2019-2020学年天津市和平区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市和平区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为
A. B.
C. D.

2. 一个质地均匀的小正方体，6 个面分别标有数字 1，1，2，4，5，5．若随机投掷一次小正方体，则朝上一面数字是 5 的概率为
A. 16B. 15C. 14D. 13

3. 如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC=50∘，则 ∠CDB 大小为
A. 25∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘

4. 如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，如果标杆 BE=1.2 m．测得 AB=1.6 m．BC=18.4 m．则建筑物的高 CD=
A. 13.8 mB. 15 mC. 18.4 mD. 20 m

5. 抛物线 y=x2−6x+9 与 x 轴的公共点的坐标是
A. 3,0B. 3,3
C. 3,0，13,0D. 0,3

6. 下列说法，其中正确的有
①各有一个角是 60∘ 的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是 80∘ 的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是 100∘ 的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

7. 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OAʹBʹCʹ 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OAʹBʹCʹ 的面积等于矩形 OABC 面积的 14，那么点 Bʹ 的坐标是
A. 3,2B. −2,−3
C. 2,3 或 −2,−3D. 3,2 或 −3,−2

8. 如图，将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 35∘，得到正方形 AEFG，DB 的延长线交 EF 于点 H，则 ∠DHE 的大小为
A. 90∘B. 95∘C. 100∘D. 105∘

9. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF⊥DE 于点 O，则 AODO 等于
A. 12B. 13C. 23D. 253

10. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC 构成，长方形的长 OA 是 12 m，宽 OC 是 4 m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y=−16x2+bx+c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8 m．那么两排灯的水平距离最小是
A. 2 mB. 4 mC. 42 mD. 43 m

11. 已知抛物线 y=x2+2mx+m−7 与 x 轴的两个交点在 1,0 两旁，则关于 x 的方程 14x2+m+1x+m2+5=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有实数根D. 无实数根

12. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如表所示，下列结论，其中正确的个数为
x−1013y−1353
① ac<0；
②当 x>1 时，y 的值随 x 值的增大而减小；
③当 −10；
④对于任意实数 m，4mam+b−6b<9a 总成立．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 已知正六边形的半径是 4，则这个正六边形的周长为 ．

14. 现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为 1，2 的两个小球，另一个装有标号分别为 2，3，4 的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出 1 个小球，两球标号恰好相同的概率是 ．

15. 已知，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点，且 AC=CD．连接 BC，BD．如图，若 ∠CBD=20∘，则 ∠A 的大小为 （度）．

16. 用一个圆心角为 120∘，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．

17. 已知抛物线 y=x2−t+1x+c（t，c 是常数）与 x 轴的公共点的坐标为 m,0，n,0，且 0
三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上．
（1）∠ACB 的大小为 （度）；
（2）在如图所示的网格中，以 A 为中心，取旋转角等于 ∠BAC，把 △ABC 逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的 △ABC，并简要说明旋转后点 C 和点 B 的对应点点 Cʹ 和点 Bʹ 的位置是如何而找到的（不要求证明）．

19. 已知关于 x 的一元二次方程：x2+ax−5=0 的一个根是 1，求 a 的值及该方程的另一根．

20. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 是半圆 O 的三等分点．连接 AC，DO．
（1）如图①，求 ∠BOD 及 ∠A 的大小；
（2）如图②，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，交 ⊙O 于点 H，若 ⊙O 的半径为 2．求 CH 的长．

21. 如图，PA，PB 分别与 ⊙O 相切于点 A，B，点 M 在 PB 上，且 OM∥AP，MN⊥AP，垂足为 N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若 ⊙O 的半径 R=3，PA=9，求 OM 的长．

