2019年上海市长宁区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市长宁区中考一模数学试卷（期末），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 抛物线 y=2x+22−3 的顶点坐标是
A. 2,−3B. −2,−3C. −2,3D. 2,3

2. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB，AC 上，下列条件中能够判定 DE∥BC 的是
A. ADAB=DEBCB. ADBD=AEACC. BDAB=CEAED. ADAE=ABAC

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 csB=13，BC=a，那么 AC 的长是
A. 22aB. 3aC. 10aD. 24a

4. 如果 a=2，b=−12a，那么下列说法正确的是
A. b=2aB. b 是与 a 方向相同的单位向量
C. 2b−a=0D. b∥a

5. 在直角坐标平面内，点 O 是坐标原点，点 A 的坐标是 3,2，点 B 的坐标是 3,−4．如果以点 O 为圆心，r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交，且点 A，B 中有一点在圆 O 内，另一点在圆 O 外，那么 r 的值可以取
A. 5B. 4C. 3D. 2

6. 在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，连接 AD，下列说法错误的是
A. 如果 ∠BAC=90∘，AB2=BD⋅BC，那么 AD⊥BC
B. 如果 AD⊥BC，AD2=BD⋅CD，那么 ∠BAC=90∘
C. 如果 AD⊥BC，AB2=BD⋅BC，那么 ∠BAC=90∘
D. 如果 ∠BAC=90∘，AD2=BD⋅CD，那么 AD⊥BC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 若线段 a，b，c，d 满足 ab=cd=45，则 a+cb+d 的值等于 ．

8. 如果抛物线 y=3−mx2−3 有最高点，那么 m 的取值范围是 ．

9. 如果两个相似三角形的周长的比等于 1:4，那么它们的面积的比等于 ．

10. 边长为 6 的正六边形的边心距为 ．

11. 如图，已知 AD∥BE∥CF，若 AB=3，AC=7，EF=6，则 DE 的长为 ．

12. 已知点 P 在线段 AB 上，满足 AP:BP=BP:AB，若 BP=2，则 AB 的长为 ．

13. 若点 A−1,7，B5,7，C−2,−3，Dk,−3 在同一条抛物线上，则 k 的值等于 ．

14. 如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路 l 上有 A，B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 的北偏东 60∘ 方向、在码头 B 的北偏西 45∘ 方向，AC=4 千米．那么码头 A，B 之间的距离等于 千米．（结果保留根号）

15. 在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，若圆 A 的半径长为 5，圆 C 的半径长为 R，且圆 A 与圆 C 内切，则 R 的值等于 ．

16. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的中线，AD 与 BE 交于点 F，若 BE=6，FD=3，则 △ABC 的面积等于 ．

17. 已知点 P 在 △ABC 内，连接 PA，PB，PC，在 △PAB，△PBC 和 △PAC 中，如果存在一个三角形与 △ABC 相似，那么就称点 P 为 △ABC 的自相似点．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=12，BC=5，如果点 P 为 Rt△ABC 的自相似点，那么 ∠ACP 的余切值等于 ．

18. 如图，点 P 在平行四边形 ABCD 的边 BC 上，将 △ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 恰好落在边 AD 的垂直平分线上，如果 AB=5，AD=8，tanB=43，那么 BP 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3ct260∘+sin30∘cs45∘−cs30∘．

20. 如图，AB 与 CD 相交于点 E，AC∥BD，点 F 在 DB 的延长线上，连接 BC，若 BC 平分 ∠ABF，AE=2，BE=3．
（1）求 BD 的长；
（2）设 EB=a，ED=b，用含 a，b 的式子表示 BC．

21. 如图，AB 是圆 O 的一条弦，点 O 在线段 AC 上，AC=AB，OC=3，sinA=35．求：
（1）圆 O 的半径长；
（2）BC 的长．

22. 如图，小明站在江边某瞭望台 DE 的顶端 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40∘．若瞭望台 DE 垂直于江面，它的高度为 3 米，CE=2 米，CE 平行于江面 AB，迎水坡 BC 的坡度 i=1:0.75，坡长 BC=10 米．（参考数据：sin40∘≈0.64，cs40∘≈0.77，tan40∘≈0.84，ct40∘≈1.19）
（1）求瞭望台 DE 的顶端 D 到江面 AB 的距离；
（2）求渔船 A 到迎水坡 BC 的底端 B 的距离．（结果保留一位小数）

23. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的边 AC，AB 上，延长 DE，CB 交于点 F，且 AE⋅AB=AD⋅AC．
（1）求证：∠FEB=∠C；
（2）连接 AF，若 FBAB=CDFD，求证：EF⋅AB=AC⋅FB．

24. 如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点 O 、点 B1,3，又与 x 轴正半轴相交于点 A，∠BAO=45∘，点 P 是线段 AB 上的一点，过点 P 作 PM∥OB，与抛物线交于点 M，且点 M 在第一象限内．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若 ∠BMP=∠AOB，求点 P 的坐标；
（3）过点 M 作 MC⊥x轴，分别交直线 AB，x 轴于点 N，C，若 △ANC 的面积等于 △PMN 的面积的 2 倍，求 MNNC 的值．

25. 已知锐角 ∠MBN 的余弦值为 35，点 C 在射线 BN 上，BC=25，点 A 在 ∠MBN 的内部，且 ∠BAC=90∘，∠BCA=∠MBN．过点 A 的直线 DE 分别交射线 BM，射线 BN 于点 D，E．点 F 在线段 BE 上（点 F 不与点 B 重合），且 ∠EAF=∠MBN．
（1）如图 1，当 AF⊥BN 时，求 EF 的长；
（2）如图 2，当点 E 在线段 BC 上时，设 BF=x，BD=y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域；
（3）连接 DF，当 △ADF 与 △ACE 相似时，请直接写出 BD 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】∵y=2x+22−3，
∴ 抛物线的顶点坐标是 −2,−3．
2. D【解析】A．由 ADAB=DEBC，不能得到 DE∥BC，故本选项不合题意；
B．由 ADBD=AEAC，不能得到 DE∥BC，故本选项不合题意；
C．由 BDAB=CEAE，不能得到 DE∥BC，故本选项不合题意；
D．由 ADAE=ABAC，能得到 DE∥BC，故本选项符合题意．
3. A【解析】∵csB=13，BC=a，
∴AB=3a，
∵∠C=90∘，
∴Rt△ABC 中，AC=AB2−BC2=3a2−a2=22a．
4. D【解析】A、由 b=−12a 得到 b=12a=1，故本选项说法错误．
B、由 b=−12a 得到 b 是与 a 的方向相反，故本选项说法错误．
C、由 b=−12a 得到 2b+a=0，故本选项说法错误．
D、由 b=−12a 得到 b∥a，故本选项说法正确．
5. B
【解析】∵ 点 A 的坐标是 3,2，点 B 的坐标是 3,−4，
∴OA=32+22=13，OB=32+42=5，
∵ 以点 O 为圆心，r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交，且点 A，B 中有一点在圆 O 内，另一点在圆 O 外，
∴13 ∴r=4 符合要求．
6. D【解析】A、 ∵AB2=BD⋅BC，
∴ABBD=BCAB，
又 ∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA=∠BAC=90∘，即 AD⊥BC，
故A选项说法正确，不符合题意；
B、 ∵AD2=BD⋅CD，
∴ADBD=CDAD，
又 ∠ADC=∠BDA=90∘，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD=∠C，
∵∠DAC+∠C=90∘，
∴∠DAC+∠BAD=90∘，
∴∠BAC=90∘，
故B选项说法正确，不符合题意；
C、 ∵AB2=BD⋅BC，
∴ABBD=BCAB，
又 ∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC=∠BDA=90∘，即 AD⊥BC，
故C选项说法正确，不符合题意；
D、如果 ∠BAC=90∘，AD2=BD⋅CD，那么 AD 与 BC 不一定垂直，
故D选项错误，不符合题意．
第二部分
7. 45
【解析】∵ 线段 a，b，c，d 满足 ab=cd=45，
∴a+cb+d=45．
8. m>3
【解析】∵ 抛物线 y=3−mx2−3 有最高点，
