2019-2020学年大连市高新区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年大连市高新区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 以下列各组线段为边能组成三角形的是
A. 1 cm，2 cm，4 cmB. 2 cm，3 cm，5 cm
C. 4 cm，6 cm，8 cmD. 5 cm，6 cm，12 cm

2. 下列计算正确的是
A. a3⋅a3=2a3B. a23=a5
C. a3÷a=a3D. −a2b2=a4b2

3. 点 3,−2 关于 x 轴的对称点是
A. −3,−2B. 3,2C. −3,2D. 3,−2

4. 如图，△ABC≌△DEF，则下列判断错误的是
A. AB=DEB. BE=CF
C. AC=DFD. ∠ACB=∠DEF

5. 若多项式 x2+ax+b 分解因式的结果为 ax−2x+3，则 a，b 的值分别是
A. a=1，b=−6B. a=5，b=6C. a=1，b=6D. a=5，b=−6

6. 当分式 x−2x−2 的值为零时，x 的值为
A. 0B. 2C. −2D. ±2

7. 如图，在平面直角坐标系中，点 A2,1，点 P 在坐标轴上，若以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 个．
A. 5B. 6C. 8D. 9

8. 如图，△AOB≌△ADC，点 B 和点 C 是对应顶点，∠O=∠D=90∘，记 ∠OAD=α，∠ABO=β，当 BC∥OA 时，α 与 β 之间的数量关系为
A. α=βB. α=2βC. α+β=90∘D. α+2β=180∘

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 计算：m1−m−11−m= ．

10. 分解因式：ax2−9a= ．

11. y2−8y+m 是完全平方式，则 m= ．

12. 等腰三角形一边等于 4，另一边等于 6，则这个等腰三角形的周长为 ．

13. 若正 n 边形的每个内角都等于 150∘，则 n= ，其内角和为 ．

14. 一件工作，甲独做 a 小时完成，乙独做 b 小时完成，若甲，乙两人合作完成，需要 小时．

15. 已知 a+1a=5，则 a2+1a2 的值是 ．

16. 如图，在等腰三角形纸片 ABC 中，AB=AC，∠A=40∘，折叠该纸片，使点 A 落在点 B 处，折痕为 DE，则 ∠CBE= ∘．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. （1）计算：13−1−16+−20160；
（2）分解因式：3x2−6x+3．

18. （1）解方程：xx+1=2x3x+3+1．
（2）先化简，再求值：1−a−ba+2b+a2−b2a2+4ab+4b2，其中 a=3，b=−1．

19. 如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于点 O，AC=BD，求证：BC=AD．

20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为 2,4．
（1）画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1；
（2）写出点 A1 的坐标；
（3）在 x 轴上找一点 P，使 PB+PC 的和最小．（标出点 P 即可，不用求点 P 的坐标）

21. 甲乙两人分别从距目的地 6 千米和 10 千米的两地同时出发，甲乙的速度比是 3:4，结果甲比乙提前 20 分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度．

22. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=45∘，点 D 在 AC 上，DE⊥AB 于点 E，且 DE=DC，连接 EC．请写出图中所有等腰三角形（△ABC 除外），并说明理由．

23. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，连接 AC，BD 交于点 O，设 △AOD，△AOB，△BOC，△COD 的面积分别为 S1，S2，S3，S4．
（1）求证：S2=S4；
（2）设 AD=m，BC=n，S1S2=mn，S1S3=m2n2，根据上述条件，判断 S1+S3 与 S2+S4 的大小关系，并说明理由．

24. 某商场有甲、乙两箱不同价格的糖果，甲糖果为 m kg，单价为 a 元/kg；乙糖果为 n kg，单价为 b 元/kg．商场决定对两种糖果混合出售，混合单价为 am+bnm+n 元/kg．（混合单价=总价钱总质量）．
（1）若 a=30，m=30，b=25，n=20，则混合后的糖果单价为 元/kg；
（2）若 a=30，商场现在有单价为 24 元/kg 的这种混合糖果 100 kg，商场想通过增加甲种糖果，把混合后的单价提高 15%，问应加入甲种糖果多少千克?
（3）若 m=40，n=60，从甲、乙两箱取出相同质量的糖果，将甲箱取出的糖果与乙箱剩余的糖果混合：将乙箱取出的糖果与甲箱剩余的混合，两种混合糖果的混合单价相同，求甲、乙两箱取出多少糖果．

25. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E．
（1）如图 1，连接 CE，求证：△BCE 是等边三角形；
（2）如图 2，点 M 为 CE 上一点，连接 BM，作等边 △BMN，连接 EN，求证：EN∥BC；
（3）如图 3，点 P 为线段 AD 上一点，连接 BP，作 ∠BPQ=60∘，PQ 交 DE 延长线于 Q，探究线段 PD，DQ 与 AD 之间的数量关系，并证明．