22. 一个长方体的长与宽的比为 5:2，高为 5 cm．表面积为 40 cm2．求这个长方体的宽．

23. 某商品现在的售价为每件 35 元．每天可卖出 50 件．市场调查反映：如果调整价格．每降价 1 元，每天可多卖出 2 件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?设每件商品降价 x 元．每天的销售额为 y 元．
（1）分析：根据问题中的数量关系．用含 x 的式子填表：
原价每件降价1元每件降价2元⋯每件降价x元每件售价元353433⋯每天售量件505254⋯
（2）由以上分析，用含 x 的式子表示 y，并求出问题的解．

24. 已知，在 Rt△OAB 中，∠OAB=90∘，∠ABO=30∘，OB=4．将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60∘．得到 Rt△ODC．点 A，B 的对应点分别为点 D，C．连接 BC．
（1）如图 1，OD 的长 = ，∠BOC 的大小 = （度），∠OBC 的大小 = （度）．
（2）动点 M，N 同时从点 O 出发，在 △OCB 边上运动，动点 M 沿 O→C→B 路径匀速运动，动点 N 沿 O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时，运动停止．已知点 M 的运动速度为 1.5 个单位/秒，点 N 的运动速度为 1 个单位/秒，设运动时间为 t 秒（t>0），△OMN 的面积为 S．
①如图 2，当点 M 在边 OC 上运动，点 N 在边 OB 上运动时，过点 N 作 NE⊥OC，垂足为点 E，试用含 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围；
②求当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出 S 的最大值（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0,a≠c 与 x 轴交于点 A1,0，顶点为 B．
（1）a=1 时，c=3 时，求抛物线的顶点 B 的坐标；
（2）求抛物线 y1=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个公共点的坐标（用含 a，c 的式子表示）；
（3）若直线 y2=2x+m 经过点 B 且与抛物线 y1=ax2+bx+c 交于另一点 Cca,b+8，求当 x≥1 时，y1 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
2. D【解析】因为共有 6 个面，分别标有数字 1，1，2，4，5，5，
所以朝上一面数字是 5 的概率为 26=13．
3. A【解析】由垂径定理，得：AC=BC，
所以 ∠CDB=12∠AOC=25∘．
4. B【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴BECD=ABAC，
∵BE=1.2，AB=1.6，BC=18.4，
∴AC=20，
∴1.2CD=1.620，
∴CD=15．
5. A
【解析】∵ 抛物线 y=x2−6x+9=x−32，
∴ 当 y=0 时，x=3，
即抛物线 y=x2−6x+9 与 x 轴的公共点的坐标是 3,0．
6. B【解析】各有一个角是 60∘ 的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；
顶点为 80 度的等腰三角形与底角为 80 度的等腰三角形不相似，所以②错误；
各有一个角是 100∘ 的两个等腰三角形的底角都为 40 度，它们相似，所以③正确；
腰与底边成比例的两个等腰三角形相似，所以④错误．
7. D【解析】∵ 矩形 OAʹBʹCʹ 与矩形 OABC 关于点 O 位似，
矩形 OAʹBʹCʹ 的面积等于矩形 OABC 面积的 14，
∴ 矩形 OAʹBʹCʹ 与矩形 OABC 的位似比是 12，
∵ 点 B 的坐标是 6,4，
∴ 点 Bʹ 的坐标是 3,2 或 −3,−2．
8. C【解析】∵ 将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 35∘，得到正方形 AEFG，
∴∠BAE=35∘，∠E=90∘，∠ABD=45∘，
∴∠ABH=135∘，
∴∠DHE=360∘−∠E−∠BAE−∠ABH=360∘−135∘−35∘−90∘=100∘．
9. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠DAO+∠EAO=90∘，
∵E 为 AB 的中点，
∴AE=12AB=12AD，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE=∠DOA=90∘，
∴∠DAO+∠ADO=90∘，
∴∠EAO=∠ADO，
∴△AOE∽△DOA，
∴AODO=AEAD=12．
10. D
【解析】根据题意，得
OA=12，OC=4．
∴ 抛物线的顶点横坐标为 6，
即 −b2a=b13=6，
∴b=2，
∵C0,4，
∴c=4，
∴ 抛物线解析式为：
y=−16x2+2x+4=−16x−62+10，
当 y=8 时，
8=−16x−62+10，
解得 x1=6+23，x2=6−23．
则 x1−x2=43．
∴ 两排灯的水平距离最小是 43．
11. D【解析】∵ 抛物线 y=x2+2mx+m−7 与 x 轴的两个交点在 1,0 两旁，
∴ 当 x=1 时，y=1+2m+m−7<0，得 m<2，
∵ 方程 14x2+m+1x+m2+5=0，
∴Δ=m+12−4×14×m2+5=2m−4<0，
即方程 14x2+m+1x+m2+5=0 无实数根．
12. B【解析】①由图表中数据可得出：x=1 时，y=5，
∴ 二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，a<0；又 x=0 时，y=3，
∴c=3>0，
∴ac<0，故①正确；
② ∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x=1.5，
∴ 当 x≥1.5 时，y 的值随 x 值的增大而减小，故②错误；
③ ∵x=−1 时，ax2+bx+c=−1，
∴x=−1 时，ax2+b−1x+c=0，
∵x=3 时，ax2+b−1x+c=0，且函数有最大值，
∴ 当 −10，故③正确．
④将 x=−1，y=−1，x=0，y=3，x=1，y=5 代入 y=ax2+bx+c，
得 a−b+c=−1,c=3,a+b+c=5, 解得：a=−1,b=3,c=3,
∴y=−x2+3x+3=−x−322+214，
可知当 x=32 时，y 取得最大值，
即当 x=m 时，am2+bm+c≤94a+32b+c，
变形可得 4mam+b−6b≤9a，故④错误．
第二部分
13. 24
【解析】正六边形的半径为 2 cm，则边长是 4，因而周长是 4×6=24．
14. 16
【解析】画树状图得：
∴ 一共有 6 种等可能的结果，两球标号恰好相同的有 1 种情况，
∴ 两球标号恰好相同的概率是 16．
15. 70
【解析】∵AC=CD，
∴AC=CD，
∴∠ABC=∠CBD=20∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠A=90∘−20∘=70∘．
16. 43
【解析】120π×4180=2πr，解得 r=43．
17. m>t
【解析】∵y=x2−t+1x+c，
∴ 其对称轴为 x=t+12，
∵ 与 x 轴交于 m,0，n,0 两点，
∴m+n2=t+12，整理可得 n=t+1−m，
又 0 ∴n<1，
∴t+1−m<1，即 t第三部分
18. （1） 90
【解析】∵AC=32，BC=42，AB=52，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90∘．
（2） 如图，延长 AC 到格点 Bʹ，使得 ABʹ=AB=52，取格点 E，F，G，H，连接 EG，FH 交于点 Q，取格点 Eʹ，Fʹ．Gʹ，Hʹ，连接 EʹGʹ，FʹHʹ 交于点 Qʹ，作直线 AQʹ，直线 BʹQ 交于点 Cʹ，△ABʹCʹ 即为所求．
19. ∵ 关于 x 的一元二次方程：x2+ax−5=0 的一个根是 1，
∴12+a−5=0，
解得 a=4；
设方程的另一个根为 x2，
则 x2+1=−4，
解得：x2=−5．
故方程的另一根为 −5．
20. （1） 如图①，连接 OC，
∵ 点 C，D 是半圆 O 的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD，
∵AB 为直径，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=13×180∘=60∘，
∵OC=OA，
∴△AOC 为等边三角形，
∴∠A=60∘；
即 ∠BOD 及 ∠A 的大小为 60∘，60∘；
