2021年上海市虹口区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市虹口区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各数中，2 的相反数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 当 x≠0 时，下列运算正确的是
A. x4+x2=x6B. x4−x2=x2C. x4⋅x2=x8D. x4÷x2=x2

3. 如果将抛物线 y=2x2 向左平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. y=2x+12B. y=2x−12C. y=2x2+1D. y=2x2−1

4. 某校足球队 16 名队员的年龄情况如下表，这些队员年龄的中位数和众数分别是
年龄岁1415161718人数35332
A. 15，15B. 15.5，15C. 15.5，16D. 16，16

5. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，AD 和 BE 交于点 G，设 AB=a，AE=b，那么向量 BG 用向量 a，b 表示为
A. −23a+23bB. 23a+23bC. −12a+12bD. 12a+12b

6. 在四边形 ABCD 中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形 ABCD 为矩形的是
A. AD=BC 且 AC=BDB. AD=BC 且 ∠A=∠B
C. AB=CD 且 ∠A=∠CD. AB=CD 且 ∠A=∠B

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：3a2= ．

8. 分解因式：x2−4x= ．

9. 方程 x+3=3 的解是 ．

10. 不等式组 x−1<0,2x+3>x 的解集是 ．

11. 如果关于 x 的方程 x2−2x+k=0（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ．

12. 已知点 A1,y1 、点 B2,y2 在抛物线 y=ax2−2 上，且 y1
13. 一个不透明的盒子中装有 n 个小球，其中红球有 4 个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中仼意摸岀一个球，使得摸出红球的概率是 0.2，那么 n= ．

14. 为了解学生们零用钱的使用情况，某校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生进行调查，并将这部分学生平均每月使用零用钱的金额绘制成了频率分布直方图（如图）．请估计该校学生中平均每月使用零用钱的金额小于 200 元的约有 名．

15. 如果正六边形的半径是 1，那么它的边心距是 ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=9，BC=6，DE∥BC，且 CD=2AD，以点 C 为圆心，r 为半径作 ⊙C．如果 ⊙C 与线段 BE 有两个交点，那么 ⊙C 的半径 r 的取值范围是 ．

17. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形 ABCD 是“等腰四边形”，对角线 BD 是该四边形的“等腰线”，其中 ∠ABC=90∘，AB=BC=CD≠AD，那么 ∠BAD 的度数为 ．

18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，将 △BCM 沿直线 BM 翻折，使得点 C 落在同一平面内的点 Cʹ 处，连接 DCʹ 并延长交正方形 ABCD 一边于点 N．当 BN=DM 时，CM 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：1−2−30+43−1−22−1．

20. 解方程：6x2−9+1=1x−3．

21. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=45∘，ctB=32，BC=10．
（1）求 AB 的长．
（2）如果 CD 为边 AB 上的中线，求 ∠DCB 的正切值．

22. 一辆汽车从甲地出发前往相距 350 千米的乙地，在行驶了 100 千米后，因降雨，汽车每行驶 1 千米的耗油量比降雨前多 0.02 升．图中的折线 ABC 反映了该汽车行驶过程中，油箱中剩余的油量 y（升）与行驶的路程 x（千米）之间的函数关系．
（1）当 0≤x≤100 时，求 y 关于 x 的函数解析式（不需要写出定义域）．
（2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 G 是边 BC 延长线上一点，连接 AG 分别交 BD 和 CD 于点 E 和 F，连接 DG．
（1）求证：AE2=EF⋅EG．
（2）如果 ∠ABD=∠AGD，求证：四边形 ABGD 是等腰梯形．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=34x+b 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，与双曲线 H:y=kx 交于点 P2,92，直线 x=m 分别与直线 l 和双曲线 H 交于点 E，D．
（1）求 k 和 b 的值；
（2）当点 E 在线段 AB 上时，如果 ED=BO，求 m 的值；
（3）点 C 是 y 轴上一点，如果四边形 BCDE 是菱形，求点 C 的坐标．