26. 在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，在 △ABC 外作 ∠ACM=12∠ABC，点 D 为直线 BC 上的动点，过点 D 作直线 CM 的垂线，垂足为 E，交直线 AC 于点 F．
（1）当点 D 在线段 BC 上时，如图 1 所示，
① ∠EDC= ∘；
②探究线段 DF 与 EC 的数量关系，并证明；
（2）当点 D 运动到 CB 延长线上时，请你画出图形，并证明此时 DF 与 EC 的数量关系．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. D
5. A
6. C
7. C
8. B
第二部分
9. −1
10. ax+3x−3
11. 16
12. 14 或 16
13. 12，1800∘
14. aba+b
15. 23
16. 30
第三部分
17. （1） 13−1−16+−20160=3−4+1=−1+1=0.
（2） 3x2−6x+3=3x2−2x+1=3x−12.
18. （1） 方程两边同乘以 3x+1，
3x=2x+3x+3.−2x=3.x=−32.
检验：当 x=−32 时，3x+1≠0，
∴ 原方程的解为
x=−32.
（2） 原式=1−a−ba+2b⋅a+2b2a+ba−b=1−a+2ba+b=a+b−a−2ba+b=−ba+b.
当 a=3，b=−1 时，
原式=−ba+b=13−1=12．
19. ∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ △ABC，△BAD 都是直角三角形．
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AC=BD,AB=BA,
∴ Rt△ABC≌Rt△BADHL．
∴ BC=AD．
20. （1） 如图所示：
（2） 由图可知，A1−2,4．
（3） 如图所示，点 P 即为所求．
21. 设甲的速度为 3x 千米/时，则乙的速度为 4x 千米/时．
根据题意，得
63x+13=104x,
解得
x=1.5.
经检验，x=1.5 是原方程的根，且符合题意．
所以甲的速度为 3x=4.5 千米/时，乙的速度为 4x=6 千米/时．
答：甲的速度为 4.5 千米/时，乙的速度为 6 千米/时．
22. 等腰三角形 △AED，△DEC，△BEC．
证明：
∵∠A=45∘，DE⊥AB 于点 E，
∴∠AED=90∘，
∴∠ADE=45∘，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴△AED 为等腰直角三角形，
∵DE=DC，
∴△DEC 为等腰三角形，
∵∠BEC=180∘−90∘−22.5∘=67.5∘，
又 ∵∠A=45∘，AE=AC，
∴∠B=67.5∘，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=EC，
∴△BEC 为等腰三角形．
23. （1） 过 A，D 分别作 AE⊥BC 于点 E，DF⊥BC 于点 F，
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∴S△ABC=S△DBC，
∴S△ABC−S△OBC=S△DBC−S△OBC，
即 S△ABO=S△DCO，
∴S2=S4．
（2） ∵S1S2=mn，
∴S2=nmS1，
∵S1S3=m2n2，
∴S3=n2m2S1，
∴S3+S1=n2+m2m2S1，
∵S2=S4，
∴S2+S4=2nmS1，
∴S1+S3−S2+S4=n2+m2m2S1−2nmS1=m−n2m2S1，
当 m=n 时，m−n2m2=0，
S1+S3=S2+S4，
当 m≠n 时，m−n2m2>0，
S1+S3−S2+S4>0，
S1+S3>S2+S4．
24. （1） 28
【解析】若 a=30，m=30，b=25，n=20，
则混合后的糖果单价为 am+bnm+n=30×30+25×2030+20=28．
（2） 设应加入甲种糖果 x 千克，则
30x+24×100x+100=24×1+15%,
解得：
x=150,
经检验，x=150 是原方程的解，且符合题意．
答：应加入甲种糖果 150 千克；
（3） 设甲、乙两箱各取出 y 千克糖果，由题意得
by+a40−y40−y+y=ay+b60−y60−y+y,
整理得
5yb−a=120b−a,
因为甲、乙是两种单价不同的糖果，
所以
a≠b,
所以
b−a≠0,
所以
5y=120,
解得
y=24,
答：甲、乙两箱糖果各取出 24 千克的糖果．
25. （1） ∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=60∘，
∵BD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠DBA=12∠ABC=30∘，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=12AB=BE，
∵∠ABC=60∘，
∴△BCE 是等边三角形．
（2） ∵△BCE 与 △MNB 都是等边三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60∘，
∴∠CBM=∠EBN，
在 △CBM 和 △EBN 中，
BC=BE,∠CBM=∠EBN,BM=BN,
∴△CBM≌△EBNSAS，
∴∠BEN=∠BCM=60∘，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN∥BC．
（3） DQ=AD+DP；理由如下：
延长 BD 至点 F，使 DF=PD，连接 PF，如图 4 所示：
∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30∘+30∘=60∘，
∴△PDF 为等边三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60∘，
∵∠PDQ=90∘−∠A=60∘，
∴∠F=∠PDQ=60∘，
∴∠BDQ=180∘−∠BDC−∠PDQ=60∘，
∴∠BPQ=∠BDQ=60∘，
∴∠Q=∠PBF，
在 △PFB 和 △PDQ 中，
∠Q=∠PBF,∠PDQ=∠F,PF=PD,
∴△PFB≌△PDQAAS，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．
26. （1） ① 22.5
② DF=2CE．理由如下：
证明：作 ∠PDE=22.5∘，交 CE 的延长线于 P 点，交 CA 于点 N，如图 2 所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5∘，
∴∠EDC=22.5∘，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45∘，
∴∠DPC=67.5∘，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45∘，∠NCD=45∘，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90∘，
∴ND=NC 且 ∠DNC=∠PNC，
在 △DNF 和 △CNP 中，
∠DNC=∠PNC,ND=NC,∠PDE=∠PCN,
∴△DNF≌△CNPASA，
∴DF=PC，
∴DF=2CE．
【解析】①如图 1 所示：
∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∵∠ACM=12∠ABC=22.5∘，
∴∠BCM=67.5∘，
∵DE⊥CM，
∴∠EDC=90∘−∠BCM=22.5∘．
（2） DF=2CE：理由如下：
证明：作 ∠PDE=22.5∘，交 CE 的延长线于 P 点，交 CA 的延长线于 N，如图 3 所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5∘，
∴∠EDC=22.5∘，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45∘，
∴∠DPC=67.5∘，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45∘，∠NCD=45∘，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90∘，
∴ND=NC 且 ∠DNC=∠PNC，
在 △DNF 和 △PNC 中，
∠DNC=∠PNC,ND=NC,∠PDE=∠PCN,
∴△DNF≌△PNCASA，
∴DF=PC，
∴DF=2CE．