2023年上海市长宁区中考数学一模试卷

2023年上海市长宁区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组图形中，一定是相似图形的是(    )

A. 两个等腰梯形 B. 两个矩形 C. 两个直角三角形 D. 两个等边三角形

3.  将抛物线向右平移个单位，那么所得新抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在中，，已知，，那么的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：

由于粗心，他算错了其中的一个值，那么这个错误的数值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  已知，那么的值为        ．

8.  计算：        ．

9.  如果两个相似三角形的面积比是：，那么它们的周长比是______．

10.  如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为        ．

11.  小杰沿着坡度：的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度升高了        米

12.  已知抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是        ．

13.  已知抛物线经过点，，试比较和的大小：        填“”，“”或“”．

14.  如图，，已知，，，那么的长等于        ．

15.  如图，在中，，点为的重心，若，，那么的长等于        ．

16.  如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果其面积为，那么的值为        ．

17.  如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，联结，如果正方形的面积为，且，那么的值为        ．

18.  如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一点除外，如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是        ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
如图，已知是边上一点，且：：，设，．
试用、表示；
直接在图中作出向量分别在、方向上的分向量．
不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量

21.  本小题分
已知关于的函数是二次函数．
求的值并写出函数解析式；
用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

22.  本小题分
某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度如图所示：无人机从地面点处沿着与地面垂直的方向上升，至点处时，测得大楼底部的俯角为，测得大楼顶部的仰角为无人机保持航向不变继续上升米到达点处，此时测得大楼顶部的俯角为已知、两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度结果保留根号

23.  本小题分
已知：如图，在中，点在边上，且，边的垂直平分线交边于点，交于点．
求证：∽；
如果的面积为，且，，求的面积．

24.  本小题分
已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足．
当点在线段上时，如图．
如果，求的长；
设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义域．
当时，求的面积直接写出结论，不必给出求解过程
 

25.  本小题分
已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且．
求抛物线的表达式；
如图，点是线段上的一个动点不与点、重合，过点作轴的垂线交抛物线于点，联结当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
如图，在的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：线段、、、是成比例线段，，，，
：：，
即：：，
解得：．
故选：．
根据成比例线段的概念可得：：，可求的值．
此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似图形，故D正确；
又直角三角形、等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似图形，故A、、C错误．
故选：．
本题主要考查了相似多边形的概念．
如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线向右平移个单位向右平移个单位所得抛物线的解析式为：．
故选：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
故选：．
利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是线段的黄金分割点，且，
，
，



，
故选：．
利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：假设三点，，在函数图象上，
把，，代入函数解析式得：
，
解得，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
故选：．
方法二：
解：假设函数经过，，则对称轴为直线，
此时，函数值最小，
函数开口向上，
当时，随的增大而减小，
而表格中，时，，由题意不符，
故选：．
假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．
本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
直接利用已知变形，进而得出，进而带入计算得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先去括号，然后计算加减法．
本题主要考查了平面向量的知识，乘法分配率同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．
 

9.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的面积比是：，
两个三角形的相似比为，：，
它们的周长比是：，
故答案为：：．
根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长之比等于相似比．
 

10.【答案】 

【解析】解：向量与单位向量的方向相反，且，
．
故答案为：．
根据平面向量的定义即可解决问题．
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设坡度的高为米，则水平距离为：米，
则：，
解得：，
故答案为：．
设坡度的高为米，根据勾股定理，列方程求解．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线在轴左侧的部分是上升的，
抛物线开口向下，
，
，
故答案为：．
由抛物线在轴左侧的部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
故答案为：．
由可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，，，
，
解得，
，
故答案为：．
由，可得，即，可解得，从而．
本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交于，过作于，直线交于，如图：

，，
，，
，
∽，
，
同理可得，
，
为的重心，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：．
延长交于，过作于，直线交于，证明∽，得，同理可得，即有，根据为的重心，，得，，又，可得，由勾股定理可得答案．
本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：正方形面积为，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
由正方形面积为，可得，，又，即可得，故∽，有，从而．
本题考查正方形性质和相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明∽．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作交于，如图：

四边形是正方形，
，
正方形的面积为，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过作交于，由正方形的面积为，，可得，即可得，而，故．
本题考查正方形性质及应用，涉及锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，把转化为．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：由图可知，是两条直角边的比为：的直角三角形，在方格中画出与相似的三角形，如图：

点的坐标是或或，
故答案为：或或．
是两条直角边的比为：的直角三角形，分别以，，为直角顶点，画出两条直角边的比为：的直角三角形即可得到答案．
本题考查相似三角形及图形与坐标，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

19.【答案】解：原式


． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、分母有理化分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
：：，
，
；

如图，，即为所求．
 

【解析】利用三角形法则求出，再求出，根据，可得结论；
利用三角形法则作出图形即可．
本题考查作图复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：根据题意得且，
解得，
所以抛物线解析式为；
，
，
该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 

【解析】根据二次函数的定义得到且，然后解关于的方程可得到满足条件的的值，从而得到抛物线解析式；
利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

22.【答案】解：如图：

由已知可得：，，米，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
在中，，
，
米，
答：大楼的高度为米． 

【解析】由已知可得：，，米，设米，可得，解得米，在中，，即得米．
本题考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

23.【答案】证明：，
，
垂直平分，
，
，
，，
∽；
解：由知∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】由得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
由知∽，可得，而，，即可得，，又，故，因，，即得．
本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

24.【答案】解：，
，
，且，
，
∽，
，
，，
，，
解得或，
的长为或；
由∽，
，
、两点的距离为，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
；
过作于，过作于，如图：

，，
，
，
由知当，即时，
，，
于，，
，，
∽，
，
，
，
的面积为． 

【解析】证明∽，得，即，可解得的长为或；
由∽，有，可得，，而∽，知，故，即可得到答案；
过作于，过作于，由，，，，结合知当，即时，，，证明∽，可得，故的面积为．
本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，三角形面积，动点问题等，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及应用．
 

25.【答案】解：，，
，
把，，代入得：
，
解得：，
；
由，可得直线解析式为，
设，则，
，
，要使四边形恰好是平行四边形，只需，
，
解得，
；
在直线上存在点，使得与相似，理由如下：
是的中点，点，
点，
由知，
直线的表达式为，
，
在直线上，，，
过点作轴于点，过作轴于，如图：

，故，
，
，
直线和直线关于直线对称，
，，
，
由点，可得直线的表达式为，
联立，
解得或，
点的坐标为，
，
，，，
，
，
∽，
，
，即，
与相似，点与点是对应点，
设点的坐标为，则，
当∽时，有，
，
解得或在右侧，舍去，
；
当∽时，，
，
解得舍去或，
，
综上所述，的坐标为或． 

【解析】求出，用待定系数法可得；
由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；
可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得∽，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当∽时，有，解得；当∽时，，解得．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．