（2） 如图②，连接 OC．
∵CF⊥AB，
∴CF=HF，
在 Rt△OCF 中，
∵∠COF=60∘，
∴OF=12OC=1，
∴CF=3OF=3，
∴CH=2CF=23．
21. （1） 如图连接 OA，则 OA⊥AP，
∵MN⊥AP，
∴MN∥OA，
∵OM∥AP，
∴ 四边形 ANMO 是矩形，
OM=AN．
（2） 连接 OB，则 OB⊥BP，
∴∠OBM=∠MNP=90∘，
∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP，
∴OB=MN，∠OMB=∠NPM，
∴△OBM≌△MNP，
∴OM=MP，
设 OM=x，则 NP=9−x，
在 Rt△MNP 中，有 x2=32+9−x2，
∴x=5，即 OM=5．
22. 设这个长方体的宽为 2x cm，则长为 5x cm，
依题意，得：25x⋅2x+5⋅5x+5⋅2x=40，
整理，得：2x2+7x−4=0，
解得：x1=12，x2=−4（不合题意，舍去），
所以 2x=1．
答：这个长方体的宽为 1 cm．
23. （1） 35−x；50+2x
（2） 根据题意，每天的销售额 y=35−x50+2x0配方得 y=−2x−52+1800，
∵a<0，
∴ 当 x=5 时，y 取得最大值 1800．
答：当每件商品降价 5 元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为 1800 元．
24. （1） 2；60；60
【解析】由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60∘，
所以 △OBC 是等边三角形，
所以 ∠OBC=60∘．
（2） ①当 M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动时，由（Ⅰ）知，△OBC 是等边三角形，
所以 OB=OC=BC=4，
由运动知，1.5t≤4，
所以 t≤83，
即：0由运动知，ON=t，OM=1.5t，
过点 N 作 NE⊥OC 且交 OC 于点 E，
则 NE=ON⋅sin60∘=32t，
所以 S△OMN=12⋅OM⋅NE=12×1.5t×32t，
所以 S=338t20②当 t 为 83 秒时，S 取得最大值，最大值为 833．
【解析】②当 0此时，当 t=83 时，S最大=833；
当 83作 MH⊥OB 于 H．
则 BM=8−1.5t，MH=BM⋅sin60∘=328−1.5t，
所以 S=12×ON×MH=−338t2+23t=−338t−832+833，
而 −338<0，
所以 S 由 833 逐渐减小，减小到 23，
当 4 MN=12−2.5t，OG=AB=23，
所以 S=12⋅MN⋅OG=123−532t，
而 −532<0，
S 由 23 逐渐减小，减小到接近于 0，
由此可知，当 t 为 83 秒时，S 取得最大值，最大值为 833．
25. （1） ∵ 抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0,a≠c 与 x 轴交于点 A 1,0，
∴a+b+c=0．
把 a=1，c=3 代入上式，得 1+b+3=0，解得 b=−4．
∴y1=x2−4x+3=x−22−1．
∴ 抛物线的顶点 B 的坐标是 2,−1．
（2） 由（Ⅰ）知，a+b+c=0，则 b=−a−c．
则抛物线 y1=ax2+bx+c=ax2+−a−cx+c．
方程 ax2+−a−cx+c=0 的两个根是 x1=1，x2=ca．
∵a≠c，
∴ 抛物线 y1=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个公共点的坐标是 ca,0．
（3） ∵Cca,b+8 在抛物线上，
由（Ⅱ）知 ca,0 也在抛物线上，
∴b+8=0，即 b=−8，
∵a+c=−b，
∴c=8−a. ⋯⋯ ①
由 y1=ax2−8x+c 得到顶点 B 的坐标是 4a,c−16a．
把 C 点代入直线解析式 y2=2x+m 得：0=2ca+m．
m=−2ca．
把 B4a,c−16a 代入 y2=2x−2ca，
得 c−16a=2×4a−2ca. ⋯⋯ ②
联立①，②并求解得：a=2，c=6 或 a=4，c=4．
∵a≠c．
∴a=2，c=6．
∴ 抛物线表达式为：y1=2x2−8x+6，
A，B，C 点的坐标分别为 1,0，2,−2，3,0．
当 x≥1 时，y1 的最小值是 −2，无最大值．
∴y1 的取值范围为：y1≥−2．