2020年上海市虹口区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年上海市虹口区中考二模数学试卷（期中），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各数中，无理数是
A. 2−1B. 16C. 237D. 2π

2. 直线 y=−x+1 不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 关于 x 的一元二次方程 x2−4x+k=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是
A. k≤4B. k<4C. k≥4D. k>4

4. 如图为某队员射击 10 次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是
A. 8，7.5B. 8，7C. 7，7.5D. 7，7

5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交与点 O，以下说法错误的是
A. ∠ABC=90∘B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD

6. 已知在 ABC 中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么交点 O 是 △ABC 的
示意图：
作图步骤：
（1）分别以点 B，C 为圆心，大于 12BC 长为半径作圆弧，两弧分别交于点 M，N，连接 MN 交 BC 于点 D；
（2）分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径作圆弧，两弧分别交于点 P，Q，连接 PQ 交 AC 于点 E；
（3）连接 AD，BE，相交于点 O．
A. 外心B. 内切圆的圆心C. 重心D. 中心

二、填空题（共12小题；共60分）
7. a23= ．

8. 化简 1−32= ．

9. 方程 2−x=1 的解为 ．

10. 函数 y=x+1x 的定义域为 ．

11. 如果抛物线 y=k−1x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的，那么 k 的取值范围是 ．

12. 从一副 52 张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 ．

13. 某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为 0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是 180 人，那么该校初三共有 位学生．

14. 某公司市场营销部的个人月收入 y（元）与其每月的销售量 x（件）成一次函数关系，其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为 0 件时，他的月收入是 元．

15. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BD=BC，如果 ∠C=50∘，那么 ∠ABD 的度数是 ．

16. 如图，在 △ABC 中，AD 为边 BC 上的中线，DE∥AB，已知 ED=a，BC=b，那么用 a，b 表示 AD= ．

17. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=10，点 E 在正方形内部，且 AE⊥BE，ct∠BAE=2，如果以 E 为圆心，r 为半径的 ⊙E 与以 CD 为直径的圆相交，那么 r 的取值范围为 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，点 D，E 分别是边 BC，AB 上一点，DE∥AC，BD=52，把 △BDE 绕着点 B 旋转得到 △BDʹEʹ（点 D，E 分别与点 Dʹ，Eʹ 对应），如果点 A，Dʹ，Eʹ 在同一直线上，那么 AEʹ 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：1−1x−1÷x2−4x+4x2−1，其中 x=5+2．

20. 解不等式组：623x−2
21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+3 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与双曲线 y=mx 交于点 Ca,6，已知 △AOB 的面积为 3，求直线与双曲线的表达式．

22. 如图 1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边 OM 上的点 A 处，另一端 B 在边 ON 上滑动，图 2 为某一位置从上往下看的平面图，测得 ∠ABO 为 37∘，∠AOB 为 45∘，OB 长为 35 厘米，求 AB 的长（参考数据：sin37∘≈0.6，cs37∘≈0.8，tan37∘≈0.75）．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D 在边 BC 上，连接 AD，以 AD 为一边作 △ADE，满足 AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接 EC．
（1）求证：CA 平分 ∠DCE；
（2）如果 AB2=BD⋅BC，求证：四边形 ABDE 是平行四边形．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A−1,0 和点 B3,0，该抛物线对称轴上的点 P 在 x 轴上方，线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90∘ 至 PC（点 B 对应点 C），点 C 恰好落在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；
（2）求点 P 的坐标；
（3）点 Q 在抛物线上，连接 AC，如果 ∠QAC=∠ABC，求点 Q 的坐标．