∴3−m<0，即 m>3．
9. 1:16
【解析】∵ 两个相似三角形的周长的比等于 1:4，
∴ 它们的相似比为 1:4．
∴ 它们的面积的比等于 1:16．
10. 33
【解析】如图所示，此正六边形中 AB=6，
则 ∠AOB=60∘；
∵OA=OB，
∴△OAB 是等边三角形．
∵OG⊥AB，
∴∠AOG=30∘．
∴OG=OA⋅cs30∘=6×32=33．
11. 92
【解析】∵AB=3，AC=7，
∴BC=4．
∵AD∥BE∥CF，
∴DEEF=ABBC．
即 DE6=34，
解得 DE=92．
12. 5+1
【解析】∵ 点 P 在线段 AB 上，满足 AP:BP=BP:AB，
∴P 为线段 AB 的黄金分割点，且 BP 是较长线段，
∴BP=5−12AB，
∴5−12AB=2，
解得 AB=5+1．
13. 6
【解析】∵ 抛物线经过 A−1,7，B5,7，
∴ 点 A，B 为抛物线上的对称点，
∴ 抛物线解析式为直线 x=2，
∵C−2,−3，Dk,−3 为抛物线上的对称点，
即 C−2,−3 与 Dk,−3 关于直线 x=2 对称，
∴k−2=2−−2，
∴k=6．
14. 23+2
【解析】如图，作 CD⊥AB 于点 D．
∵ 在 Rt△ACD 中，∠CAD=90∘−60∘=30∘，
∴CD=AC⋅sin∠CAD=4×12=2km，AD=AC⋅cs30∘=4×32=23km，
∵Rt△BCD 中，∠CDB=90∘，∠CBD=45∘，
∴BD=CD=2km，
∴AB=AD+BD=23+2km．
15. 5−25 或 5+25
【解析】∵ 在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，
∴AC=22+42=25．
当点 C 在 ⊙A 内时，
∵ 圆 A 与圆 C 内切，
∴5−R=25，即 R=5−25；
当点 A 在 ⊙C 内时，
∵ 圆 A 与圆 C 内切，
∴R−5=25，即 R=5+25；
综上所述，R 的值为 5−25 或 5+25．
16. 97
【解析】过 E 作 EG⊥BC 于 G，
∵AD，BE 分别是边 BC，AC 上的中线，
∴ 点 F 是 △ABC 的重心，
∴AD=3DF=9，
∵AB=AC，AD 是边 BC 上的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵BE 是边 AC 上的中线，
∴AE=CE，
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AD，
∴EG=12AD=92，CG=12CD，
∵BE=6，
∴BG=BE2−EG2=372，
∴BC=43BG=27，
∴△ABC的面积=12×9×27=97．
17. 125
【解析】∵AC=12，BC=5，
∴∠CAB<∠CBA，
故可在 ∠CAB 内作 ∠CBP=∠CAB，
又 ∵ 点 P 为 △ABC 的自相似点，
∴ 过点 C 作 CP⊥PB，并延长 CP 交 AB 于点 D，
则 △BPC∽△ACB，
∴ 点 P 为 △ABC 的自相似点，
∴∠BCP=∠CBA，
∴∠ACP=∠BAC，
∴∠ACP 的余切 ACBC=125．
18. 257 或 7
【解析】① 如图 1，过 A 作 AH⊥BC 于 H，连接 DB′，
设 BB′ 与 AP 交于 E，AD 的垂直平分线交 AD 于 M，BC 于 N，
∵tanB=AHBH=43，
∴ 设 AH=4x，BH=3x．
∴AB=AH2+BH2=5x=5．
∴x=1．
∴AH=4，BH=3．
∵ 将 △ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 恰好落在边 AD 的垂直平分线 MN 上，
∴AB′=AB=5，AM=DM=12AD=4，∠AMN=∠HNM=90∘，
∴ 四边形 AHNM 是正方形．
MB′=AB′2−AM2=3，
∴HN=MN=4．
∴BN=7，B′N=1．
∴BB′=BN2+B′N2=52．
∴BE=12BB′=522．
∵∠BEP=∠BNB′=90∘，∠PBE=∠B′BN，
∴△BPE∽△BB′N．
∴PBBB′=BEBN．
∴PB52=5227．
∴BP=257；
② 如图 2，
由 ① 知，MN=4，MB′=3，BN=7，
∴NB=NB′．
∴ 点 N 在 BB′ 的垂直平分线上．
