2019_2020学年济南市槐荫区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年济南市槐荫区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 点 −1,−2 所在的象限为
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 反比例函数 y=kx 的图象经过点 1,−2，则 k 的值为
A. −1B. −2C. 1D. 2

3. 若 y=kx−4 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k 的值可能是下列的
A. −4B. 0C. 1D. 3

4. 在平面直角坐标系中，函数 y=−x+1 的图象经过
A. 第一、二、三象眼B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第一、三、四象限

5. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，若 ∠B=50∘，则 ∠A 的度数为
A. 80∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘

6. 如图，点 A1.5,3 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 α，tanα=
A. 1B. 1.5C. 2D. 3

7. 抛物线 y=−3x2−x+4 与坐标轴的交点个数是 个．
A. 3B. 2C. 1D. 0

8. 在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m 与 y=−mxm≠0 的图象可能是
A. B.
C. D.

9. 如图，点 A 是反比例函数 y=2xx>0 的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y=−3x 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 C 、 D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD 为
A. 2B. 3C. 4D. 5

10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为 1，则直线 y=x−2 与 ⊙O 的位置关系是
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 以上三种情况都有可能

11. 竖直向上发射的小球的高度 hm 关于运动时间 ts 的函数表达式为 h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是
A. 第 3 秒B. 第 3.9 秒C. 第 4.5 秒D. 第 6.5 秒

12. 如图，将抛物线 y=x−12 的图象位于直线 y=4 以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线 y=−x+m 与新图象只有四个交点，求 m 的取值范围
A. 34
二、填空题（共6小题；共30分）
13. 直线 y=kx+b 经过点 0,0 和 1,2，则它的解析式为 ．

14. 如图，A，B，C 是 ⊙O 上的点，若 ∠AOB=70∘，则 ∠ACB 的度数为 ．

15. 如图，已知点 A0,1，B0,−1，以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C，则 ∠BAC 等于 度．

16. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 y=12x2 经过平移得到抛物线 y=12x2−2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．

17. 如图，已知点 A，C 在反比例函数 y=axa>0 的图象上，点 B，D 在反比例函数 y=bxb<0 的图象上，AB∥CD∥x 轴，AB，CD 在 x 轴的两侧，AB=3，CD=2，AB 与 CD 的距离为 5，则 a−b 的值是 ．

18. 如图所示，⊙O 的面积为 1，点 P 为 ⊙O 上一点，令记号【 n,m 】 表示半径 OP 从如图所示的位置开始以点 O 为中心连续旋转 n 次后，半径 OP 扫过的面积．旋转的规则为：第 1 次旋转 m 度；第 2 次从第 1 次停止的位置向相同的方向再次旋转 m2 度：第 3 次从第 2 次停止的位置向相同的方向再次旋转 m4 度；第 4 次从第 3 次停止的位置向相同的方向再次旋转 m8 度 ⋯ 依此类推．例如【 2,90 】 =38，则【 2017,180 】 = ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. （1）计算 sin245∘+cs30∘⋅tan60∘．
（2）在直角三角形 ABC 中，已知 ∠C=90∘，∠A=60∘，BC=3，求 AC．

20. 如图，⊙O 的直径 CD=10，AB 是 ⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，OM:OC=3:5．求 AB 的长度．

21. 如图，点 3,m 为直线 AB 上的点．求该点的坐标．

22. 如图，在 ⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接 AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若 ∠DBE=37∘，求 ∠ADC 的度数．

23. 某体育用品店购进一批单价为 40 元的球服，如果按单价 60 元销售，那么一个月内可售出 240 套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 5 元，销售量相应减少 20 套．求当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?

24. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30∘，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48∘，若坡脚 ∠FAE=30∘，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48∘≈0.7，cs48∘≈0.7，tan48∘≈1.1，3≈1.7）

25. 如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，点 D 为对角线 OB 的中点，点 E4,n 在边 AB 上，反比例函数 y=kxk≠0 在第一象限内的图象经过点 D，E，且 tan∠BOA=12．
（1）求边 AB 的长；
（2）求反比例函数的解析式和 n 的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折痕分别与 x，y 轴正半轴交于点 H，G，求线段 OG 的长．

26. 如图，抛物线 y=33x2+3x−4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求点 A 、点 C 的坐标；
（2）求点 O 到 AC 的距离；
（3）若点 P 为抛物线上一点，以 2 为半径作 ⊙P，当 ⊙P 与直线 AC 相切时，求点 P 的横坐标．

