2019-2020学年天津市西青区杨柳青三中九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市西青区杨柳青三中九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列事件中，属于必然事件的是
A. 明天我市下雨
B. 掷一枚硬币，正面朝下
C. 购买一张福利彩票中奖了
D. 掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零

2. 掷一枚质地均匀的硬币一次，反面朝上的概率是
A. 1B. 12C. 13D. 14

3. 在平面直角坐标系中，点 P1,2 关于原点对称的点的坐标是
A. −1,−2B. −1,2C. 1,−2D. 2,1

4. 反比例函数 y=−32x 中的常数 k 为
A. −3B. 2C. −12D. −32

5. 下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 如图，已知 ⊙O 是 △ABD 的外接圆，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，∠ABD=58∘，则 ∠BCD 等于
A. 116∘B. 32∘C. 58∘D. 64∘

7. 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是
A. 62B. 34C. 63D. 43

8. 如图，P 是 ⊙O 直径 AB 延长线上的一点，PC 与 ⊙O 相切于点 C，若 ∠P=20∘，则 ∠A 的度数为
A. 40∘B. 35∘C. 30∘D. 25∘

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=30∘，BC=23，以直角边 AC 为直径作 ⊙O 交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是
A. 1534−32πB. 1532−32πC. 734−π6D. 732−π6

10. 已知二次函数 y=ax2−1 的图象开口向下，则直线 y=ax−1 经过的象限是
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限

11. 用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米．若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为
A. x5+x=6B. x5−x=6
C. x10−x=6D. x10−2x=6

12. 如图，将边长为 10 的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是 AB 边上的动点（不与端点 A，B 重合），作 CD⊥OB 于点 D，若点 C，D 都在双曲线 y=kx 上（k>0，x>0），则 k 的值为
A. 253B. 183C. 93D. 9

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 已知反比例函数 y=n+3x 的图象在同一象限内 y 随 x 的增大而减小，则 n 的取值范围是 ．

14. 如图，平行四边形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30∘，得到平行四边形 ABʹCʹDʹ（点 Bʹ 与点 B 是对应点，点 Cʹ 与点 C 是对应点），点 Bʹ 恰好落在 BC 边上，则 ∠C= ．

15. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有 3 个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为 15，那么口袋中小球共有 个．

16. 如果关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则实数 a 的取值范围是 ．

17. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求另外三个顶点 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是 ．

18. 如图是抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线 x=2，与 x 轴的一个交点是 −1,0，有下列结论：
① abc<0，② 4a+b=0，③抛物线与 x 轴的另一个交点是 5,0，④若点 −2,y1，5,y2 都在抛物线上，则有 y1
三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A2,−4，B4,−4，C1,−1．
（1）画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1，直接写出点 A1 的坐标 ．
（2）画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后的 △A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求线段 BC 扫过的面积（结果保留 π）．

20. 如图，一次函数 y=−x+2 的图象与反比例函数 y=−3x 的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于 D 点，且 C，D 两点关于 y 轴对称．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求 △ABC 的面积．

21. 如图，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘 B 的四个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，4．转动 A，B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AF 是 ⊙O 的切线，CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F，CD=43，BE=2．求证：
（1）四边形 FADC 是菱形；
（2）FC 是 ⊙O 的切线．

23. 已知某商品的进价为每件 20 元，当售价为每件 25 元时，每天可卖出 250 件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价 1 元，每天要少卖出 10 件．
（1）求出每天所得的销售利润 w（元）与每件商品涨价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了 A，B 两种营销方案．
方案 A：每件商品涨价不超过 5 元；
方案 B：每件商品的利润至少为 16 元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

24. 一位同学拿了两块 45∘ 的三角尺 △MNK 和 △ACB 做了一个探究活动：将 △MNK 的直角顶点 M 放在 △ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC=BC=a．
（1）如图 1，两个三角尺的重叠部分为 △ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（2）将图 1 中的 △MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45∘，得到图 2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（3）如果将 △MNK 绕 M 旋转到不同于图 1，图 2 的位置，如图 3 所示，猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证．

25. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 y=0.5x2−3.5x−4 经过 A，B 两点．若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA，CA 和抛物线于点 E，M 和 P，连接 PA，PB．设直线 l 移动的时间为 t0答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. D
5. C
6. B
7. A
8. B
9. A【解析】如图连接 OD，CD．
因为 AC 是直径，
所以 ∠ADC=90∘ .
因为 ∠A=30∘，
所以 ∠ACD=90∘−∠A=60∘ .
因为 OC=OD，
所以 △OCD 是等边三角形.
因为 BC 是切线．
所以 ∠ACB=90∘ .
因为 BC=23，
所以 AB=43，AC=6 .
所以S阴=S△ABC−S△ACD−S扇形OCD−S△OCD=12×6×23−12×3×33−60π⋅32360−34×32=1534−32π.
10. D
11. B【解析】设一边长为 x 米，则另外一边长为 5−x 米，由题意，得 x5−x=6．
12. C
第二部分
13. n>−3
14. 105∘
15. 15
【解析】设小球共有 x 个，则 3x=15，
解得：x=15．
16. a≤1 且 a≠0
17. 3【解析】连接 BD．
在矩形 ABCD 中，
因为 AB=4，AD=3，
所以 BD=42+32=5．
因为 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，
所以 318. ②③
第三部分
19. （1） A1−2,−4，正确画出对称后的图形．
（2） 正确画出旋转后的图形．
（3） 14422π−22π=152π．
20. （1） 根据题意得 y=−x+2,y=−3x.
解方程组得 x=−1,y=3 或 x=3,y=−1.
∴A 点坐标为 −1,3，B 点坐标为 3,−1．
（2） 把 y=0 代入 y=−x+2 得 −x+2=0，解得 x=2，
∴D 点坐标为 2,0，
∵C，D 两点关于 y 轴对称，
∴C 点坐标为 −2,0，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×2+2×3+12×2+2×1=8.
21. （1） 画树状图得：
则共有 12 种等可能的结果．
（2） ∵ 两个数字的积为奇数的情况有 4 种，
∴ 两个数字的积为奇数的概率为：412=13．
22. （1） 如图 1，连接 OC，
∵ AB 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴ CE=DE=12CD=12×43=23，
设 OC=x，
∵ BE=2，
∴ OE=x−2，
在 Rt△OCE 中，OC2=OE2+CE2，
∴ x2=x−22+232，
解得：x=4，
∴ OA=OC=4，OE=2，
∴ AE=6，
在 Rt△AED 中，AD=AE2+DE2=43，
∴ AD=CD，
∵ AF 是 ⊙O 切线，
∴ AF⊥AB，
∵ CD⊥AB，
∴ AF∥CD，
∵ CF∥AD，
∴ 四边形 FADC 是平行四边形，
∵ AD=CD，
∴ 平行四边形 FADC 是菱形．
（2） 如图 2，连接 OF，AC，
∵ 四边形 FADC 是菱形，
∴ FA=FC，
∴ ∠FAC=∠FCA，
∵ AO=CO，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∴ ∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即 ∠OCF=∠OAF=90∘，
∴ OC⊥FC，
∵ 点 C 在 ⊙O 上，
∴ FC 是 ⊙O 的切线．
23. （1） 根据题意得：
w=25+x−20250−10x．
w=−10x2+200x+1250=−10x−102+22500≤x≤25．
（2） ∵ −10<0，
∴ 抛物线开口向下，二次函数有最大值．
当 x=10 时，销售利润最大，此时销售单价为：10+25=35（元）．
答：当销售单价为 35 元时，该商品每天的销售利润最大．
（3） 抛物线对称轴是直线 x=10，开口向下，对称轴左侧 w 随 x 的增大而增大，对称轴右侧 w 随 x 的增大而减小．
方案 A：根据题意得，x≤5，则 0≤x≤5，
∴ 当 x=5 时，利润最大，最大利润为 w=−10×52+200×5+1250=2000（元）．
方案 B：根据题意得，25+x−20≥16，解得：x≥11，则 11≤x≤25，故当 x=11 时，利润最大，最大利润为 w=−10×112+200×11+1250=2240（元）．
∵ 2240>2000，
∴ 方案 B的最大利润更高．
24. （1） 14a2；1+2a
（2） 14a2；2a
（3） 猜想：重叠部分的面积为 14a2．
理由如下：
如图，过点 M 分别作 AC，BC 的垂线 MH，MG，垂足为 H，G，
设 MN 与 AC 的交点为 E，MK 与 BC 的交点为 F，
因为 M 是 △ABC 斜边 AB 的中点，AC=BC=a，
所以 MH=MG=12a，∠MHE=∠MGF=90∘，
所以四边形 MHCG 为正方形，
所以 ∠HMG=90∘，
所以 ∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，
所以 ∠HME=∠GMF，
在 △MHE 和 △MGF 中，
∠MHE=∠MGF,MH=MG,∠HME=∠GMF,
所以 △MHE≌△MGF，
所以阴影部分的面积等于正方形 CGMH 的面积，
因为 S正方形CGMH=MG⋅MH=12a×12a=14a2，
所以阴影部分的面积是 14a2．
25. 对于抛物线 y=0.5x2−3.5x−4，令 y=0，得到 0.5x2−3.5x−4=0，
解得 x1=−1，x2=8；令 x=0，解得 y=−4；
所以 A8,0，B0,−4，
因为 AB=AC，OA⊥BC，
所以 OB=OC，
所以 C0,4，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
将 A8,0，C0,4 代入得 8k+b=0,b=4, 解得 k=−12,b=4.
所以直线 AC 的解析式为 y=−12x+4，
因为直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，时间为 t，
所以 OE=2t，P2t,2t2−7t−4，M2t,4−t，
因为 BC=8，PM=4−t−2t2−7t−4=−2t2+6t+8，AE=8−2t，
所以
S=S梯形BCMP+S△PMA=12⋅−2t2+6t+8+8×2t+128−2t−2t2+6t+8=−8t2+32t+32=−8t−22+64,
因为 −8<0，
所以当 t=2 时，四边形 PBCA 的最大面积为 64．