2019-2020学年天津市西青区杨柳青二中九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市西青区杨柳青二中九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列说法中，正确的是
A. 不可能事件发生的概率为 0
B. 随机事件发生的概率为 0
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定为 50 次

2. 一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、 3 个红球和 5 个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是
A. 12B. 13C. 103D. 15

3. 观察下列图形，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图，则反比例函数 y=−ax 与一次函数 y=bx−c 在同一坐标系内的图象大致是
A. B.
C. D.

5. 如图，正方形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 40∘ 得到正方形 ODEF，连接 AF，则 ∠OFA 的度数是
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘

6. 如图，点 A，B，C 是 ⊙O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交 ⊙O 于点 F，则 ∠BAF 等于
A. 12.5∘B. 15∘C. 20∘D. 22.5∘

7. 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是
A. 62B. 34C. 63D. 43

8. 如图，P 是 ⊙O 直径 AB 延长线上的一点，PC 与 ⊙O 相切于点 C，若 ∠P=20∘，则 ∠A 的度数为
A. 40∘B. 35∘C. 30∘D. 25∘

9. 有一个边长为 50 cm 的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为
A. 50 cmB. 252 cmC. 502 cmD. 503 cm

10. 下列函数中，是二次函数的有
①y=1−2x2 ②y=1x2 ③y=x1−x ④y=1−2x1+2x
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

11. 三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x2−6x+8=0 的解，则这个三角形的周长是
A. 8B. 8 或 10C. 10D. 8 和 10

12. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 −1,2，且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中 −24ac．其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图，点 M 是反比例函数 y=axa≠0 的图象上一点，过 M 点作 x 轴、 y 轴的平行线，若 S阴影=5，则此反比例函数解析式为 ．

14. 如图，平行四边形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30∘，得到平行四边形 AB′C′D′（点 B′ 与点 B 是对应点，点 C′ 与点 C 是对应点，点 D′ 与点 D 是对应点），点 B′ 恰好落在 BC 边上，则 ∠C= 度．

15. 在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球 4 个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；⋯ 如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于 20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个．

16. 如图是一张长 9 cm 、宽 5 cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是 12 cm2 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 x cm，则可列出关于 x 的方程为 .

17. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，若 ⊙O 的半径为 4，则阴影部分的面积等于 ．

18. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2−2x+2 上运动，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连接 BD，则对角线 BD 的最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图所示，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了 △ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将 △ABC 向上平移 5 个单位得到 △A1B1C1 请画出 △A1B1C1．
（2）请以点 A 为位似中心画出 △A2B2C2 使 △A2B2C2 与 △ABC 位似，且位似比为 2:1．

20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y=mx 与直线 y=−2x+2 交于点 A−1,a．
（1）求 a，m 的值；
（2）求该双曲线与直线 y=−2x+2 另一个交点 B 的坐标．

21. 一个盒子里有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏．规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲乙两人是否公平．

22. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，AC 是弦，点 P 是 BA 延长线上一点，连接 PC，BC．∠PCA=∠B．
（1）求证：PC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 PC=6，PA=4，求直径 AB 的长．

23. 用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 x 米，面积为 y 平方米．
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）当 x 为何值时，围成的养鸡场面积为 60 平方米?
（3）能否围成面积为 70 平方米的养鸡场?如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