27. （1）如图 1，Rt△ABD 和 Rt△ABC 的斜边为 AB，直角顶点 D，C 在 AB 的同侧，求证：A，B，C，D 四个点在同一个圆上．
（2）如图 2，△ABC 为锐角三角形，AD⊥BC 于点 D，CF⊥AB 于点 F，AD 与 CF 交于点 G，连接 BG 并延长交 AC 于点 E，作点 D 关于 AB 的对称点 P，连接 PF．求证：点 P，F，E 三点在一条直线上．
（3）如图 3，△ABC 中，∠A=30∘，AB=AC=2，点 D，E，F 分别为 BC，CA，AB 边上任意 一点，△DEF 的周长有最小值，请你直接写出这个最小值．
答案
第一部分
1. C【解析】点 −1,−2 所在的象限为第三象限．
2. B【解析】∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 1,−2，
∴k=1×−2=−2．
3. A【解析】∵y=kx−4 的函数值 y 随 x 的增大而减小，
∴k<0，而四个选项中，只有A符合题意．
4. C【解析】∵y=−x+1，
∴k<0，b>0，
故直线经过第一、二、四象限．
5. D
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠C=90∘．
∵∠B=50∘，
∴∠A=90∘−50∘=40∘．
6. C【解析】根据题意得：tanα=31.5=2．
7. A【解析】抛物线解析式 y=−3x2−x+4，令 x=0，解得：y=4，
∴ 抛物线与 y 轴的交点为 0,4，令 y=0，得到 −3x2−x+4=0，即 3x2+x−4=0，分解因式得：3x+4x−1=0，解得：x1=−43，x2=1，
∴ 抛物线与 x 轴的交点分别为 −43,0，1,0，
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为 3 个．
8. B【解析】方法一：
A、 y=−mx 的图象在一、三象限，则 −m>0，即 m<0．
y=mx+m 中，与 y 轴相交于正半轴，则常数项 m>0，y 随 x 的增大而增大，
则一次项系数 m>0，三个 m 不同号，故选项错误；
B、 y=−mx 的图象在一、三象限，则 −m>0，即 m<0．
y=mx+m 中，与 y 轴相交于负半轴，则常数项 m<0，y 随 x 的增大而增大，
则一次项系数 m<0，三个 m 同号，故选项正确；
C、 y=−mx 的图象在二、四象限，则 −m<0，即 m>0．
y=mx+m 中，与 y 轴相交于正半轴，则常数项 m>0，y 随 x 的增大而减小，
则一次项系数 m<0，三个 m 不同号，故选项错误；
D、 y=−mx 的图象在二、四象限，则 −m<0，即 m>0．
在 y=mx+m 中，与 y 轴相交于负半轴，则常数项 m<0，y 随 x 的增大而增大，
则一次项系数 m>0，三个 m 不同号，故选项错误．
方法二：
①当 m>0 时，一次函数 y=mx+m 的图象过第一、二、三象限，符合一次函数图象的只有A选项，
反比例函数 y=−mx 的图象过点第二、四象限，符合反比例函数图象的有C，D选项，
∴ 同时符合的一次函数和反比例函数图象的选项没有；
②当 m<0 时，一次函数 y=mx+m 的图象过第二、三、四象限，符合一次函数图象的只有B选项，
反比例函数 y=−mx 的图象过点第一、三象限，符合反比例函数图象的有A，B选项，
∴ 同时符合一次函数图象和反比例函数图象的选项是B．
9. D【解析】设 A 的纵坐标是 b，则 B 的纵坐标也是 b．
把 y=b 代入 y=2x 得，b=2x，则 x=2b，即 A 的横坐标是 2b；
同理可得：B 的横坐标是：−3b．
则 AB=2b−−3b=5b．
则 S平行四边形ABCD=5b×b=5．
10. B
【解析】因为令 x=0，则 y=−2；令 y=0，则 x=2，
所以 A0,−2，B2,0，
因为 OA=OB=2，
所以 △AOB 是等腰直角三角形，
所以 AB=2，
如图，过点 O 作 OD⊥AB，
则 OD=BD=12AB=12×2=1，
所以直线 y=x−2 与 ⊙O 相切．
11. B【解析】由题意可得，h=at2+bt 的对称轴为直线 x=2+62=4，
∴ 当 x=4，h 取得最大值，
∴ 在选项中当 t=3.9 时，h 的值最大．
12. A【解析】令 y=4，则 4=x−12，
解得 x=3或−1，
所以 A−1,4，
平移直线 y=−x+m 知：直线位于 l1 和 l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于 l1 时，此时 l2 过点 A−1,4，