∵ 将 △ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 恰好落在边 AD 的垂直平分线上，
∴ 点 P 也在 BB′ 的垂直平分线上．
∴ 点 P 与 N 重合．
∴BP=BN=7．
综上所述，BP 的长为 257 或 7．
第三部分
19. 原式=3×332+1222−32=3×13+12−3=33−2+3=−2−233.
20. （1） ∵BC 平分 ∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF．
∵AC∥BD，
∴∠CBF=∠ACB．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB．
∵AE=2，BE=3，
∴AB=AC=5．
∵AC∥BD，
∴ACBD=AEBE．
∴5BD=23．
∴BD=152．
（2） ∵AC∥BD，
∴ECED=AEEB=23．
∵ED=b，
∴EC=−23b．
∴BC=BE+EC=−a−23b．
21. （1） 过点 O 作 OH⊥AB，垂足为点 H，
在 Rt△OAH 中中，∠OHA=90∘，
∴sinA=OHAO=35，
设 OH=3k，AO=5k，则 AH=AO2−OH2，
∵OH⊥AB，
∴AB=2AH=8k，
∴AC=AB=8k，
∴8k=5k+3，
∴k=1，
∴AO=5，即 ⊙O 的半径长为 5．
（2） 过点 C 作 CG⊥AB，垂足为点 G，
在 Rt△ACG 中，∠AGC=90∘，
∴sinA=CGAC=35，
∵AC=8，
∴CG=245，AG=AC2−CG2=325，BG=85，
在 Rt△CGB 中，∠CGB=90∘，
∴BC=CG2+BG2=852+2452=8105．
22. （1） 延长 DE 交 AB 于点 F，过点 C 作 CG⊥AB，垂足为点 G，
由题意可知 CE=GF=2，CG=EF，
在 Rt△BCG 中，∠BGC=90∘，
∴i=CGBG=10.75=43，
设 CG=4k，BG=3k，则 BC=CG2+BG2=5k=10，
∴k=2，
∴BG=6，
∴CG=EF=8，
∵DE=3，
∴DF=DE+EF=3+8=11（米），
答：瞭望台 DE 的顶端 D 到江面 AB 的距离为 11 米；
（2） 由题意得 ∠A=40∘，
在 Rt△ADF 中，∠DFA=90∘，
∴ctA=AFDF，
∴AF11≈1.19，
∴AF≈11×1.19=13.09m，
∴AB=AF−BG−GF=5.09≈5.1（米），
答：渔船 A 到迎水坡 BC 的底端 B 的距离为 5.1 米．
23. （1） ∵AE⋅AB=AD⋅AC．
∴AEAC=ADAB，
又 ∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED=∠C，
又 ∵∠AED=∠FEB，
∴∠FEB=∠C．
（2） ∵∠FEB=∠C，∠EFB=∠CFD，
∴△EFB∽△CFD，
∴∠FBE=∠FDC，
∵FBAB=CDFD，
∴FBCD=ABFD，
∴△FBA∽△CDF，
∴∠FEB=∠C，
∴AF=AC，
∵∠FEB=∠C，
∴∠FEB=∠AFB，
又 ∵∠FBE=∠ABF，
∴△EFB∽△FAB，
∴EFAF=FBAB，
∵AF=AC，
∴EF⋅AB=AC⋅FB．
24. （1） 如图，过点 B 作 BH⊥x轴，垂足为点 H，
∵ 点 B1,3，
∴BH=3，OH=1，
∵∠BAO=45∘，∠BHA=90∘，
∴AH=BH=3，
∴OA=4，
∴ 点 A4,0，
∵ 抛物线过原点 O 、点 A，B，
∴ 设抛物线的表达式为 y=ax2+bxa≠0，
∴0=16a+4b,a+b=3,
解得：a=−1，b=4，
∴ 抛物的线表达式为：y=−x2+4x．
（2） 如图，
∵PM∥OB，
∴∠PMB+∠OBM=180∘，且 ∠BMP=∠AOB，
∴∠AOB+∠OBM=180∘，
∴BM∥OA，
设点 Mm,3，且点 M 在抛物线 y=−x2+4x 上，
∴3=−m2+4m，
∴m=1（舍去），m=3，
∴ 点 M3,3，
∵ 点 O0,0，点 A4,0，点 B1,3，
∴ 直线 OB 解析式为 y=3x，直线 AB 解析式为 y=−x+4，
∵PM∥OB，
∴ 设 PM 解析式为 y=3x+n，且过点 M3,3，
∴3=3×3+n，
∴n=−6，
∴PM 解析式为 y=3x−6，
∴y=3x−6,y=−x+4,
解得：x=52，y=32，
