2019_2020学年济南市历下区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年济南市历下区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共15小题；共75分）
1. 下列各点中，在函数 y=6x 图象上的是
A. 2,4B. 2,3C. −1,6D. −12,3

2. 如图所示，该几何体的主视图是
A. B.
C. D.

3. 二次函数 y=2x−12−3 的顶点坐标是
A. 1,3B. 1,−3C. −1,3D. −1,−3

4. 一元二次方程 x2+px−2=0 的一个根为 x=2，则 p 的值为
A. 1B. 2C. −1D. −2

5. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，若 ∠BAC=24∘，则 ∠BOC 的度数是
A. 12∘B. 36∘C. 48∘D. 60∘

6. 下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是矩形的为
①AC⊥BD，②∠BAD=90∘，③AB=BC，④AC=BD．
A. ①③B. ②④C. ③④D. ①②③

7. 如果关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 所满足的条件是
A. m<9B. m>9C. m=9D. m≤9

8. 学校新开设了航模、彩绘两个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为
A. 23B. 12C. 13D. 14

9. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 −2,0 和 4,0 两点，当函数值 y>0 时，自变量 x 的取值范围是
A. x<−2B. x>4C. −20

10. 在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图所示，若 O 到 AB 的距离是 18 cm，O 到 CD 的距离是 6 cm，则像 CD 的长是 AB 长的
A. 3 倍B. 12
C. 13D. 不知 AB 的长度，无法判断

11. 反比例函数 y=kx 在第一象限的图象如图所示，则 k 的值可能是
A. 1B. 2C. 3D. 4

12. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 ∠ABC 的正切值是
A. 2B. 255C. 55D. 12

13. 下列函数中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大的是
A. y=−x+1B. y=x2−1C. y=1xD. y=−x2+1

14. 已知反比例函数 y=kx 的图象如图，则二次函数 y=2kx2−x+k2 的图象大致为
A. B.
C. D.

15. 方程 x2+3x−1=0 的根可视为函数 y=x+3 的图象与函数 y=1x 的图象交点的横坐标，则方程 x3+2x−1=0 的实根 x0 所在的范围是
A. 0
二、填空题（共6小题；共30分）
16. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，ADAB=13，DE=6，则 BC 的长是 ．

17. 如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1:2，堤高 BC=5 m，则坡面 AB 的水平宽度 AC 的长为 m．

18. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上，∠BAC=30∘，则 ∠D 的度数为 ．

19. 赵州桥是中国现存最早、保存最好的巨大石拱桥，也是世界最早的敞肩石拱桥．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为 m．

20. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的面积为 12，点 B 在 y 轴上，点 C 在反比例函数 y=kx 的图象上，则 k 的值为 ．

21. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，图象过 −1,0，对称轴为直线 x=2，下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④若 A−3,y1，B−12,y2，C72,y3 在该函数图象上，则 y1
三、解答题（共7小题；共91分）
22. （1）计算：tan60∘+2sin45∘−2cs30∘；
（2）解方程：x2−4x−5=0．

23. （1）已知：如图 1，在矩形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，求证：△ABM≌△DCM；
（2）如图 2，AB 与 ⊙O 相切于 C，AO=BO，AB=16，⊙O 的半径为 6，求 OA 的长．

24. 王大爷要围成一个如图所示的矩形 ABCD 花圃．花圃的一边利用 20 米长的墙，另三边用总长为 36 米的篱笆恰好围成．设 AB 边的长为 x 米，BC 的长为 y 米，且 BC>AB．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式（要求直接写出自变量的取值范围）；
（2）当 x 是多少米时，花圃面积 S 最大?最大面积是多少?

