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    2018年上海市青浦区中考一模数学试卷(期末)
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    2018年上海市青浦区中考一模数学试卷(期末)

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    这是一份2018年上海市青浦区中考一模数学试卷(期末),共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(共6小题;共30分)
    1. 计算 −x32 所得结果是
    A. x5B. −x5C. x6D. −x6

    2. 如果一次函数 y=kx+b 的图象经过一、二、三象限,那么 k,b 应满足的条件是
    A. k>0,且 b>0B. k<0,且 b<0C. k>0,且 b<0D. k<0,且 b>0

    3. 下列各式中,x−2 的有理化因式是
    A. x+2B. x−2C. x+2D. x−2

    4. 如图,在 △ABC 中,∠ACB=90∘,CD 是 AB 边上的高.如果 BD=4,CD=6,那么 BC:AC 是
    A. 3:2B. 2:3C. 3:13D. 2:13

    5. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,射线 CE,BA 交于点 F,下列等式成立的是
    A. AEED=CEEFB. AEED=CDAFC. AEED=FAABD. AEED=FEFC

    6. 在梯形 ABCD 中,AD∥BC,下列条件中,不能判断梯形 ABCD 是等腰梯形的是
    A. ∠ABC=∠DCBB. ∠DBC=∠ACB
    C. ∠DAC=∠DBCD. ∠ACD=∠DAC

    二、填空题(共12小题;共60分)
    7. 因式分解 3a2+a= .

    8. 函数 y=1x+1 的定义域是 .

    9. 如果关于 x 的一元二次方程 x2+2x−a=0 没有实数根,那么 a 的取值范围是 .

    10. 抛物线 y=x2+4 的对称轴是 .

    11. 将抛物线 y=−x2 平移,使它的顶点移到点 P−2,3,平移后新抛物线的表达式为 .

    12. 如果两个相似三角形周长的比是 2:3,那么它们面积的比是 .

    13. 如图,传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1:3,把物体从地面 A 处送到坡顶 B 处时,物体所经过的路程是 12 米,此时物体离地面的高度是 米.

    14. 如图,在 △ABC 中,点 D 是边 AB 的中点.如果 CA=a,CD=b,那么 CB= (结果用含 a,b 的式子表示).

    15. 已知点 D,E 分别在 △ABC 的边 BA,CA 的延长线上,且 DE∥BC,如果 BC=3DE,AC=6,那么 AE= .

    16. 在 △ABC 中,∠C=90∘,AC=4,点 G 为 △ABC 的重心.如果 GC=2,那么 sin∠GCB 的值是 .

    17. 将一个三角形经过放大后得到另一个三角形,如果所得三角形在原三角形的外部,这两个三角形各对应边平行且距离都相等,那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”,它们对应边之间的距离叫做“等距”.如果两个等边三角形是“等距三角形”,它们的“等距”是 1,那么它们周长的差是 .

    18. 如图,在 △ABC 中,AB=7,AC=6,∠A=45∘,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,将 △BDE 沿着 DE 所在直线翻折,点 B 落在点 P 处,PD,PE 分别交边 AC 于点 M,N,如果 AD=2,PD⊥AB,垂足为点 D,那么 MN 的长是 .

    三、解答题(共7小题;共91分)
    19. 计算:27−−20+∣1−3∣+2cs30∘.

    20. 解方程:1x+2+4xx2−4−2x−2=1.

    21. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx+bk≠0 与双曲线 y=6x 相交于点 Am,6 和点 B−3,n,直线 AB 与 y 轴交于点 C.
    (1)求直线 AB 的表达式;
    (2)求 AC:CB 的值.

    22. 如图,小明的家在某住宅楼 AB 的最顶层(AB⊥BC),他家的后面有一建筑物 CDCD∥AB,他很想知道这座建筑物的高度,于是在自家阳台的 A 处测得建筑物 CD 的底部 C 的俯角是 43∘,顶部 D 的仰角是 25∘,他又测得两建筑物之间的距离 BC 是 28 米,请你帮助小明求出建筑物 CD 的高度(精确到 1 米).(参考数据:sin25∘≈0.42,cs25∘≈0.91,tan25∘≈0.47,sin43∘≈0.68,cs43∘≈0.73,tan43∘≈0.93)

    23. 如图,已知点 D,E 分别在 △ABC 的边 AC,BC 上,线段 BD 与 AE 交于点 F,且 CD⋅CA=CE⋅CB.
    (1)求证:∠CAE=∠CBD;
    (2)若 BEEC=ABAC,求证:AB⋅AD=AF⋅AE.

