2019-2020学年天津市和平二十一中八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市和平二十一中八上期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列约分正确的是
A. 2b+ca+3b+c=2a+3B. a−b2b−a2=−1
C. a+ba2+b2=2a+bD. x−y2xy−x2−y2=1y−x

2. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，其周长为 20 cm，则 AB 边的取值范围是
A. 1 cmC. 4 cm
3. 图1是一个长为 2a，宽为 2b a>b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. 2abB. a+b2C. a−b2D. a2−b2

4. 化简 1x+1−1x−1，可得
A. 2x2−1B. −2x2−1C. 2xx2−1D. −2xx2−1

5. 如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，BC=4，AB 边的垂直平分线交 AC 于点 D，则 △BDC 的周长是
A. 8B. 9C. 10D. 11

6. 下列运算正确的是
A. a−2a=aB. −2a23=−8a6
C. a6+a3=a2D. a+b2=a2+b2

7. 如果 a3b22÷ab32=3，那么 a8b4 等于
A. 6B. 9C. 12D. 81

8. 如图，地面上有三个洞口 A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及三个洞口（到 A，B，C 三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在
A. △ABC 三边垂直平分线的交点B. △ABC 三条角平分线的交点
C. △ABC 三条高所在直线的交点D. △ABC 三条中线的交点

9. 在 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，AB=AʹBʹ，∠A=∠Aʹ，若证 △ABC≌△AʹBʹCʹ 还要从下列条件中补选一个，错误的选法是
A. ∠B=∠BʹB. ∠C=∠CʹC. BC=BʹCʹD. AC=AʹCʹ

10. 如图，在 CD 上求一点 P，使它到 OA，OB 的距离相等，则 P 点是
A. 线段 CD 的中点B. OA 与 OB 的中垂线的交点
C. OA 与 CD 的中垂线的交点D. CD 与 ∠AOB 的平分线的交点

11. 如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB=AC=BD，则图中 ∠1 与 ∠2 的关系是
A. ∠1=2∠2B. ∠1+∠2=180∘
C. ∠1+3∠2=180∘D. 3∠1−∠2=180∘

12. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程
A. 24x+2−20x=1B. 20x−24x+2=1C. 24x−20x+2=1D. 20x+2−24x=1

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 代数式 1x−3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

14. 分解因式：x2+2x−3= ．

15. 如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，AD，CE 交于点 H，请你添加一个适当的条件： ，使 △AEH≌△CEB．

16. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有 对．

17. 计算：342007×−1132008= ．

18. 如图，∠AOB=60∘，OC 平分 ∠AOB，如果射线 OA 上的点 E 满足 △OCE 是等腰三角形，那么 ∠OEC 的度数为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
19. 计算：
（1）x+12−x+2x−2；
（2）x−1x2+x÷x2−2x+1x2−1−1x；
（3）a2a−1−a−1；
（4）1−11−x÷xx−1．

20. 因式分解：
（1）3x−12x3；
（2）1−a2−b2−2ab．

21. 如图，已知 AD∥BC，∠PAB 的平分线与 ∠CBA 的平分线相交于 E，CE 的延长线交 AP 于 D．求证：AD+BC=AB．

22. 如图，已知等边三角形 ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC 于 M，求证：M 是 BE 的中点．

23. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长 600 km 的普通公路，另一条是全长 480 km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．