所以 4=1+m，即 m=3．
②当直线位于 l2 时，此时 l2 与函数 y=x−12 的图象有一个公共点，
所以方程 −x+m=x2−2x+1，
即 x2−x+1−m=0 有两个相等实根，
所以 Δ=1−41−m=0，
即 m=34．
由①②知若直线 y=−x+m 与新图象只有四个交点，m 的取值范围为 34第二部分
13. y=2x
【解析】将 0,0，1,2 代入 y=kx+b，b=0,k+b=2, 解得 k=2,b=0,
∴ 该直线的解析式为 y=2x．
14. 35∘
【解析】∵A，B，C 是 ⊙O 上的点，∠AOB=70∘，
∴∠ACB=12∠AOB=35∘．
15. 60
【解析】∵A0,1，B0,−1，
∴AB=2，OA=1，
∴AC=2，在 Rt△AOC 中，cs∠BAC=OAAC=12，
∴∠BAC=60∘．
16. 4
【解析】如图，过点 B 作 BC⊥y 轴于点 C，
根据平移得：x 轴上面的阴影部分的面积等于四边形 OABC 中空白部分的面积，则对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于四边形 OABC 的面积，
y=12x2−2x=12x2−4x+4−4=12x−22−2.
因为点 B 是抛物线 y=12x2−2x 的顶点，
所以 B2,−2，
所以 AB=2，BC=2，
因为四边形 OABC 为矩形，
所以 S四边形OABC=2×2=4，
即对称轴与两端抛物线所围成的阴影部分的面积等于 4．
17. 6
18. 22017−122017
【解析】由题意可得：【 2017,180 】 反应的是开始第一次以 180∘ 旋转，第二次以 180∘2 旋转，⋯ 旋转 2017 次．
∴ 【 2017,180 】 =22017−122017
第三部分
19. （1） sin245∘+cs30∘⋅tan60∘=12+32=2.
（2） ∵∠B=90∘−∠A=90∘−60∘=30∘，tanB=ACBC=AC3，
∴AC=3⋅tanB=3tan30∘=3×33=3．
20. 连接 OB，
∵⊙O 的直径 CD=10，
∴OC=5，
∵OM:OC=3:5，
∴OM=3，
∵AB⊥CD，且 CD 为 ⊙O 的直径，
∴△BOM 是直角三角形，且 AB=2BM；
在 Rt△BOM 中，OB=5，OM=3，
∴BM=OB2−OM2=52−32=4，
∴AB=2BM=8．
21. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
因为直线 AB 过点 −1,2 和 −2,0，
所以 2=−k+b,0=−2k+b, 解得 k=2,b=4.
所以直线 AB 的解析式为 y=2x+4．
因为点 3,m 为直线 AB 上的点，
所以当 x=3 时，m=2×3+4=10，
所以该点的坐标为 3,10．
22. （1） ∵AB，CD 是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90∘，
在 Rt△ADB 和 Rt△CBD 中，
AB=CD,BD=DB
∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL）；
（2） ∵BE 是切线，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE=90∘，
∵∠DBE=37∘，
∴∠ABD=53∘，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA=90∘−53∘=37∘，
∴∠ADC 的度数为 37∘．
23. 设销售单价为 x 元，一个月内获得的利润为 w 元，
w=x−40240−x−605×20=−4x−802+6400,
所以 x=80 时，w 取得最大值，此时 w=6400，
即当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元．
24. 如图，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H，
则四边形 DHCG 为矩形．
故 DG=CH，CG=DH，
在直角三角形 AHD 中，
∵ ∠DAH=30∘，AD=6，
∴ DH=3，AH=33，
∴ CG=3，
设 BC 为 x，
在直角三角形 ABC 中，AC=BCtan∠BAC=x1.1，
∴ DG=33+x1.1，BG=x−3，
在直角三角形 BDG 中，
∵ BG=DG⋅tan30∘，
∴ x−3=33+x1.1×33，
解得：x≈13，
∴ BC≈13 米，
答：大树的高度约为 13 米．