    24. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+ca>0 与 x 轴相交于点 A−1,0 和点 B,与 y 轴交于点 C,对称轴为直线 x=1.
    (1)求点 C 的坐标(用含 a 的代数式表示);
    (2)联结 AC,BC,若 △ABC 的面积为 6,求此抛物线的表达式;
    (3)在第(2)小题的条件下,点 Q 为 x 轴正半轴上一点,点 G 与点 C,点 F 与点 A 关于点 Q 成中心对称,当 △CGF 为直角三角形时,求点 Q 的坐标.

    25. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 P 是边 AD 上的动点(点 P 不与点 A 、点 D 重合),点 Q 是边 CD 上一点,连接 PB,PQ,且 ∠PBC=∠BPQ.
    (1)当 QD=QC 时,求 ∠ABP 的正切值;
    (2)设 AP=x,CQ=y,求 y 关于 x 的函数解析式;
    (3)连接 BQ,在 △PBQ 中是否存在度数不变的角,若存在,指出这个角,并求出它的度数;若不存在,请说明理由.
    答案
    第一部分
    1. C
    2. A
    3. C
    4. B
    5. C
    6. D
    第二部分
    7. a3a+1
    【解析】3a2+a=a3a+1.
    8. x≠−1
    9. a<−1
    10. 直线 x=0 或 y 轴
    11. y=−x+22+3
    12. 4:9
    13. 6
    14. 2b−a
    15. 2
    16. 23
    17. 63
    18. 187
    【解析】∵PD⊥AB,
    ∴∠BDP=90∘,∠EDB=∠EDP=∠A=45∘,
    ∴DE∥AC,
    ∴DEAC=BDBA,
    ∴DE6=57,
    ∴DE=307,
    ∵AD=DM=2,DB=DP=5,
    ∴PM=3,
    ∴MNDE=PMPD,
    ∴MN307=35,
    ∴MN=187.
    第三部分
    19. 原式=33−1+3−1+2×32=33−1+3−1+3=53−2.
    20. 方程两边同乘 x+2x−2 得
    x−2+4x−2x+2=x2−4.
    整理,得
    x2−3x+2=0.
    解这个方程得
    x1=1,x2=2.
    经检验,x2=2 是增根,舍去.
    ∴ 原方程的根是 x=1.
    21. (1) ∵Am,6 和 B−3,n 在双曲线 y=6x,
    ∴m=1,n=−2,
    ∴A1,6,B−3,−2,
    代入直线 y=kx+b,得 k+b=6,−3k+b=−2, 解得 k=2,b=4.
    ∴ 直线 AB 的表达式为:y=2x+4.
    (2) 分别过点 A,B 作 AM⊥y轴,BN⊥y轴,垂足分别为点 M,N,
    则 ∠AMO=∠BNO=90∘,AM=1,BN=3,
    ∴AM∥BN,
    ∴△ACM∽△BCN,
    ∴ACCB=AMBN=13.
    22. 过点 A 作 AE⊥CD,垂足为点 E,
    由题意得,AE=BC=28,∠EAD=25∘,∠EAC=43∘,
    在 Rt△ADE 中,
    ∵tan∠EAD=DEAE,
    ∴DE=tan25∘×28≈0.47×28≈13.16,
    在 Rt△ACE 中,
    ∵tan∠EAC=CEAE,
    ∴CE=tan43∘×28≈0.93×28≈26.04,
    ∴DC=DE+CE=13.16+26.04≈39(米).
    答:建筑物 CD 的高度约为 39 米.
    23. (1) 因为 CD⋅CA=CE⋅CB,
    所以 CECD=CACB,
    因为 ∠ECA=∠DCB,
    所以 △CAE∽△CBD,
    所以 ∠CAE=∠CBD.
    (2) 过点 C 作 CG∥AB,交 AE 的延长线于点 G.
    所以 BEEC=ABCG,
    所以 ∠G=∠BAG,
    因为 BEEC=ABAC,
    所以 ABCG=ABAC,
    所以 CG=CA,
    所以 ∠G=∠CAG,
    所以 ∠CAG=∠BAG,
    因为 ∠CAE=∠CBD,∠AFD=∠BFE,
    所以 ∠ADF=∠BEF,
