2019-2020学年天津市南开区津英中学九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市南开区津英中学九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 掷一枚质地均匀的硬币一次，反面朝上的概率是
A. 1B. 12C. 13D. 14

2. 下面所给图形中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 若 a 为方程 x2+x−5=0 的解，则 a2+a+1 的值为
A. 12B. 6C. 9D. 16

4. 若反比例函数 y=−1x 的图象经过点 A3,m，则 m 的值是
A. −3B. 3C. −13D. 13

5. 在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽 AB=160 cm，则油的最大深度为
A. 40 cmB. 60 cmC. 80 cmD. 100 cm

6. 已知反比例函数 y=1−2mx 的图象上有 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，当 x1A. m<0B. m>0C. m<12D. m>12

7. 二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表：
x⋯−3−2−101⋯y⋯−3−2−3−6−11⋯
则该函数图象的顶点坐标为
A. −3,−3B. −2,−2C. −1,−3D. 0,−6

8. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 BC=CD=DA=4 cm，则 ⊙O 的周长为
A. 5π cmB. 6π cmC. 9π cmD. 8π cm

9. 如图，△ABC 与 △DEF 是位似图形，位似比为 2:3，已知 AB=4，则 DE 的长等于
A. 6B. 5C. 9D. 83

10. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为
A. 12.36 cmB. 13.6 cmC. 32.36 cmD. 7.64 cm

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=2，△ABC 绕点 C 顺时针旋转得 △A1B1C，当 A1 落在 AB 边上时，连接 B1B，取 BB1 的中点 D，连接 A1D，则 A1D 的长度是
A. 7B. 2C. 3D. 22

12. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度分别沿 A→B→C 和 A→D→C 的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s），四边形 PBDQ 的面积为 y（单位：cm2），则 y 与 x0≤x≤8 之间函数关系可以用图象表示为
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 两个相似多边形的一组对应边分别为 3 cm 和 4.5 cm，如果它们的面积之和为 130 cm2，那么较小的多边形的面积是 cm2．

14. 将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为 20 cm，点 O 为正方形的中心，AB=5 cm，则 CD 的长为 cm．

15. 一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在 1 号板上的概率是 ．

16. 如图，在 ⊙O 的内接五边形 ABCDE 中，∠CAD=30∘，则 ∠B+∠E= ．

17. 如图，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，G 为矩形对角线的交点，经过点 G 的双曲线 y=kx 与 BC 相交于点 M，则 CM:MB= ．

18. 如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30∘ 后得到正方形 BEFG，EF 与 AD 相交于点 H，延长 DA 交 GF 于点 K．若正方形 ABCD 边长为 3，则 AK= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知：关于 x 的方程 2x2+kx−1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 x=−1，求另一个根及 k 值．

20. 某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的 20 位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的．根据以下信息，解答下列问题．
类别频数频率助人为乐美德少年a0.20自强自立美德少年3b孝老爱亲美德少年70.35诚实守信美德少年60.32
（1）统计表中的 a= ，b= ；
（2）统计表后两行错误的数据是 ，该数据的正确值是 ；
（3）校园小记者决定从 A，B，C 三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求 A，B 都被采访到的概率．

21. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象分别与反比例函数 y=ax 的图象在第一象限交于点 A4,3，与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA=OB．
（1）求函数 y=kx+b 和 y=ax 的表达式；
（2）已知点 C0,5，试在该一次函数图象上确定一点 M，使得 MB=MC．求此时点 M 的坐标．

22. 如图，在边长为 2 的圆内接正方形 ABCD 中，AC 是对角线，P 为边 CD 的中点，延长 AP 交圆于点 E．
（1）∠E= 度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦 DE 的长．

23. 心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分钟）之间满足函数关系 y=−0.1x2+2.6x+430≤x≤30，y 的值越大，表示接受能力越强．
（1）若用 10 分钟提出概念，学生的接受能力 y 的值是多少?
（2）如果改用 8 分钟或 15 分钟来提出这一概念，那么与用 10 分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答．