25. 如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90∘，csC=35，DC=5，BC=6，以点 B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边 CD，BC 于点 E，F．
（1）求 sin∠BDC 的值；
（2）连接 BE，设点 G 为射线 DB 上一动点，如果 △ADG 相似于 △BEC，求 DG 的长；
（3）如图 2，点 P，Q 分别为边 AD，BC 上动点，将扇形 DBF 沿着直线 PQ 折叠，折叠后的弧 DʹFʹ 经过点 B 与 AB 上的一点 H（点 D，F 分别对应点 Dʹ，Fʹ），设 BH=x，BQ=y，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写定义域）．
答案
第一部分
1. D【解析】A．2−1=12 是分数，属于有理数；
B．16=4 是整数，属于有理数；
C．237 是分数，属于有理数；
D．2π 是无理数．
2. C【解析】∵ 直线 y=−x+1 中，k=−1<0，b=1>0，
∴ 直线的图象经过第一、二、四象限．
∴ 不经过第三象限．
3. B【解析】∵ 方程 x2−4x+k=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=−42−4k=16−4k>0，解得：k<4．
4. A【解析】由折线图知，这 10 个数据分别为 3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
∴ 这组数据的众数为 8，中位数为 7+82=7.5．
5. D
6. C【解析】由尺规作图可知，MN，PQ 分别是线段 BC，AC 的垂直平分线，
∴ 点 D，E 分别是 BC，AC 的中点，
∴AD，BE 是 △ABC 的中线，
∴ 点 O 是 △ABC 的重心．
第二部分
7. a6
【解析】原式=a6．
8. 3−1
【解析】1−32=1−3=3−1．
9. x=1
【解析】方程两边平方，得：2−x=1．
解得：x=1．
经检验：x=1 是方程的解．
10. x≥−1 且 x≠0
【解析】由题意得 x+1≥0，x≠0，
解得 x≥−1 且 x≠0．
11. k<1
【解析】∵ 抛物线 y=k−1x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的，
∴ 抛物线开口向下，
∴k−1<0，解得 k<1．
12. 14
【解析】任意抽取一张牌，抽到梅花的概率 =1352=14．
13. 360
【解析】∵ 图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为 0.05，0.1，0.25，0.1，
∴ 第四小组的频率为 1−0.05+0.1+0.25+0.1=0.5，
又 ∵ 第四小组的频数是 180 人，
∴ 该校初三学生人数为 180÷0.5=360（位）．
14. 3000
【解析】设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，
100k+b=8000,200k+b=13000,
解得：k=50,b=3000,
即 y 与 x 的函数关系式为 y=50x+3000，
当 x=0 时，y=3000，即当营销人员的月销售量为 0 件时，他的月收入是 3000 元．
15. 20∘
【解析】∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=50∘，
∴∠DBC=180∘−2∠C=80∘，
∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC=80∘，
∵AB=BD，
∴∠A=∠BDA=80∘，
∴∠ABD=180∘−2∠A=20∘．
16. 2a+12b
【解析】∵AD 是中线，
∴BD=DC，
∵DE∥AB，
∴AE=EC，
∴AB∥DE，AB=2DE，
∴AB=2a，
∵BD=12BC=12b，AD=AB+BD，
∴AD=2a+12b．
17. 35−5【解析】设 AB 的中点为 G，连接 EG，延长 BE 交 CD 于 H，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90∘，
∴EG=12AB=5，
∵ 在正方形 ABCD 中，∠C=∠ABC=90∘，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBH=90∘，
∴∠CBH=∠BAE，
∴ct∠BAE=ct∠CBH=BCCH=2，
∴CH=12BC=12CD=5，
∴ 点 H 是以 CD 为直径的圆的圆心，
设 BE=k，AE=2k，
∴AB=5k=10，
∴k=25，
∴BE=25，
∵∠C=90∘，BC=10，CH=5，
∴BH=102+52=55，
∴EH=BH−BE=35，
∵r 为半径的 ⊙E 与以 CD 为直径的圆相交，
∴r 的取值范围为 35−518. 3524 或 524
【解析】在 Rt△ACB 中，
∵∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴DEAC=BDBC，
∴DE6=528，
∴DE=1524，
∵∠ADʹB=90∘．
如图 1 中，当点 Dʹ 在线段 AEʹ 上时，
∵△BDE 绕着点 B 旋转得到 △BDʹEʹ，
∴DʹB=DB=52，
∴ADʹ=AB2−DʹB2=102−522=52，
又 ∵DʹEʹ=DE=1524，
∴AEʹ=ADʹ+DʹEʹ=52+1524=3524；
如图 2 中，当 Eʹ 在线段 ADʹ 上时，
同法可得 AEʹ=ADʹ−DʹEʹ=52−1524=524．
综上所述，满足条件的 AEʹ 的长为 3524 或 524．
第三部分
19. 1−1x−1÷x2−4x+4x2−1=x−1x−1−1x−1÷x−22x+1x−1=x−2x−1⋅x+1x−1x−22=x+1x−2.
当 x=5+2 时，
原式=5+2+15+2−2=5+35=5+355.
20. 解不等式 ①，得：
