必修 第一册1.4 充分条件与必要条件优质ppt课件

这是一份必修 第一册1.4 充分条件与必要条件优质ppt课件，共48页。PPT课件主要包含了第2课时充要条件，必备知识•探新知，p⇔q，知识点，充要条件，基础知识，基础自测，必要不充分条件，关键能力•攻重难，题型探究等内容，欢迎下载使用。

1.4　充分条件与必要条件
1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__________，此时p是q的充分必要条件，简称____________．2．条件与结论的等价性：如果p是q的____________，那么q也是p的____________．3．概括：如果__________，那么p与q互为____________．
思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
1．下列命题中是真命题的是(　　)①“x＞3”是“x＞4”的必要条件；②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．A．①B．①②C．①③D．②③
2．“x＝0”是“x2＝0”的(　　)A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件[解析]　因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．
3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　)A．x＜0，y＜0B．x＜0，y＞0C．x＞0，y＞0D．x＞0，y＜0[解析]　P(x，y)在第二象限，等价于x＜0，y＞0．
4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q的(　　)A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]　因为{x|－1＜x＜3}{x|x＜3}，所以p是q的必要不充分条件．
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________．(2)“x＜5”是“x＜3”的__________________．[解析]　(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为AB，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．
　　　　(1)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|＞3，q：x2＞9．
(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：①s是q的什么条件？②r是q的什么条件？③p是q的什么条件？
[解析]　(1)①在△ABC中，显然有∠A＞∠B⇔BC＞AC，所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．③由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件．
(2)①∵q是r的必要条件，∴r⇒q．∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s．∴s是q的充要条件．②由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．③∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p．∴p是q的必要条件．
[归纳提升]　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
【对点练习】❶ (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)A．丙是甲的充分不必要条件B．丙是甲的必要不充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙是甲的既不充分又不必要条件
(3)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为______；一个充分不必要条件为____________________．[解析]　(1)a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0．
6≤a≤9(答案不唯一)　
　　　　设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0．
[解析]　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0时，又当x＞0，y＞0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0．综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
[归纳提升]　充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
【对点练习】❷ 证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．[解析]　(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)：因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．综上可知，结论得证．
　　　　已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)A．(－1,6)B．[－1,6]C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)[分析]　可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围．
[归纳提升]　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
【对点练习】❸ (1)(2021·重庆七校高二期末)已知p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．(2)(2021·上海徐汇区高一联考)已知x∈R，p：x2＜x，q：x－a≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________．
[解析]　(1)由题意，p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，因为q是p的必要不充分条件，即{x|－1＜x＜3}{x|－1＜x＜m＋1}，则m＋1＞3，解得m＞2，即实数m的取值范围是{m|m＞2}．(2)由x2＜x，得x(x－1)＜0，得0＜x＜1．由x－a≤0，得x≤a．设A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x≤a}，∵p是q的充分不必要条件，∴AB，∴a≥1．故实数a的取值范围是{a|a≥1}．
误将充分条件当作充要条件　　　　给出下列各组条件：①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；③p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；④p：x＞2或x＜－1，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有(　　)A．1组B．2组C．3组D．4组
[错因分析]　误将充分条件当作充要条件，当p⇒q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p⇒q与q⇒p同时成立，才能称p是q的充要条件．
[方法点拨]　对于两个条件A，B，若A⇒B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A⇔B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．
充分条件、必要条件的证明充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点．
　　　　(2021·江苏连云港高二检测)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．[解析]　(1)必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0．所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．
[归纳提升]　充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：①充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；②必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p．解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．
1．设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件[解析]　a，b都是偶数可推出a＋b是偶数；当a＋b是偶数时，a，b可以都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
2．若“x＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)A．a≥3B．a≤－1C．－1≤a≤3D．a≤3[解析]　因为“x＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件[解析]　当x＝1时，x2－2x＋1＝0成立；当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，解得x＝1，所以x＝1是x2－2x＋1＝0的充要条件．
4．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是_________．[解析]　因为“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m＞2．
5．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．[解析]　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程 ax2＋bx＋c＝0有一个根为1．因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．