24. 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如图 1，若点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，求证：△ADF∽△ABC；
（2）如图 2，在（1）的条件下，若 α=45∘，求证：DE2=BD2+CE2；
（3）如图 3，若 α=45∘，点 E 在 BC 的延长线上，则等式 DE2=BD2+CE2 还能成立吗?请说明由．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A1,0，B4,0，C0,3 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 ①，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小?若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图 ②，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC，在线段 BC 上是否存在这样的点 M，使 △CQM 为等腰三角形且 △BQM 为直角三角形?若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. B
4. C
5. A
6. D
7. B
8. D
9. A
10. A
【解析】设宽为 x cm，
则 x20=5−12，
解得 x≈12.36．
11. A
12. B【解析】① 0≤x≤4 时，y=S△ABD−S△APQ=−12t2+8；
② 4≤x≤8 时，y=S△BCD−S△CPQ=−128−t2+8 .
第二部分
13. 40
14. 20
15. 14
16. 210∘
17. 1:3
18. 23−3
【解析】
连接 BH，
∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90∘．
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30∘，
∴∠ABE=60∘．
在 Rt△ABH 和 Rt△EBH 中，
BH=BH,AB=EB.
∴Rt△ABH≌Rt△EBH．
∴∠ABH=∠EBH=12∠ABE=30∘，AH=EH，
∴AH=AB⋅tan∠ABH=3×33=1，
∴EH=1，
∴FH=3−1．
在 Rt△FKH 中，∠FKH=30∘，
∴KH=2FH=23−1，
∴AK=KH−AH=23−1−1=23−3．
第三部分
19. （1） 2x2+kx−1=0，Δ=k2−4×2×−1=k2+8，
无论 k 取何值，k2≥0，
∴k2+8>0，即 Δ>0，
∴ 方程 2x2+kx−1=0 有两个不相等的实数根．
（2） 设 2x2+kx−1=0 的另一个根为 x=a，
则 a+−1=−k2，−1⋅a=−12，
解得 a=12，k=1，
答：2x2+kx−1=0 的另一个根为 x=12，k 的值为 1．
20. （1） 4；0.15
（2） 0.32；0.30
（3） 列表得：
ABCAA,BA,CBB,AB,CCC,AC,B∵
共有 6 种等可能的结果，A，B 都被选中的情况有 2 种，
∴ PA,B都被采访到=26=13．
21. （1） 将 A4,3 代入 y=ax，得 3=a4，
∴ a=12．
OA=42+32=5．
由于 OA=OB 且 B 在 y 轴负半轴上，
所以 B0,−5．
将 A4,3，B0,−5 代入 y=kx+b，
得 3=4k+b,−5=b.
解得 k=2,b=−5.
则所求函数表达式分别为 y=2x−5 和 y=12x．
（2） 因为 MB=MC，
所以点 M 在线段 BC 的中垂线上，即 x 轴上．
又因为点 M 在一次函数的图象上，
所以 M 为一次函数图象与 x 轴的交点．
令 2x−5=0，解得 x=52．
所以，此时 M 的坐标为 52,0．
22. （1） 45
（2） △ACP∽△DEP．
理由：
∵ ∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，
∴ △ACP∽△DEP．
（3） ∵ △ACP∽△DEP，
∴ APDP=ACDE．
∵ P 为 CD 边中点，
∴ DP=CP=1．
∵ AP=AD2+DP2=5，AC=AD2+DC2=22，
∴ DE=DP⋅ACAP=225=2105．
23. （1） 当 x=10 时，y=−0.1x2+2.6x+43=−0.1×102+2.6×10+43=59．
（2） 当 x=8 时，
y=−0.1x2+2.6x+43=−0.1×82+2.6×8+43=57.4<59,
∴ 用 8 分钟与用 10 分钟提出概念相比，学生的接受能力减弱了；
当 x=15 时，
y=−0.1x2+2.6x+43=−0.1×152+2.6×15+43=59.5>59.