∴ 点 P52,32．
（3） 如图，延长 MP 交 x 轴于点 D，作 PG⊥MN 于点 G，
∵PG⊥MN，MC⊥AD，
∴PG∥AD，
∴∠MPG=∠MDC，∠GPN=∠BAO=45∘，
又 ∵∠PGC=90∘，∠ACG=90∘，
∴AC=CN，PG=NG，
∵PM∥OB，
∴∠BOA=∠MDC，
∴∠MPG=∠BOA，
∵ 点 B 坐标 1,3，
∴tan∠BOA=3=tan∠MPG=MGPG，
∴MG=3PG=3NG，
∴MN=4PG，
∵△ANC 的面积等于 △PMN 的面积的 2 倍，
∴12×AC×NC=2×12×MN×PG，
∴NC2=2×MN×14MN=12MN2，
∴MNNC=2．
25. （1） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘ ，
∴cs∠BCA=cs∠MBN=ACBC=35．
∴AC25=35．
∴AC=15．
∴AB=BC2−AC2=20．
∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，
∴AF=20×1525=12．
∵AF⊥BC，
∴cs∠EAF=cs∠MBN=35=AFAE．
∴AE=20．
∴EF=AE2−AF2=16．
（2） 如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，
由（1）可知：AB=20，AH=12，AC=15，
∴BH=AB2−AH2=16．
∵BF=x，
∴FH=16−x，CF=25−x．
∴AF2=AH2+FH2=144+16−x2=x2−32x+400．
∵∠EAF=∠MBN，∠BCA=∠MBN，
∴∠EAF=∠BCA，且 ∠AFC=∠AFC，
∴△FAE∽△FCA．
∴AFFC=EFAF，∠AEF=∠FAC．
∴AF2=FC×EF．
∴x2−32x+400=25−x×EF．
∴EF=x2−32x+40025−x．
∴BE=BF+EF=400−7x25−x．
∵∠MBN=∠ACB，∠AEF=∠FAC，
∴△BDE∽△CFA．
∴BDFC=BEAC．
∴y25−x=400−7x25−x15．
∴y=400−7x150 （3） 如图，若 △ADF∽△CEA，
∵△ADF∽△CEA，
∴∠ADF=∠AEC．
∵∠EAF=∠MBN，∠EAF+∠DAF=180∘，
∴∠DAF+∠MBN=180∘．
∴ 点 A，点 F，点 B，点 D 四点共圆．
∴∠ADF=∠ABF．
∴∠ADF=∠AEC=∠ABF．
∴AB=AE．
∵∠BAC=90∘，
∴∠ABC+∠ACB=90∘，且 ∠ABF=∠AEC，∠ACB=∠MBN=∠EAF．
∴∠AEC+∠EAF=90∘，∠AEC+∠MBN=90∘．
∴∠BDE=90∘=∠AFC．
∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，
∴AF=20×1525=12．
∴BF=AB2−AF2=16．
∵AB=AE，∠AFC=90∘，
∴BE=2BF=32．
∴cs∠MBN=BDBE=35．
∴BE=965．
如图，若 △ADF∽△CAE，
∵△ADF∽△CAE，
∴∠ADF=∠CAE，∠AFD=∠AEC．
∴AC∥DF．
∴∠DFB=∠ACB，且 ∠ACB=∠MBN，
∴∠MBN=∠DFB．
∴DF=BD．
∵∠EAF=∠MBN，∠EAF+∠DAF=180∘，
∴∠DAF+∠MBN=180∘．
∴ 点 A，点 F，点 B，点 D 四点共圆．
∴∠ADF=∠ABF．
∴∠CAE=∠ABF，且 ∠AEC=∠AEC．
∴△ABE∽△CAE．
∴ABAC=AECE=BEAE=2015=43．
设 CE=3k，AE=4kk≠0，
∴BE=163k．
∵BC=BE−CE=25，
∴k=757．
∴AE=3007，CE=2257，BE=4007．
∵∠ACB=∠FAE，∠AFC=∠AFE，
∴△AFC∽△EFA．
∴AFEF=CFAF=ACAE=153007=720．
设 AF=7a，EF=20a，
∴CF=4920a．
∵CE=EF−CF=35120a=2257，
∴a=15007×117．
∴EF=30000117×7．
∵AC∥DF，
∴ACDF=CEEF．
∴15DF=2257300007×117．
∴DF=2000117．
综上所述：当 BD 为 965 或 2000117 时，△ADF 与 △ACE 相似．