24. 在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 ∠EAF=∠CEF=45∘．
（1）将 △ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90∘，得到 △ABG（如图 ①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A1,0，B4,0，C0,3 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 ①，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小?若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图 ②，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC，在线段 BC 上是否存在这样的点 M，使 △CQM 为等腰三角形且 △BQM 为直角三角形?若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. A【解析】P摸出白球=52+3+5=12．
3. C
4. C【解析】观察二次函数图象可知：
开口向上，a>0；对称轴大于 0，−b2a>0，b<0；二次函数图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴，c>0．
∵ 反比例函数中 k=−a<0，
∴ 反比例函数图象在第二、四象限内；
∵ 一次函数 y=bx−c 中，b<0，−c<0，
∴ 一次函数图象经过第二、三、四象限．
5. C
6. B【解析】
连接 OB，
∵ 四边形 ABCO 是平行四边形，
∴OC=AB．
又 OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，
∴△AOB 为等边三角形．
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB．
∴∠BOF=∠AOF=30∘．
由圆周角定理得 ∠BAF=12∠BOF=15∘．
7. A
8. B
9. C
10. C
11. C
12. D
第二部分
13. y=−5x
14. 105
15. 8
16. 9−2x5−2x=12
17. 163π
【解析】
连接 OC 、 OD 、 OE，OC 交 BD 于 M，OE 交 DF 于 N，过 O 作 OZ⊥CD 于 Z，
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60∘，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵ 在 Rt△BMO 中，OB=4，∠BOM=60∘，
∴BM=OB×sin60∘=23，OM=OB⋅cs60∘=2，
∴BD=2BM=43，
∴△BDO 的面积是 12×BD×OM=12×43×2=43，
同理 △FDO 的面积是 43；
∵∠COD=60∘，OC=OD=4，
∴△COD 是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60∘，
在 Rt△CZO 中，OC=4，OZ=OC×sin60∘=23，
∴S扇形OCD−S△COD=60π⋅42360−12×4×23=83π−43，
∴ 阴影部分的面积是：43+43+83π−43+83π−43=163π．
18. 1
【解析】因为 BD=AC，所以当 A 在顶点时 AC 最小．
第三部分
19. （1） 如图所示，△A1B1C1 即为所求．
（2） 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
20. （1） ∵ 点 A 的坐标是 −1,a，在直线 y=−2x+2 上，
∴ a=−2×−1+2=4 .
∴ 点 A 的坐标是 −1,4 .
代入反比例函数 y=mx，
∴ m=−4．
（2） 解方程组 y=−2x+2,y=−4x.
解得：x=−1,y=4 或 x=2,y=−2.
∴ 该双曲线与直线 y=−2x+2 另一个交点 B 的坐标为 2,−2．
21. （1） P奇=36=12；
（2） 12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6
由此可见，共有 36 种等可能结果，其中摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的结果有 18 种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有 18 种．
∴ P甲=1836=12,P乙=1836=12．
∴ 这个游戏对甲乙两人是公平的．
22. （1） 连接 OC，如图所示：
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
即 ∠1+∠2=90∘，
∵OB=OC，
∴∠2=∠B，
又 ∵∠PCA=∠B，
∴∠PCA=∠2，
∴∠1+∠PCA=90∘，
即 PC⊥OC，
∴PC 是 ⊙O 的切线；
（2） ∵∠PAC=∠B+∠ACB，∠PCB=∠PCA+∠ACB，∠PCA=∠B，
∴∠PAC=∠PCB，
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴PCPA=PBPC，
∴PC2=PA⋅PB，
∴62=4×PB，
解得：PB=9，
∴AB=PB−PA=9−4=5．
23. （1） 设围成的矩形一边长为 x 米，则矩形的邻边长为 32÷2−x 米．
依题意得 y=x32÷2−x=−x2+16x．
∴ y 关于 x 的函数关系式是 y=−x2+16x0＜x＜16．
（2） 由（1）知，y=−x2+16x．
当 y=60 时，−x2+16x=60，即 x−6x−10=0．
解得 x1=6，x2=10，
即当 x 是 6 或 10 时，围成的养鸡场面积为 60 平方米．
（3） 不能围成面积为 70 平方米的养鸡场．
理由如下：由（1）知，y=−x2+16x．
当 y=70 时，−x2+16x=70，即 x2−16x+70=0．
∵Δ=−162−4×1×70=−24<0，
∴ 该方程无解．
∴ 不能围成面积为 70 平方米的养鸡场．
24. （1） 因为 △ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90∘，得到 △ABG，
所以 AF=AG，∠FAG=90∘，
因为 ∠EAF=45∘，
所以 ∠GAE=45∘，
在 △AGE 与 △AFE 中，
AG=AF,∠GAE=∠FAE=45∘,AE=AE,
所以 △AGE≌△AFESAS．
（2） 设正方形 ABCD 的边长为 a．
将 △ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90∘，得到 △ABG，连接 GM．
则 △ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知 △AEG≌△AEF，
所以 EG=EF．
因为 ∠CEF=45∘，
所以 △BME，△DNF，△CEF 均为等腰直角三角形，
所以 CE=CF，BE=BM，NF=2DF，
所以 a−BE=a−DF，
所以 BE=DF，
所以 BE=BM=DF=BG，
所以 ∠BMG=45∘，
所以 ∠GME=45∘+45∘=90∘，
所以 EG2=ME2+MG2，
因为 EG=EF，MG=2BM=2DF=NF，
所以 EF2=ME2+NF2．
（3） EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点，将 △ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90∘，得到 △AGH，连接 HM，HE．
由（1）知 △AEH≌△AEF，
则由勾股定理有 GH+BE2+BG2=EH2，
即 GH+BE2+BM−GM2=EH2，
又因为 EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，
所以有 GH+BE2+BE−GH2=EF2，
即 2DF2+BE2=EF2．
25. （1） ∵ 点 A1,0，B4,0 在抛物线上，
∴ 设抛物线解析式为 y=ax−1x−4．
将点 C0,3 代入得 a0−10−4=3,
解得 a=34,
∴ 抛物线解析式为 y=34x−1x−4，
即 y=34x2−154x+3．
（2） 如图，连接 BC 交对称轴于点 P，此时 P 即为所求．
∵ 点 A 与点 B 关于对称轴 x=52 对称，
∴BC≤PB+PC=PA+PC，
即当点 P 在直线 BC 上时，四边形 OAPC 的周长最小，
在 Rt△BOC 中，OB=4，OC=3，∠BOC=90∘，
∴BC=OB2+OC2=5，
∴ 四边形 PAOC 的周长的最小值即 OA+OC+BC=1+3+5=9．
（3） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+t，将点 B4,0，点 C0,3 代入得
4k+t=0,t=3, 解得 k=−34,t=3.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−34x+3．
要使 △CQM 是等腰三角形，且 △BQM 是直角三角形，
则只有以下两种情况，
（i）MQ⊥OB，CM=MQ，如图所示，
∵ 点 M 在 BC 上，设点 M 的坐标为 m,−34m+3，
则 CM=MQ=−34m+3，MB=BC−CM=5−−34m+3=2+34m，
由 sin∠CBO=OCBC=MQBM=35，
即 −34m+32+34m=35，解得 m=32，
则点 M 的坐标为 32,158；
（ii）CM=MQ，MQ⊥BC，如图所示，
过 M 作 MN⊥OB 于 N，
则 ON=m，MN=−34m+3，
在 Rt△BMN 中，易得 BM=MNsin∠MBN=53−34m+3=−54m+5，
∴CM=BC−BM=54m，
在 Rt△BMQ 中，QM=BMtan∠MBQ=34−54m+5，
由 CM=MQ 得：
34−54m+5=54m，
解得 m=127，
此时点 M 的坐标为 127,127．