∘，求图中阴影部分的面积．

22. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 CD 的高度．如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB=1.25 m，已知李明直立时的身高为 1.75 m，求路灯的高 CD 的长．（结果精确到 0.1 m ）．

23. 在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按 24 元的价格销售，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售，每天能卖出 21 件．假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元 / 件）满足一个以 x 为自变量的一次函数关系．
（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P 最大?

24. 已知，等腰直角三角形 ABC 中，点 O 是斜边的中点，△MPN 是直角三角形，固定 △ABC，滑动 △MPN，在滑动过程中始终保持点 P 在直线 AC 上，且 PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为 E，F．
（1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时，OE，OF 的数量关系和位置关系是 ．
（2）当 △MPN 移动到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗?请说明理由．
（3）如图 3，等腰直角三角形 △ABC 的腰长为 6，点 P 在 AC 的延长线上时，Rt△MPN 的边 PM 与 AB 的延长线交于点 E，直线 BC 与直线 NP 交于点 F，OE 交 BC 于点 H，且 EH:HO=2:5，则 BE 的长是多少?

25. 已知：如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=8 cm，BC=6 cm，D 是斜边 AB 的中点，点 P 从点 B 出发沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 2 cm/s．当点 Q 停止运动时，点 P 也停止运动．连接 PQ，PD，QD．设运动时间为 ts0（1）当 t 为何值时，△PQC 是等腰直角三角形?
（2）设 △PQD 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t，使 △PQD 的面积是 Rt△ABC 的面积的 14?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在某一时刻 t，使 QD⊥PD?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C【解析】选项A，B中，根的判别式都小于 0，故排除；选项D可化为 x−12=−1，无实数解；选项C的解为 x1=1，x2=−2．
4. C
5. D
6. A
7. B【解析】由题意得 贴纸部分的面积=2×120π×252360−120π×25−152360=350π cm2．
8. B
9. C
10. C
11. C
12. B
第二部分
13. −5,−2
14. 八边形
15. 0,1
16. 516
17. 1.8 m
18. 55 或 255
第三部分
19. （1） 把 A−1,3 代入 y2=mx 可得 m=−1×3=−3，
所以反比例函数解析式为 y=−3x．
（2） 把 Bn,−1 代入 y=−3x 得 −n=−3，
解得 n=3，
则 B 的坐标为 3,−1，
所以当 x<−1 或 0y2．
20. （1）
∵a=2,b=8,c=−1,∴Δ=64−4×2×−1=72>0,
则
x=−8±624=−4±322,∴x1=−4+322,x2=−4−322.
（2）
∵x2+4x−5=0,∴x2+4x+4=9,∴x+22=9,∴x+2=±3,∴x1=−5,x2=1.
21. （1）
如图：MN 是 ⊙O 切线．
理由：连接 OC．
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∵ ∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴ ∠BCM=∠BOC，
∵ ∠B=90∘，
∴ ∠BOC+∠BCO=90∘，
∴ ∠BCM+∠BCO=90∘，
∴ OC⊥MN，
∴ MN 是 ⊙O 切线．
（2） 由（1）可知 ∠BOC=∠BCM=60∘，
∴ ∠AOC=120∘，
在 Rt△BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30∘，
∴ BO=12OC=2，BC=23
∴ S阴=S扇形OAC−S△OAC=120π⋅42360−12×4×23=16π3−43．
22. 设 CD 长为 x 米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA ，
∴MA∥CD∥BN ，
∴EC=CD=x ，
∴△ABN∽△ACD，
∴BNCD=ABAC，
即 1.75x=1.25x−1.75 .
解得：x=6.125≈6.1．
经检验，x=6.125 是原方程的解，
∴ 路灯高 CD 约为 6.1 米．
23. （1） 设 y 与 x 满足的函数关系式为：
y=kx+b.
由题意可得：
36=24k+b,21=29k+b.
解得
k=−3,b=108.
答：y 与 x 的函数关系式为：y=−3x+108．
（2） 每天获得的利润为：
P=−3x+108x−20=−3x2+168x−2160=−3x−282+192.
∵ a=−3<0，
∴ 当 x=28 时，利润最大，
答：当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大．
24. （1） 相等且垂直
（2） 成立，理由如下：
如图 2，连接 OB，
∵ △ABC 是等腰直角三角形，点 O 是斜边上的中点，
∴ ∠OBE=∠C=45∘，OB=OC=12AC，∠BOC=90∘，
∵ △ABC，△MPN 是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴ ∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90∘，
∴ 四边形 EBFP 是矩形，
∴ BE=PF，
∵ PF⊥BC，∠C=45∘，
∴ PF=CF，
∴ BE=CF，
在 △OEB 和 △OFC 中，
BE=CF,∠OBE=∠OCF,OB=OC,
∴ △OEB≌△OFC SAS，
∴ OE=OF，∠EOB=∠FOC，
∴ ∠EOF=∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90∘，
即 OE⊥OF，
故成立．
（3） 如图 2，设 BC 的中点 为 G，连接 OG，
∵ O 是 AC 中点，
∴ OG∥AB，OG=12AB，
∵ AB=6，
∴ OG=3，
∵ OG∥AB，
∴ △BHE∽△GHO，
∵ EH:HO=2:5，
∴ BE:OG=2:5，而 OG=3，
∴ BE=65．
25. （1） ∵△PQC 是等腰直角三角形，
∴CQ=CP，
∴8−2t=6−t，
t=2．
即当 t=2 时，△PQC 是等腰直角三角形．
（2） 如图，过 Q 作 QF⊥AB，过点 P 作 PE⊥AB，
∵∠A=∠A，∠AFQ=∠ACB=90∘，
∴Rt△AQF∽Rt△ABC，
∴QFBC=AFAC=AQAB，
∵BC=6，AC=8，AQ=2t，
∴AB=10，QF=65t，AF=85t．
同理可得：PE=45t，BE=35t，
∴y=12×6×8−12×6−t×8−2t−12×5×65t−12×5×45t=−t2+5t.
∵△PQD 的面积是 Rt△ABC 的面积的 14，
∴−t2+5t=6，解得：t1=3，t2=2，
即存在使 △PQD 的面积是 Rt△ABC 的面积的 14 的 t 值，此时 t=3 或 t=2．
（3） ∵QD2=65t2+5−85t2，
同理可得：PD2=45t2+5−35t2，PQ2=8−2t2+6−t2，
当 PD⊥QD 时，PQ2=QD2+PD2，
∴t=2511，
即存在使 PD⊥QD 的 t 值，此时 t=2511．