∴ 用 15 分钟与用 10 分钟提出概念相比，学生的接受能力增强了．
24. （1） ∵ 点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，
∴ ∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又 ∵ ∠BAC=2∠DAE，
∴ ∠BAC=∠DAF，
∵ AB=AC，
∴ ABAD=ACAF．
∴ △ADF∽△ABC．
（2） ∵ 点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，
∴ EF=DE，AF=AD，
∵ α=45∘，
∴ ∠BAD=90∘−∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF−∠CAD=45∘+45∘−∠CAD=90∘−∠CAD,
∴ ∠BAD=∠CAF，
在 △ABD 和 △ACF 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF.
∴ △ABD≌△ACFSAS，
∴ CF=BD，∠ACF=∠B，
∵ AB=AC，∠BAC=2α，α=45∘，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠B=∠ACB=45∘，
∴ ∠ECF=∠ACB+∠ACF=45∘+45∘=90∘，
在 Rt△CEF 中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2．
（3） DE2=BD2+CE2 还能成立．
理由如下：作点 D 关于 AE 的对称点 F，连接 EF，CF，
由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，
∵ α=45∘，
∴ ∠BAD=90∘−∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF−∠CAD=45∘+45∘−∠CAD=90∘−∠CAD,
∴ ∠BAD=∠CAF，
在 △ABD 和 △ACF 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF.
∴ △ABD≌△ACFSAS，
∴ CF=BD，∠ACF=∠B，
∵ AB=AC，∠BAC=2α，α=45∘，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠B=∠ACB=45∘，
∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF=45∘+45∘=90∘．
∴ ∠ECF=180∘−∠BCF=180∘−90∘=90∘，
在 Rt△CEF 中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2．
25. （1） ∵ 点 A1,0，B4,0 在抛物线上，
∴ 设抛物线解析式为 y=ax−1x−4．
将点 C0,3 代入得 a0−10−4=3,
解得 a=34,
∴ 抛物线解析式为 y=34x−1x−4，
即 y=34x2−154x+3．
（2） 如图，连接 BC 交对称轴于点 P，此时 P 即为所求．
∵ 点 A 与点 B 关于对称轴 x=52 对称，
∴BC≤PB+PC=PA+PC，
即当点 P 在直线 BC 上时，四边形 OAPC 的周长最小，
在 Rt△BOC 中，OB=4，OC=3，∠BOC=90∘，
∴BC=OB2+OC2=5，
∴ 四边形 PAOC 的周长的最小值即 OA+OC+BC=1+3+5=9．
（3） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+t，将点 B4,0，点 C0,3 代入得
4k+t=0,t=3, 解得 k=−34,t=3.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−34x+3．
要使 △CQM 是等腰三角形，且 △BQM 是直角三角形，
则只有以下两种情况，
（i）MQ⊥OB，CM=MQ，如图所示，
∵ 点 M 在 BC 上，设点 M 的坐标为 m,−34m+3，
则 CM=MQ=−34m+3，MB=BC−CM=5−−34m+3=2+34m，
由 sin∠CBO=OCBC=MQBM=35，
即 −34m+32+34m=35，解得 m=32，
则点 M 的坐标为 32,158；
（ii）CM=MQ，MQ⊥BC，如图所示，
过 M 作 MN⊥OB 于 N，
则 ON=m，MN=−34m+3，
在 Rt△BMN 中，易得 BM=MNsin∠MBN=53−34m+3=−54m+5，
∴CM=BC−BM=54m，
在 Rt△BMQ 中，QM=BMtan∠MBQ=34−54m+5，
由 CM=MQ 得：
34−54m+5=54m，
解得 m=127，
此时点 M 的坐标为 127,127．