25. 如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆 AB 的高度，在操场的平地上选择一点 C，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30∘，再向旗杆的方向前进 16 米，到达点 D 处（ C 、 D 、 B 三点在同一直线上），又测得旗杆顶端 A 的仰角为 45∘，请计算旗杆 AB 的高度（结果保留根号）

26. 如图，矩形 OABC 的边长 OA=8，顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，点 D 为对角线 OB 的中点，反比例函数 y=kxk≠0 在第一象限内的图象经过点 D，E，F，且 tan∠BOA=12．
（1）求边 AB 的长；
（2）求反比例函数的解析式及 F 点坐标；
（3）将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折叠分别与 x，y 轴正半轴交于点 H，G，求线段 OG 的长．

27. 等腰 △ABC，AB=AC=8，∠BAC=120∘，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30∘ 角的透明三角板，使 30∘ 角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转．
（1）如图 1，当三角板的两边分别交 AB，AC 于点 E，F 时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 2 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E，F．
①探究 1：△BPE 和 △CFP 还相似吗?（只需写出结论）
②探究 2：连接 EF，△BPE 和 △PFE 是否相似?请说明理由；
③设 EF=m，△EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S．

28. 如图，已知二次函数 y=x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过 A3,−1，C0,−4，顶点为点 M，过点 A 作 AB∥x 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连接 BC．
（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移 mm>0 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 △ABC 的内部（不包含 △ABC 的边界），求 m 的取值范围；
（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与 △BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
答案
第一部分
1. B【解析】A，2×4≠6，故A不在图象上，
B，2×3=6，故B在图象上，
C，−1×6≠6，故C不在图象上，
D，−12×3≠6，故D不在图象上．
2. D
3. B
4. C【解析】因为一元二次方程 x2+px−2=0 的一个根为 x=2，
所以 22+2p−2=0，
解得 p=−1．
5. C
【解析】∵∠BAC=24∘，
∴∠BOC=2∠BAC=48∘．
6. B【解析】因为 AC⊥BD，四边形 ABCD 是平行四边形，
所以平行四边形 ABCD 是菱形，不能推出四边形 ABCD 是矩形，
所以 ① 错误；
因为四边形 ABCD 是平行四边形，∠BAD=90∘，
所以平行四边形 ABCD 是矩形，
所以 ② 正确；
因为 AB=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，
所以平行四边形 ABCD 是菱形，不能推出四边形 ABCD 是矩形，
所以 ③ 错误；
因为四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD，
所以平行四边形 ABCD 是矩形，
所以 ④ 正确；
即正确的有 ②④．
7. C【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m=0 有两个相等的实数根，
所以 Δ=b2−4ac=36−4m=0，
解得：m=9．
8. B【解析】画树状图如图所示：
因为共有 4 种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有 2 种情况，
所以征征和舟舟选到同一社团的概率是：24=12．
9. C【解析】因为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 −2,0 和 4,0 两点，函数开口向下，
所以函数值 y>0 时，自变量 x 的取值范围是 −210. C
【解析】作 OM⊥AB 于 M，交 CD 于 N，如图，
则 OM=18，ON=6，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴CDAB=ONOM=618=13，