    所以 △ADF∽△AEB,
    所以 ADAE=AFAB,
    所以 AB⋅AD=AF⋅AE.
    24. (1) ∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca>0 的对称轴为直线 x=1,
    而抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标为 −1,0,
    ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为 3,0,
    设抛物线解析式为 y=ax+1x−3,
    即 y=ax2−2ax−3a,
    当 x=0 时,y=−3a,
    ∴C0,−3a.
    (2) ∴AB=4,OC=3a,
    ∴S△ACB=12AB⋅OC=6a,
    ∴6a=6,解得 a=1,
    ∴ 抛物线解析式为 y=x2−2x−3.
    (3) 设点 Q 的坐标为 m,0.
    过点 G 作 GH⊥x 轴,垂足为点 H,如图,
    ∵ 点 G 与点 C,点 F 与点 A 关于点 Q 成中心对称,
    ∴QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3,
    ∴OF=2m+1,HF=1,
    当 ∠CGF=90∘ 时,
    ∵∠QGH+∠FGH=90∘,∠QGH+∠GQH=90∘,
    ∴∠GQH=∠HGF,
    ∴Rt△QGH∽Rt△GFH,
    ∴GHFH=QHGH,即 31=m3,解得 m=9,
    ∴Q 的坐标为 9,0;
    当 ∠CFG=90∘ 时,
    ∵∠GFH+∠CFO=90∘,∠GFH+∠FGH=90∘,
    ∴∠CFO=∠FGH,
    ∴Rt△GFH∽Rt△FCO,
    ∴GHFO=FHCO,即 32m+1=13,解得 m=4,
    ∴Q 的坐标为 4,0;
    ∠GCF=90∘ 不存在,
    综上所述,点 Q 的坐标为 4,0 或 9,0.
    25. (1) 如图 1,延长 PQ 交 BC 的延长线于点 E,
    设 PD=a,
    ∵∠PBC=∠BPQ,
    ∴EB=EP,
    ∵ 四边形 ABCD 是正方形,
    ∴AD∥BC,
    ∴∠DPQ=∠E,
    在 △PDQ 和 △ECQ 中,
    ∠DPQ=∠E,∠DQP=∠CQE,DQ=CQ,
    ∴△PDQ≌△ECQAAS,
    ∴PD=CE,PQ=QE,
    ∴BE=EP=a+2,
    ∴QP=12a+1,
    在 Rt△PDQ 中,
    ∵ PD2+QD2=PQ2,
    ∴a2+1=12a+12,
    解得 a=43,
    ∴AP=AD−PD=23,
    在 Rt△ABP 中,tan∠ABP=APAB=13.
    (2) 如图 2,过点 B 作 BH⊥PQ,垂足为点 H,连接 BQ,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠CBP=∠APB,
    ∵∠PBC=∠BPQ,
    ∴∠APB=∠HPB,
    ∵∠A=∠PHB=90∘,
    在 △ABP 和 △HBP 中,
    ∠A=∠BHP=90∘,∠APB=∠HPB,BP=BP,
    ∴△PAB≌△PHBAAS,
    ∴AP=PH=x,AB=BH,
    ∵AB=BC,
    ∴BH=BC,
    在 Rt△BHQ 和 Rt△BCQ 中,
    BQ=BQ,BH=BC,
    ∴Rt△BHQ≌Rt△BCQHL,
    ∴QH=QC=y,
    在 Rt△PDQ 中,
    ∵PD2+QD2=PQ2,
    ∴2−x2+2−y2=x+y2,
    ∴y=4−2xx+20 (3) 存在,∠PBQ=45∘.
    由(2)知,△PAB≌△PHB,
    ∴∠ABP=∠HBP,
    ∴∠PBH=12∠ABH,
    由(2)知,Rt△BHQ≌Rt△BCQ,
    ∴∠HBQ=∠CBQ,
    ∴∠HBQ=12∠HBC,
    ∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=12∠ABH+∠HBC=12∠ABC=45∘.
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