2019-2020学年天津市南开区南大附中八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市南开区南大附中八上期末数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是
A. B.
C. D.

2. 若式子 x+3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x>3B. x≥3C. x>−3D. x≥−3

3. 如图，在 △ABC 与 △DEF 中，已有条件 AB=DE，还需要添加两个条件才能使 △ABC≌△DEF．不能添加的一组条件是
A. ∠B=∠E，BC=EFB. BC=EF，AC=DF
C. ∠A=∠D，∠B=∠ED. ∠A=∠D，BC=EF

4. 下列约分正确的是
A. 2b+ca+3b+c=2a+3B. a−b2b−a2=−1
C. a+ba2+b2=2a+bD. x−y2xy−x2−y2=1y−x

5. 若 x，y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是
A. 3x2yB. 3x2y2C. 3x22yD. 3x32y2

6. 如图，△ABC 中，AB+BC=10，AC 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D 和 E，则 △BCD 的周长是
A. 6B. 8C. 10D. 无法确定

7. 等腰三角形的一个角是 80∘，则它的底角是
A. 50∘B. 80∘C. 50∘ 或 80∘D. 20∘ 或 80∘

8. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x−1 的是
A. x2−1B. xx−2+2−x
C. x2−2x+1D. x2+2x+1

9. 计算 8−2 的结果是
A. 6B. 6C. 2D. 2

10. 下列运算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a23=a5
C. 2a2+3a2=5a6D. a+2ba−2b=a2−4b2

11. 如图，MN 是线段 AB 的垂直平分线，C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧，BC 交 MN 于 P 点，则
A. BC>PC+APB. BCC. BC=PC+APD. BC≥PC+AP

12. 请你计算：1−x1+x，1−x1+x+x2,⋯．猜想 1−x1+x+x2+⋯+xn 的结果是
A. 1−xn+1B. 1+xn+1C. 1−xnD. 1+xn

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 点 P−1,3 关于 y 轴的对称点的坐标是 ．

14. 某红外线遥控器发出的红外线波长为 0.00000094 m，用科学记数法表示这个数是 m．

15. 当 x=2 时，分式 1x−1 的值是 ．

16. 三角形的三边长分别为 20 cm，40 cm，45 cm，则这个三角形的周长为 cm．

17. 观察下列等式：
第 1 个等式：a1=11+2=2−1，
第 2 个等式：a2=12+3=3−2，
第 3 个等式：a3=13+2=2−3，
第 4 个等式：a4=12+5=5−2．按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第 n 个等式：an= ；
（2）a1+a2+a3+⋯+an = ．

18. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠CAB=60∘，按以下步骤作图：
①分别以 A，B 为圆心，以大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 P 和点 Q．
②作直线 PQ 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE．若 CE=4，则 AE= ．

三、解答题（共6小题；共78分）
19. （1）计算：4+352；
（2）分解因式：3m2x−y2−3mn2．

20. （1）请先将下式化简，再选择一个适当的数代入求值．1−2x+2−1x2−4÷1x2−4x+4．
（2）解方程：14x+8=4x+103x+24．

21. 如图，已知点 B，E，C，F 在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．

22. 已知：如图，△ABC 和 △BDE 都是等边三角形，且 A，E，D 三点在同一条直线上．请你证明 DA−DB=DC．

23. 王师傅检修一条长 600 米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的 1.2 倍，结果提前 2 小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米?

24. （1）如图（1），已知在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点 D，E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在 △ABC 中，AB=AC，D，A，E 三点都在直线 m 上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中 α 为任意锐角或钝角．请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D，E 是 D，A，E 三点所在直线加上的两动点（D，A，E 三点互不重合），点 F 为 ∠BAC 平分线上的一点，且 △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，连接 BD，CE，若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断 △DEF 的形状．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. D
5. A
6. C
7. C
8. D【解析】A、 x2−1=x+1x−1，故 A 选项不合题意；
B 、 xx−2+2−x=x−2x−1，故 B 选项不合题意；
C 、 x2−2x+1=x−12，故 C 选项不合题意；
D、 x2+2x+1=x+12，故 D 选项符合题意．
9. D
10. D
11. C
12. A【解析】1−x1+x=1−x2，
1−x1+x+x2=1+x+x2−x−x2−x3=1−x3，
⋯，
以此类推，1−x1+x+x2+⋯+xn=1−xn+1．
第二部分
13. 1,3
14. 9.4×10−7
15. 1
16. 55+210
17. 1n+n+1=n+1−n，n+1−1
【解析】（1）因为第 1 个等式：a1=11+2=2−1，
第 2 个等式：a2=12+3=3−2，
第 3 个等式：a3=13+2=2−3，
第 4 个等式：a4=12+5=5−2，
所以第 n 个等式：an=1n+n+1=n+1−n．
（2）a1+a2+a3+⋯+an=2−1+3−2+2−3+5−2+⋯+n+1−n=n+1−1.
18. 8
第三部分
19. （1） 原式=16+245+45=61+245.
（2） 原式=3m2x−y2−n2=3m2x−y+n2x−y−n.
20. （1） 1−2x+2−1x2−4÷1x2−4x+4=xx+2−1x−2x+2×x−221=xx+2−x−2x+2=2x+2,
取 x=1，原式=21+2=23．
（2）
42x=12x+96+10x,20x=96,
解得：
x=4.8,
经检验 x=4.8 是原分式方程的解；
因此，原方程的解为 x=4.8．
21. 因为 BE=CF，
所以 BC=EF．
因为 AB∥DE，
所以 ∠B=∠DEF，
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠A=∠D,∠B=∠DEF,BC=EF,
所以 △ABC≌△DEF，
所以 AB=DE．
22. ∵ △ABC 和 △BDE 都是等边三角形，
∴ AB=BC，BE=BD=DE，∠ABC=∠EBD=60∘．
∴ ∠ABC−∠EBC=∠EBD−∠EBC，
∴ ∠ABE=∠CBD，
在 △ABE 和 △CBD 中，
AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴ △ABE≌△CBD，
∴ AE=CD．
∵ AD−DE=AE，
∴ AD−BD=DC．
23. 设原计划每小时检修管道 x 米．
由题意，得
600x−6001.2x=2.
解得
x=50.
经检验，x=50 是原方程的解．且符合题意 .
答：原计划每小时检修管道 50 米．
24. （1） ∵ BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴ ∠BDA=∠CEA=90∘．
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠BAD+∠CAE=90∘，
∵ ∠BAD+∠ABD=90∘，
∴ ∠CAE=∠ABD．
又 AB=AC，
∴ △ADB≌△CEA．
∴ AE=BD，AD=CE．
∴ DE=AE+AD=BD+CE．
（2） 成立．∵ ∠BDA=∠BAC=α，
∴ ∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘−α．
∴ ∠DBA=∠CAE．
∵ ∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，
∴ △ADB≌△CEA．
∴ AE=BD，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE．
（3） 由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵ △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，
∴ ∠ABF=∠CAF=60∘．
∴ ∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．
∴ ∠DBF=∠FAE．
∵ BF=AF，
∴ △DBF≌△EAF．
∴ DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴ ∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘．
∴ △DEF 为等边三角形．