即像 CD 的长是 AB 长的 13．
11. C【解析】如图，当 x=2 时，y=k2，
∵1 ∴1解得 212. D【解析】如图，连接 AC．
由勾股定理，得 AC=2，AB=22，BC=10，
所以 △ABC 为直角三角形，且 ∠BAC=90∘，
所以 tan∠ABC=ACAB=12．
13. B【解析】A．y=−x+1，一次函数，k<0，故 y 随着 x 增大而减小，故A错误；
B．y=x2−1x>0，故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；而在对称轴左侧（x<0），y 随着 x 的增大而减小，故B正确；
C．y=1x，k=1>0，在每个象限里，y 随 x 的增大而减小，故C错误；
D．y=−x2+1x>0，故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减小；而在对称轴左侧（x<0），y 随着 x 的增大而增大，故D错误．
14. D
15. C
【解析】方程 x3+2x−1=0，
∴x2+2=1x，
∴ 它的根可视为 y=x2+2 和 y=1x 的图象交点的横坐标，
当 x=14 时，y=x2+2=2116，y=1x=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当 x=13 时，y=x2+2=219，y=1x=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当 x=12 时，y=x2+2=214，y=1x=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当 x=1 时，y=x2+2=3，y=1x=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．
故方程 x3+2x−1=0 的实根 x0 所在范围为：13第二部分
16. 18
【解析】∵DE∥BC，
∴DE:BC=AD:AB=13，
即 6:BC=1:3，
∴BC=18．
17. 10
【解析】∵ 迎水坡 AB 的坡比是 1:2，
∴BC:AC=1:2，BC=5，
∴AC=10 m．
18. 60∘
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
又 ∵∠BAC=30∘，
∴∠B=60∘，
∴∠D=∠B=60∘．
19. 20
【解析】根据题意 B 的纵坐标为 −4，
把 y=−4 代入 y=−125x2，
得 x1=10，x2=−10，
∴A−10,−4，B10,−4，
∴AB=20 m．
即水面宽度 AB 为 20 m．
20. −6
【解析】连接 AC，交 y 轴于点 D，
因为四边形 ABCO 为菱形，
所以 AC⊥OB，且 CD=AD，BD=OD，
因为菱形 OABC 的面积为 12，
所以 △CDO 的面积为 3，
所以 ∣k∣=6，
因为反比例函数图象位于第二象限，
所以 k<0，
则 k=−6．
21. ①③⑤
【解析】∵x=−b2a=2，
∴4a+b=0，故①正确．
由函数图象可知：当 x=−3 时，y<0，即 9a−3b+c<0，
∴9a+c<3b，故②错误．
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 −1,0，
∴a−b+c=0，
又 ∵b=−4a，
∴a+4a+c=0，即 c=−5a，
∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，
∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∴8a+7b+2c>0，故③正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=2，C72,y3，
∴12,y3 在抛物线上．
∵−3<−12<12，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，
∴y1方程 ax+1x−5=0 的两根为 x=−1 或 x=5，
如图所示，
直线 y=−3 与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1<−1<5故答案为：①③⑤
第三部分
22. （1） 原式=3+2×22−2×32=3+2−3=2.
（2）
∵x+1x−5=0.∴x+1=0或x−5=0.
解得：
x=−1或x=5.
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴∠A=∠D，AB=DC．
∵M 为边 AD 的中点，
∴AM=DM．
在 △ABM 和 △DCM 中，
AB=DC,∠A=∠D,AM=DM,
∴△ABM≌△DCM．
（2） 如图，连接 OC．
∵AB 与 ⊙O 相切于 C，
∴OC⊥AB．
∵AO=BO，
∴AC=12AB=8．
在 Rt△AOC 中，∠ACO=90∘，OC=6，AC=8，
∴OA=OC2+AC2=10．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=x .
∴x+y+x=36 .
∴y=−2x+36 .
∵ 墙长 20 米，BC>AB，