x<3.
解不等式 ②，得：
x≥−1.
则不等式组的解集为
−1≤x<3.
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21. 当 x=0 时，y=kx+3=3，则 B0,3．
∵△AOB 的面积为 3，
∴12×3×OA=3，解得 OA=2．
∴A 点坐标为 2,0，
把 A2,0 代入 y=kx+3 得 2k+3=0，解得 k=−32，
∴ 一次函数解析式为 y=−32x+3；
把 Ca,6 代入得 −32a+3=6，解得 a=−2，
∴C 点坐标为 −2,6，
把 C−2,6 代入 y=mx 得 m=−2×6=−12，
∴ 反比例函数解析式为 y=−12x．
22. 作 AC⊥OB 于点 C，如图 2 所示，
则 ∠ACO=∠ACB=90∘，
∵∠AOC=45∘，
∴∠AOC=∠COA=45∘，
∴AC=OC，
设 AC=x，则 OC=x，BC=35−x，
∵∠ABC=37∘，tan37∘≈0.75，
∴x35−x=0.75，解得，x=15，
∴35−x=20，
∴AB=152+202=25（厘米），
即 AB 的长为 25 厘米．
23. （1） ∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠B=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE，
∴CA 平分 ∠DCE．
（2） ∵AB2=BD⋅BC，
∴ABBC=BDAB，又 ∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD=∠ACB，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE∥BD，
∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴∠ACB=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB∥DE，
∵AE∥BD，AB∥DE，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形．
24. （1） 将点 A，B 坐标代入抛物线表达式得：a−b+3=0,9a+3b+3=0,
解得：a=−1,b=2,
故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3, ⋯⋯①
函数的对称轴为：x=1．
（2） 设点 Cm,n，则 n=−m2+2m+3，点 P1,s，
如图 1，设抛物线对称轴交 x 轴于点 N，过点 C 作 CM⊥PN 交抛物线对称轴于点 M，
∵∠PBN+∠BPN=90∘，∠BPN+∠MPC=90∘，
∴∠MPC=∠PBN，
∵∠PMC=∠BNP=90∘，
PB=PC，
∴△PMC≌△BNPAAS，
∴PM=BN，MC=PN，
∴m−1=s,n−s=2,n=−m2+2m+3,
解得：m=2,n=3,s=1,
故点 C2,3，点 P1,1；
故点 P 的坐标为 1,1．
（3） 设直线 AC 交 y 轴于点 G，直线 AQ 交 y 轴于点 H，
由（2）知，点 C2,3，而点 A−1,0，
过点 C 作 CK⊥x 轴于点 K，则 CK=AK=3，
故直线 AC 的倾斜角为 45∘，故 ∠AGO=∠GAO=45∘，
∴tan∠ABC=CKBK=33−2=3，
∵∠QAC=∠ABC，
∴tan∠QAC=3；
在 △AGH 中，过点 H 作 HM⊥AG 于点 M，设 MH=3x，
∵∠AGO=45∘，则 GO=AO=1，
∴MG=MH=3x，
∵tan∠QAC=3，则 AM=x，
AG=AM+GM=x+3x=−12+12=2，
解得：x=24，
在 △AHM 中，AH=AM2+MH2=10x=52，
在 △AOH 中，OH=AH2−OA2=12，故点 H0,−12，
由点 A，H 的坐标得，直线 AH 的表达式为：y=−12x−12, ⋯⋯②
联立 ①② 并解得：x=−1舍去或72，
故点 Q 的坐标为：72,−94．
25. （1） 如图 1 中，连接 BE，过点 D 作 DK⊥BC 于 K，过点 B 作 BJ⊥CD 于 J．
在 Rt△CDK 中，
∵∠DKC=90∘，CD=5，cs∠C=CKCD=35，
∴CK=3，
∵BC=6，
∴BK=CK=3，
∵AD∥BC，∠ABC=90∘，
∴∠A=90∘，
∵DK⊥BC，
∴∠A=∠ABC=∠DKB=90∘，
∴ 四边形 ABKD 是矩形，
∴AD=BK=3，
∴DB=DC=5，DK=CD2−CK2=52−32=4，
∵S△DCB=12⋅BC⋅DK=12⋅CD⋅BJ，
∴BJ=245，
∴DJ=BD2−BJ2=52−2452=75，
∵BD=BE，BJ⊥DE，
∴DJ=JE=75，
∴EC=CD−DJ=JE=5−145=115，
∴sin∠BDC=BJBD=245=2425．
（2） 如图 2 中，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DBC，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠C，
∴∠ADG=∠C，
∵△ADG 相似 △BEC，
∴ 有两种情形：当 △ADG∽△BCE 时，
∴ADBC=DGEC，
∴36=DG115，
∴DG=1110，
当 △ADG∽△ECB 时，
ADEC=DGBC，
3115=DG6，
∴DG=9011．
（3） 如图 3 中，过点 B 作 BJ⊥PQ 交 DF 于 J，
连接 BJ，JH，JQ，过点 J 作 JG⊥BH 于 G，过点 Q 作 QK⊥JH 于 K．
由题意：QB=QJ=y，BJ=BD=5，
∵JB=JH，JG⊥BH，
∴BG=GH=12x，
∴JG=BJ2−BG2=25−14x2，
∵∠GBQ=∠BGK=∠QKG=90∘，
∴ 四边形 BGKQ 是矩形，
∴BQ=GK=y，QK=GB=12x，
在 Rt△QKJ 中，
∵JQ2=QK2+KJ2，
∴y2=14x2+25−14x2−y2，
∴y=25100−x2100−x2．