25. （1） ∵ 点 E4,n 在边 AB 上，
∴ OA=4，
在 Rt△AOB 中，
∵ tan∠BOA=12．
∴ AB=OA×tan∠BOA=4×12=2．
（2） 根据（1），可得点 B 的坐标为 4,2，
∵ 点 D 为 OB 的中点，
∴ D2,1，
∴ k2=1，
解得 k=2．
∴ 反比例函数解析式为 y=2x．
∵ 点 E4,n 在反比例函数图象上，
∴ 24=n，
解得 n=12．
（3） 如图，
设点 Fa,2，
∵ 反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，
∴ 2a=2，
解得 a=1，
∴ CF=1，
连接 FG，设 OG=t，则 OG=FG=t，CG=2−t，
在 Rt△CGF 中，GF2=CF2+CG2，
即 t2=2−t2+12，
解得 t=54，
∴ OG=t=54．
26. （1） 令 y=0，则 33x2+3x−4=0，
整理得，x2+3x−4=0，
解得 x1=1，x2=−4，
∴ 点 A 的坐标为 −4,0，
令 x=0，则 y=−4×33=−433，
∴ 点 C 的坐标为 0,−433．
（2） ∵A−4,0，C0,−433，
∴OA=4，OC=433，
根据勾股定理得，AC=OA2+OC2=42+4332=833，
设点 O 到 AC 的距离为 h，
则 S△AOC=12OA⋅OC=12AC⋅h，
即 12×4×433=12×833h，
解得 h=2，
∴ 点 O 到 AC 的距离为 2．
（3） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
∵ 直线经过点 A−4,0，C0,−433，
∴−4k+b=0,b=−433,
解得 k=−33,b=−433,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−33x−433，
①点 P 在直线 AC 的上方时，
∵ 点 O 到 AC 的距离为 2，
∴ 点 P 在过点 O 与 AC 平行的直线 y=−33x 上，
联立 y=33x2+3x−4,y=−33x,
消掉未知数 y 得，33x2+3x−4=−33x，
整理得，x2+4x−4=0，
解得 x1=−2−22，x2=−2+22；
②点 P 在直线 AC 的下方时，
∵ 点 P 到直线 AC 的距离为 2，
∴ 经过点 P 与直线 AC 平行的直线解析式为 y=−33x−833，
联立 y=33x2+3x−4,y=−33x−833,
解得 x=−2,y=−23,
∴ 存在点 P−2,−23，
∴ 点 P 的横坐标为：−2−22 或 −2+22 或 −2．
27. （1） 如图 1，取 AB 的中点 O，连接 OD，OC，
因为 Rt△ABD 和 Rt△ABC 的斜边为 AB，
所以 OD=12AB，OC=12AB，
所以 OA=OB=OC=OD，
所以 A，B，C，D 四个点在同一个圆上．
（2） 如图 2，连接 DF，
因为点 D，P 关于 AB 对称，
所以 ∠1=∠2，
因为 AD⊥BC 于点 D，CF⊥AB 于点 F，
所以 ∠2+∠3=90∘，∠4+∠BCE=90∘，BE⊥AC，点 A，C，D，F 四点共圆，
所以点 B，F，E，C 四点共圆，∠3=∠4，
所以 ∠2=∠BCE，∠BFE+∠BCE=180∘，
所以 ∠2+∠BFE=180∘，
所以 ∠1+∠BFE=180∘，
所以点 P，F，E 三点在一条直线上．
（3） 如图 3，作点 D 关于 AB 的对称点 G，作点 D 关于 AC 的对称点 H，连接 GF，HE，AD．
则 DF=GF，DE=HE，
所以当点 G，F，E，H 在同一直线上时，GF+FE+EH=GH（最短），
此时，DF+FE+DE 最短，即 △DEF 的周长有最小值，
由轴对称的性质，可得 ∠GAH=2∠BAC=60∘，AG=AD=AH，
所以 △AGH 是等边三角形，
所以 △DEF 的周长最小值 =GH=AD，
因为当 AD⊥BC 时，AD 有最小值，
所以当 AD⊥BC 时，△DEF 的周长有最小值，
连接 BE，
由 ∠CEH=∠ECH=75∘ 可得，EH=CH，
因为 DE=EH，BD=DC=CH，
所以 DE=DC=DB，
所以 ∠BEC=90∘，
所以 Rt△ABE 中，BE=12AB=1，AE=3，
所以 EC=2−3，
所以 Rt△BCE 中，BC=CE2+BE2=22−3=2×6−22=6−2，
因为 12×BC×AD=12×AC×BE，
所以 12×6−2×AD=12×2×1，
所以 AD=26−2=6+22，
即 △DEF 的周长有最小值 6+22．