∴−2x+36≤20, ⋯⋯①−2x+36>x, ⋯⋯②
由①得，x≥8 .
由②得，x<12 .
所以 8≤x<12．
（2） S=xy=x−2x+36=−2x2−18x=−2x2−18x+81−81=−2x−92+162.
∴ 当 x=9 米时，花圃面积 S 最大，最大面积是 162 米2．
25. 由题意可得，CD=16 米，
∵AB=CB⋅tan30∘，AB=BD⋅tan45∘，
∴CB⋅tan30∘=BD⋅tan45∘
∴CD+DB×33=BD×1，
解得 BD=83+8 米，
∴AB=BD⋅tan45∘=83+8 米，
即旗杆 AB 的高度是 83+8 米．
26. （1） 在 Rt△AOB 中，
∵tan∠BOA=12，
∴AB=OA⋅tan∠BOA=8×12=4．
（2） 由（1）可知 B 点坐标为 8,4，
∵D 为 OB 的中点，
∴D4,2，
∵ 反比例函数 y=kx 图象过点 D，
∴k=4×2=8，
∴ 反比例函数解析式为 y=8x，
设 Fa,4，
∵ 反比例函数图象与矩形的边 BC 交于点 F，
∴4a=8，解得 a=2，
∴F2,4．
（3） 连接 FG，如图，
∵F2,4，
∴CF=2，
设 OG=t，则 OG=FG=t，CG=4−t，
在 Rt△CGF 中，由勾股定理可得 GF2=CF2+CG2，
即 t2=4−t2+22，解得 t=52，
∴OG=52．
27. （1） ∵ 在 △ABC 中，∠BAC=120∘，AB=AC，
∴∠B=∠C=30∘．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180∘，
∴∠BPE+∠BEP=150∘，
又 ∵∠EPF=30∘，且 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180∘，
∴∠BPE+∠CPF=150∘，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP．
（2） ① △BPE∽△CFP；
② △BPE 与 △PFE 相似．
下面证明结论：
同（1），可证 △BPE∽△CFP，得 CPBE=PFEP，
∵CP=BP，
∴BPPF=BEPE．
又 ∵∠EBP=∠EPF，
∴△BPE∽△PFE．
③由②得 △BPE∽△PFE，
∴∠BEP=∠PEF．
如图，分别过点 P 作 PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为 M，N，
则 PM=PN．
连接 AP，在 Rt△ABP 中，由 ∠B=30∘，AB=8，可得 AP=4．
∴PM=23，
∴PN=23，
∴S=12PN×EF=3m．
28. （1） 把 A，C 两点的坐标代入得：9+3b+c=−1,c=−4,
解得：b=−2,c=−4.
∴ 二次函数的解析式为 y=x2−2x−4．
配方得：y=x−12−5．
∴ 点 M 的坐标为 1,−5．
（2） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+n，
把点 A，C 的坐标代入得：3k+n=−1,n=−4,
解得：k=1,n=−4,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=x−4，
抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1．
如图 1 所示，直线 x=1 与 △ABC 的两边分别交于点 Eʹ 与点 Fʹ，
则点 Fʹ 的坐标为 1,−1．
将 x=1 代入直线 y=x−4 得：y=−3．
∴Eʹ1,−3．
∵ 抛物线向上平移 m 个单位长度时，抛物线的顶点在 △BAC 的内部，
∴−3<−5+m<−1．
∴2 （3） 如图 2 所示：
把 y=−1 代入抛物线的解析式得：x2−2x−4=−1，
解得 x=−1 或 x=3，
∴B−1,−1．
∴BD=1．
∵AB∥x 轴，A3,−1，
∴D0,−1．
∴AD=DC=3．
∴∠DCA=45∘．
过点 M 作 ME⊥y 轴，垂足为 E．
∵C0,−4，M1,−5．
∴CE=ME=1．
∴∠ECM=45∘，MC=2．
∴∠ACM=90∘．
∴∠PCM=∠CDB=90∘．
①当 △MPC∽△CBD 时，PCBD=CMDC，
即 PC1=23，解得 PC=23．
∴CF=PF=sin45∘⋅PC=23×22=13．
∴P−13,−133．
如图 3 所示：点 P 在点 C 的右侧时，过点 P 作 PF⊥y 轴，垂足为 F．
∵CP=23，∠FCP=45∘，∠CFP=90∘，
∴CF=FP=23×22=13．
∴P13,−113．
②当 △BDC∽△MCP 时，PCCM=DCBD，
即 PC2=31，解得 PC=32．
如图 4 所示：当点 P 在 AC 的延长线上时，过点作 PF⊥y 轴，垂足为 F．
∵PC=32，∠PCF=45∘，∠PFC=90∘，
∴CF=PF=32×22=3．
∴P−3,−7．
如图 5 所示：当点 P 在 AC 上时，过点 P 作 PF⊥y 轴，垂足为 F．
∵PC=32，∠PCF=45∘，∠PFC=90∘，
∴CF=PF=32×22=3．
∴P3,−1．
综上所述，点 P 的坐标为 −3,−7 或 3,−1 或 −13,−133 或 13,−113．