2018年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 计算 −x32 所得结果是
A. x5B. −x5C. x6D. −x6

2. 如果一次函数 y=kx+b 的图象经过一、二、三象限，那么 k，b 应满足的条件是
A. k>0，且 b>0B. k<0，且 b<0C. k>0，且 b<0D. k<0，且 b>0

3. 下列各式中，x−2 的有理化因式是
A. x+2B. x−2C. x+2D. x−2

4. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是 AB 边上的高．如果 BD=4，CD=6，那么 BC:AC 是
A. 3:2B. 2:3C. 3:13D. 2:13

5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，射线 CE，BA 交于点 F，下列等式成立的是
A. AEED=CEEFB. AEED=CDAFC. AEED=FAABD. AEED=FEFC

6. 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，下列条件中，不能判断梯形 ABCD 是等腰梯形的是
A. ∠ABC=∠DCBB. ∠DBC=∠ACB
C. ∠DAC=∠DBCD. ∠ACD=∠DAC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 因式分解 3a2+a= ．

8. 函数 y=1x+1 的定义域是 ．

9. 如果关于 x 的一元二次方程 x2+2x−a=0 没有实数根，那么 a 的取值范围是 ．

10. 抛物线 y=x2+4 的对称轴是 ．

11. 将抛物线 y=−x2 平移，使它的顶点移到点 P−2,3，平移后新抛物线的表达式为 ．

12. 如果两个相似三角形周长的比是 2:3，那么它们面积的比是 ．

13. 如图，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1:3，把物体从地面 A 处送到坡顶 B 处时，物体所经过的路程是 12 米，此时物体离地面的高度是 米．

14. 如图，在 △ABC 中，点 D 是边 AB 的中点．如果 CA=a，CD=b，那么 CB= （结果用含 a，b 的式子表示）．

15. 已知点 D，E 分别在 △ABC 的边 BA，CA 的延长线上，且 DE∥BC，如果 BC=3DE，AC=6，那么 AE= ．

16. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=4，点 G 为 △ABC 的重心．如果 GC=2，那么 sin∠GCB 的值是 ．

17. 将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是 1，那么它们周长的差是 ．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=7，AC=6，∠A=45∘，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，将 △BDE 沿着 DE 所在直线翻折，点 B 落在点 P 处，PD，PE 分别交边 AC 于点 M，N，如果 AD=2，PD⊥AB，垂足为点 D，那么 MN 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：27−−20+∣1−3∣+2cs30∘．

20. 解方程：1x+2+4xx2−4−2x−2=1．

21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+bk≠0 与双曲线 y=6x 相交于点 Am,6 和点 B−3,n，直线 AB 与 y 轴交于点 C．
（1）求直线 AB 的表达式；
（2）求 AC:CB 的值．

22. 如图，小明的家在某住宅楼 AB 的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物 CDCD∥AB，他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的 A 处测得建筑物 CD 的底部 C 的俯角是 43∘，顶部 D 的仰角是 25∘，他又测得两建筑物之间的距离 BC 是 28 米，请你帮助小明求出建筑物 CD 的高度（精确到 1 米）．（参考数据：sin25∘≈0.42，cs25∘≈0.91，tan25∘≈0.47，sin43∘≈0.68，cs43∘≈0.73，tan43∘≈0.93）

23. 如图，已知点 D，E 分别在 △ABC 的边 AC，BC 上，线段 BD 与 AE 交于点 F，且 CD⋅CA=CE⋅CB．
（1）求证：∠CAE=∠CBD；
（2）若 BEEC=ABAC，求证：AB⋅AD=AF⋅AE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+ca>0 与 x 轴相交于点 A−1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=1．
（1）求点 C 的坐标（用含 a 的代数式表示）；
（2）联结 AC，BC，若 △ABC 的面积为 6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点 Q 为 x 轴正半轴上一点，点 G 与点 C，点 F 与点 A 关于点 Q 成中心对称，当 △CGF 为直角三角形时，求点 Q 的坐标．

25. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 P 是边 AD 上的动点（点 P 不与点 A 、点 D 重合），点 Q 是边 CD 上一点，连接 PB，PQ，且 ∠PBC=∠BPQ．
（1）当 QD=QC 时，求 ∠ABP 的正切值；
（2）设 AP=x，CQ=y，求 y 关于 x 的函数解析式；
（3）连接 BQ，在 △PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. C
4. B
5. C
6. D
第二部分
7. a3a+1
【解析】3a2+a=a3a+1．
8. x≠−1
9. a<−1
10. 直线 x=0 或 y 轴
11. y=−x+22+3
12. 4:9
13. 6
14. 2b−a
15. 2
16. 23
17. 63
18. 187
【解析】∵PD⊥AB，
∴∠BDP=90∘，∠EDB=∠EDP=∠A=45∘，
∴DE∥AC，
∴DEAC=BDBA，
∴DE6=57，
∴DE=307，
∵AD=DM=2，DB=DP=5，
∴PM=3，
∴MNDE=PMPD，
∴MN307=35，
∴MN=187．
第三部分
19. 原式=33−1+3−1+2×32=33−1+3−1+3=53−2.
20. 方程两边同乘 x+2x−2 得
x−2+4x−2x+2=x2−4.
整理，得
x2−3x+2=0.
解这个方程得
x1=1,x2=2.
经检验，x2=2 是增根，舍去．
∴ 原方程的根是 x=1．
21. （1） ∵Am,6 和 B−3,n 在双曲线 y=6x，
∴m=1，n=−2，
∴A1,6，B−3,−2，
代入直线 y=kx+b，得 k+b=6,−3k+b=−2, 解得 k=2,b=4.
∴ 直线 AB 的表达式为：y=2x+4．
（2） 分别过点 A，B 作 AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点 M，N，
则 ∠AMO=∠BNO=90∘，AM=1，BN=3，
∴AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN，
∴ACCB=AMBN=13．
22. 过点 A 作 AE⊥CD，垂足为点 E，
由题意得，AE=BC=28，∠EAD=25∘，∠EAC=43∘，
在 Rt△ADE 中，
∵tan∠EAD=DEAE，
∴DE=tan25∘×28≈0.47×28≈13.16，
在 Rt△ACE 中，
∵tan∠EAC=CEAE，
∴CE=tan43∘×28≈0.93×28≈26.04，
∴DC=DE+CE=13.16+26.04≈39（米）．
答：建筑物 CD 的高度约为 39 米．
23. （1） 因为 CD⋅CA=CE⋅CB，
所以 CECD=CACB，
因为 ∠ECA=∠DCB，
所以 △CAE∽△CBD，
所以 ∠CAE=∠CBD．
（2） 过点 C 作 CG∥AB，交 AE 的延长线于点 G．
所以 BEEC=ABCG，
所以 ∠G=∠BAG，
因为 BEEC=ABAC，
所以 ABCG=ABAC，
所以 CG=CA，
所以 ∠G=∠CAG，
所以 ∠CAG=∠BAG，
因为 ∠CAE=∠CBD，∠AFD=∠BFE，
所以 ∠ADF=∠BEF，
所以 △ADF∽△AEB，
所以 ADAE=AFAB，
所以 AB⋅AD=AF⋅AE．
24. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca>0 的对称轴为直线 x=1，
而抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标为 −1,0，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为 3,0，
设抛物线解析式为 y=ax+1x−3，
即 y=ax2−2ax−3a，
当 x=0 时，y=−3a，
∴C0,−3a．
（2） ∴AB=4，OC=3a，
∴S△ACB=12AB⋅OC=6a，
∴6a=6，解得 a=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x2−2x−3．
（3） 设点 Q 的坐标为 m,0．
过点 G 作 GH⊥x 轴，垂足为点 H，如图，
∵ 点 G 与点 C，点 F 与点 A 关于点 Q 成中心对称，
∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，
∴OF=2m+1，HF=1，
当 ∠CGF=90∘ 时，
∵∠QGH+∠FGH=90∘，∠QGH+∠GQH=90∘，
∴∠GQH=∠HGF，
∴Rt△QGH∽Rt△GFH，
∴GHFH=QHGH，即 31=m3，解得 m=9，
∴Q 的坐标为 9,0；
当 ∠CFG=90∘ 时，
∵∠GFH+∠CFO=90∘，∠GFH+∠FGH=90∘，
∴∠CFO=∠FGH，
∴Rt△GFH∽Rt△FCO，
∴GHFO=FHCO，即 32m+1=13，解得 m=4，
∴Q 的坐标为 4,0；
∠GCF=90∘ 不存在，
综上所述，点 Q 的坐标为 4,0 或 9,0．
25. （1） 如图 1，延长 PQ 交 BC 的延长线于点 E，
设 PD=a，
∵∠PBC=∠BPQ，
∴EB=EP，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DPQ=∠E，
在 △PDQ 和 △ECQ 中，
∠DPQ=∠E,∠DQP=∠CQE,DQ=CQ,
∴△PDQ≌△ECQAAS，
∴PD=CE，PQ=QE，
∴BE=EP=a+2，
∴QP=12a+1，
在 Rt△PDQ 中，
∵ PD2+QD2=PQ2，
∴a2+1=12a+12，
解得 a=43，
∴AP=AD−PD=23，
在 Rt△ABP 中，tan∠ABP=APAB=13．
（2） 如图 2，过点 B 作 BH⊥PQ，垂足为点 H，连接 BQ，
∵AD∥BC，
∴∠CBP=∠APB，
∵∠PBC=∠BPQ，
∴∠APB=∠HPB，
∵∠A=∠PHB=90∘，
在 △ABP 和 △HBP 中，
∠A=∠BHP=90∘,∠APB=∠HPB,BP=BP,
∴△PAB≌△PHBAAS，
∴AP=PH=x，AB=BH，
∵AB=BC，
∴BH=BC，
在 Rt△BHQ 和 Rt△BCQ 中，
BQ=BQ,BH=BC,
∴Rt△BHQ≌Rt△BCQHL，
∴QH=QC=y，
在 Rt△PDQ 中，
∵PD2+QD2=PQ2，
∴2−x2+2−y2=x+y2，
∴y=4−2xx+20 （3） 存在，∠PBQ=45∘．
由（2）知，△PAB≌△PHB，
∴∠ABP=∠HBP，
∴∠PBH=12∠ABH，
由（2）知，Rt△BHQ≌Rt△BCQ，
∴∠HBQ=∠CBQ，
∴∠HBQ=12∠HBC，
∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=12∠ABH+∠HBC=12∠ABC=45∘.