25. 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，tanA=34，AC=5，点 M 是射线 AB 上一点，以 MC 为半径的 ⊙M 交直线 AC 于点 D．
（1）如图，当 MC=AC 时，求 CD 的长．
（2）当点 D 在线段 AC 的延长线上时，设 BM=x，四边形 CBMD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域．
（3）如果直线 MD 与射线 BC 相交于点 E，且 △ECD 与 △EMC 相似，求线段 BM 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
所以 2 的相反数是 −2．
2. D
3. A【解析】y=2x2 向左平移，则横坐标向左平移，
根据“左增右减”原则，则向左平移 1 个单位，
y=2x+12．
4. B【解析】中位数：按顺序排列中间位置列数，
由表知第 8 位为 15，第 9 位为 16，则中位数 =15+162=15.5，
众数：出现次数最多的数，则 15 出现了 5 次（最多）．
5. A
【解析】∵D，E 分别为 BC，AC 的中点，BE，AD 分别是 AC，BC 边的中线，
∴G 为 △ABC 的重心，
∴BG=23BE
∵BE=BA+AE=−a+b，
∴BG=−23a+23b．
6. C【解析】如图所示四边形 ABCD，AD∥BC，
A．AD=BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AC=BD，
∴ 四边形 ABCD 是矩形，故A正确；
B．AD=BC，∠A=∠B，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180∘，
∴∠A=∠B=90∘，
∴ 四边形 ABCD 是矩形，故B正确；
C．AB=CD，∠A=∠C，
只能说明四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ 平行四边形对角相等，故C错误；
D．AB=CD 且 ∠A=∠B，同理B，
四边形 ABCD 是矩形，故D正确．
第二部分
7. 9a2
8. xx−4
9. x=6
【解析】x+3≥0⇒x≥−3，
等式两边进行平方，
则 x+3=9，
x=6 满足 x≥−3．
10. −3【解析】x−1<0, ⋯⋯①2x+3>x, ⋯⋯②
由①得：x<1，
由②得：2x−x>−3，x>−3，
则解集为 −311. k<1
【解析】关于 x 的方程 x2−2x+k=0（k 为常数）有两个不相等的实数根，
Δ=22−4k>0，
解得 k<1．
12. a>0
【解析】y=ax2−2，A1,y1，B2,y2，y1该拋物线关于 y 轴对称，且 x>0 时，y 随 x 增大而增大，则 a>0．
13. 16
【解析】0.2n+4=4，
0.2n=4−0.8，
0.2n=3.2，
n=16．
14. 240
【解析】800×0.1+0.2=240（人）．
15. 32
【解析】如图所示，
∵ 正六边形的半径是 OA=OB=1，
∴∠AOB=3606∘=60∘，∠AOD=12∠AOB=30∘，
∴OD=OA⋅cs30∘=32．
16. 25【解析】∵CD=2AD，
∴ADCD=12，
又 ∵∠C=90∘，AB=9，BC=6，
∴AC=AB2−BC2=35，
∴AD=5，
∵DE∥BC，
∴DEBC=ADAC=AEAB，
∴AE=13AB=3，AD=13BC=2，
如图过点 C 作 CF⊥AB，
csB=BCBA=69=BFBC，
∴BF=4，
CF=BC2−BF2=25，
CE=CF2+FE2=26，
∵6>26，
故 2517. 75∘
【解析】∠ABC=90∘，AB=BC=CD≠AD，
图① ∵BD 为等腰线，
∴△ABD 为等腰三角形，
∴AB=BD，
∴BC=BD=CD，
∴ 三角形 BCD 为等边三角形，
∴∠CBD=60∘，
∴∠DBA=∠CBD=30∘，
∴∠BAD=180∘−∠DBA÷2=75∘，
图②当 BD=AD 时，过 D 作 DE⊥AB 于 E，过 C 作 CF⊥DE 于 F，
∵BD=AD，DE⊥AB，
∴BE=12AB，∠BDE=∠ADE，
∵∠ABC=∠BEF=∠BFE=90∘，
∴ 四边形 BCEF 是矩形，
∴CF=12DC，
∴∠CDF=30∘，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC∥DE，∠CBD=∠BDE，
∴∠BDC=∠BDE=12∠CDF=15∘，
∴∠BDA=30∘，∠BAD=75∘．
18. 2
【解析】记 BM 与 CCʹ 交于点 Q，连接 CCʹ，
∵BN∥DM，BN=DM，
∴ 四边形 NBMD 为平行四边形，
∴DN∥BM，
∵△BCM 折叠到 △BCʹM 处，
∴CQ=CʹQ，
又 ∵QM∥CʹD，
∴QM 为 △CCʹD 的中位线，
∴M 为 CD 中点，CM=12CD，
∵ 四边形 ABCD 边长为 4，
∴CD=4，
∴CM=12×4=2．
第三部分
19. 原式=2−1−1+43+13−13+1−122=2−2+423+1−2=23.