24. 如图，已知 △ABC 中，AB=AC=12 cm，BC=10 cm，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在线段 BC 上以 2 cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 AC 上由 A 点向 C 点以 4 cm/s 的速度运动．
（1）若 P，Q 两点分别从 B，A 两点同时出发，经过 2 秒后，△BPD 与 △CQP 是否全等，请说明理由；
（2）若 P，Q 两点分别从 B，A 两点同时出发，△CPQ 的周长为 18 cm，问：经过几秒后，△CPQ 是等腰三角形?
答案
第一部分
1. D
2. B【解析】设 AB=xcm，则 AC=xcm，BC=20−2xcm．
根据三角形的三边关系，得 x+x>20−2x,20−2x+x>x，解得 5所以 5 cm3. C【解析】a+b2−4ab .
4. B【解析】1x+1−1x−1=x−1−x+1x2−1=−2x2−1．
5. C
6. B
7. B【解析】由 a3b22÷ab32=3，得 a4b2=3，
∴a8b4=9．
8. A【解析】三角形三边垂直平分线的交点称为外心，根据垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等．
9. C
10. D
11. D
12. B
第二部分
13. x≠3
14. x+3x−1
15. AE=CE（或 AH=BC 或 EH=BE）
【解析】∵ AD⊥BC，CE⊥AB，
∴ ∠AEH=∠CEB=∠ADB=90∘．
∵ ∠BAD+∠B=90∘，∠BCE+∠B=90∘，
∴ ∠BAD=∠BCE．可添加 EH=BE 或 AH=BC，由“AAS”可证明 △AEH=△CEB；可添加 AE=CE，
由“ASA”可证明 △AEH≌△CEB．
16. 3
17. 43
18. 120∘ 或 75∘ 或 30∘
第三部分
19. （1） x+12−x+2x−2=x2+2x+1−x2+4=2x+5.
（2） x−1x2+x÷x2−2x+1x2−1−1x=x−1xx+1⋅x+1x−1x−12−1x=1x−1x=0.
（3） a2a−1−a−1=a2a−1−a+1=a2−a+1a−1a−1=a2−a2+1a−1=1a−1.
（4） 1−11−x÷xx−1=1−x−11−x×x−1x=−x1−x×x−1x=1.
20. （1） 3x−12x3=3x1−4x2=3x1+2x1−2x.
（2） 原式=1−a2+2ab+b2=1−a+b2=1+a+b1−a−b.
21. 在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF．如图，
∵ AE 平分 ∠PAB，
∴ ∠DAE=∠FAE，
在 △DAE 和 △FAE 中，
AD=AF,∠DAE=∠FAE,AE=AE,
∴ △DAE≌△FAE，
∴ ∠AFE=∠ADE，
∵ AD∥BC，
∴ ∠ADE+∠C=180∘，
∵ ∠AFE+∠EFB=180∘，
∴ ∠EFB=∠C，
∵ BE 平分 ∠ABC，
∴ ∠EBF=∠EBC，
在 △BEF 和 △BEC 中，
∠EFB=∠C,∠EBF=∠EBC,BE=BE,
∴ △BEF≌△BEC，
∴ BC=BF，
∴ AD+BC=AF+BF=AB．
22. 如图，连接 BD，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E=30∘．
∵BD 是 AC 边上的中线，
∴BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠DBC=30∘，
∴∠DBE=∠E．
∴DB=DE．
∵DM⊥BE，
∴DM 是 BE 边上的中线，
∴ M 是 BE 的中点．
23. 设客车由高速公路从甲地到乙地需 x 小时，则走普通公路需 2x 小时，
根据题意得：
6002x+45=480x,
解得
x=4,
经检验，x=4 是原方程的根，且符合题意．
答：客车由高速公路从甲地到乙地需 4 小时．
24. （1） △BPD≌△CQP．理由如下：
当 P，Q 两点分别从 B，A 两点同时出发运动 2 秒时，BP=2×2=4 cm，AQ=4×2=8 cm，
所以 CP=BC−BP=10−4=6 cm，CQ=AC−AQ=12−8=4 cm，
因为 D 是 AB 的中点，
所以 BD=12AB=12×12=6 cm，
所以 BP=CQ，BD=CP，
因为 △ABC 中，AB=AC，
所以 ∠B=∠C，
在 △BPD 和 △CQP 中，BP=CQ,∠B=∠C,BD=CP.
所以 △BPD≌△CQP．
（2） 设当 P，Q 两点同时出发运动 t 秒时，有 BP=2t，AQ=4t，
所以 t 的取值范围为 0所以 CP=10−2t，CQ=12−4t，
因为 △CPQ 的周长为 18 cm，
所以 PQ=18−10−2t−12−4t=6t−4 要使 △CPQ 是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
① 当 CP=CQ 时，则有 10−2t=12−4t 解得：t=1．
② 当 PQ=PC 时，则有 6t−4=10−2t 解得：t=74．
③ 当 QP=QC 时，则有 6t−4=12−4t 解得：t=85．
三种情况均符合 t 的取值范围．
综上所述，经过 1 秒或 74 秒或 85 秒时，△CPQ 是等腰三角形．