20.
6x+3x−3+1=1x−3,6+x+3x−3=x+3,6+x2−9=x+3,x2−3=x+3,x2−x−6=0,x−3x+2=0,x=3或x=−2,
检验：当 x=3 时，
x2−9=0,
所以 x=3 不是此分式方程的解，
当 x=−2 时，
x2−9≠0,
所以 x=−2 是此分式方程的解，
综上，此分式方程的解为
x=−2.
21. （1） 过 A 作 AE⊥BC 于 E，
∴∠AEB=∠AEC=90∘，
∵∠ACB=45∘，
∴△AEC 是等腰直角三角形，
∴AE=CE，
在 Rt△ABE 中，ctB=BEAE=32，
∴ 设 AE=2x，BE=3x，则 CE=2x，
∵BC=BE+CE=5x=10，
∴x=2，
∴AE=4，BE=6，
∴AB=AE2+BE2=42+62=213．
（2） 过 D 作 DH⊥BC 于 H，
∴∠DHB=∠DHC=90∘，
∵AB=213，CD 是 AB 边上中线，
∴BD=12AB=13，
在 Rt△BDH 中，ctB=BHDH=32，
设 BH=3a，则 DH=2a，
∵BH2+DH2=BD2，
∴3a2+2a2=132，
∴a=1（舍去），
∴BH=3，DH=2，
∴CH=BC−BH=10−3=7，
∴tan∠DCB=DHCH=27．
22. （1） 由题可得 A0,50，B100,40，
设直线 AB 解析式为：y=kx+b，
50=b,40=100k+b,
解得 b=50,k=−110,
∴ 直线 AB 解析式为：y=−110x+50，
∴ 当 0≤x≤100 时，y=−110x+50．
（2） 由 AB 可得，汽车行驶了 100 千米，耗油 10 升，故每千米耗油 0.1 升/千米．
故 BC 段油耗为每千米：0.1+0.02=0.12（升/千米），
∴ 余下 250 千米耗油量为：250×0.12=30（升），
油箱中剩余油量为：40−30=10（升）．
答：油箱中剩余油量为 10 升．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ADE∽△GBE，△ABE∽△FDE，
∵△ADE∽△GBE，
∴AEEG=DEBE，
∵△ABE∽△FDE，
∴EFAE=DEBE，
∴AEEG=EFAE，即 AE2=EF⋅EG．
（2） ∵∠ABD=∠AGD，
∴A，B，G，D 四点共圆，
∵AD∥BG，
∴∠ADB=∠DBG，
∴AB=DG，
∴AB=DG，
∴ 四边形 ABGD 是等腰梯形．
24. （1） ∵y=kx，y=34x+b 交于 P2,92，
∴k=2×92,92=34×2+b,
得 k=9,b=3.
（2） 令 x=0 代入 y=34x+3 得，
y=3，故 B0,3，
∴ED=BO=3 时，
∴E，D 横坐标为 m，
∴34m+3−9m=3，
34m=9m⇒m2=12，m1=−23，m2=23（舍），
∴m=−23．
（3） 将 x=m 代入两函数得，yE=34m+3，y0=9m，
∴Em,34m+3，Dm,9m，B0,3，
设 c0,n，
∵ 四边形 BCDE 为菱形，
∴BE∥DC 且 BE=DC，∣DE∣=∣BE∣，
∴kCD=n−9m−m=34，
∣DE∣=34m+3−9m2=∣BE∣=m2+34m2,
34m+3−9m=−54m，
⇒34m+3−9m=−54m⇒2m2+3m−9=0，
2m−3m+3=0，
m1=32（舍），m2=−3，
∴n−9m−m=34=n+933=34，
⇒n=−34，
∴C0,−34．
25. （1） 设 CD=2 m，过点 M 作 MN⊥CD 于点 N，则 CN=m，
AC=5，tanA=BCAB=34，AC2=AB2+BC2，
∴AB=4，BC=3，MC=AC=5，BM=MC2−BC2=4，
在 Rt△MCN 中，
MN=MC2−CN2=25−m2，
在 Rt△AMN 中有 AN2+MN2+AM2，
∴5+m2+25−m2=82，
解得 m=75，
∴CD=145．
（2） 过 M 作 MN⊥CD 于点 N，
在 Rt△BCM 中，MC=x2+32=x2+9，
设 CD=2m，
则 Rt△CMN 中，MN2=CM2−CN2=x2+9−m2，
Rt△AMN，AN2+MN2+AM2，
即 5+m2+x2+92−m2=4+x2，
解得 m=154x−9，
∴MN=x2+9−12516x2−72x+81=35x+4，
∴S△CDM=12×CD×MN=12×2×154x−9×35x+4=3254x−9×x+4,
S△BCM=12BC×BM=12×3×x=32x，
∴y=S四边形CBMD=S△CDM+S△BOA=1225x2+11750x−10825，
∵m>0，
∴4x−9>0，即 x>94．
（3） ∵△ECD∽△EMC，
∴∠EMC=∠ECD=∠ACB，
设 ⊙O 半径为 r，过点 D 作 DP⊥CM 于点 P，过点 M 作 MN⊥CD 于 N，
∴DPr=sin∠EMC=sin∠ACB=45，
∴CD=DP2+CP2=255r，
∴CN=12CD=55r，
∴MN=r2−CN2=255r，
∵∠MNA=90∘=∠CBA，∠BAC 为公共角，
∴△ACB∽△AMN，
∴ANMN=ABBC=43，
∴5+55r=43×255r，
∴r=35，
∴BM=r2−BC2=6．