2018年上海市黄浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市黄浦区中考一模数学试卷（期末），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是
A. a>0B. b<0C. c<0D. b+2a>0

2. 若将抛物线向右平移 2 个单位后，所得抛物线的表达式为 y=2x2，则原来抛物线的表达式为
A. y=2x2+2B. y=2x2−2C. y=2x+22D. y=2x−22

3. 在 △ABC 中，∠C=90∘，则下列等式成立的是
A. sinA=ACABB. sinA=BCABC. sinA=ACBCD. sinA=BCAC

4. 如图，线段 AB 与 CD 交于点 O，下列条件中能判定 AC∥BD 的是
A. OC=1，OD=2，OA=3，OB=4B. OA=1，AC=2，AB=3，BD=4
C. OC=1，OA=2，CD=3，OB=4D. OC=1，OA=2，AB=3，CD=4

5. 如图，向量 OA 与 OB 均为单位向量，且 OA⊥OB，令 n=OA+OB，则 n=
A. 1B. 2C. 3D. 2

6. 如图，在 △ABC 中，∠B=80∘，∠C=40∘，直线 l 平行于 BC，现将直线 l 绕点 A 逆时针旋转，所得直线分别交边 AB 和 AC 于点 M，N，若 △AMN 和 △ABC 相似，则旋转角为
A. 20∘B. 40∘C. 60∘D. 80∘

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 a，b，c 满足 a3=b4=c6，a，b，c 都不为 0，则 a+bc−b= ．

8. 如图，点 D，E，F 分别位于 △ABC 的三边上，满足 DE∥BC，EF∥AB，如果 AD:DB=3:2，那么 BF:FC= ．

9. 已知向量 e 为单位向量，如果向量 n 与向量 e 方向相反，且长度为 3，那么向量 n= ．（用单位向量 e 表示）

10. 已知 △ABC∽△DEF，其中顶点 A，B，C 分别对应顶点 D，E，F，如果 ∠A=40∘，∠E=60∘，那么 ∠C= 度．

11. 已知锐角 α，满足 tanα=2，则 sinα= ．

12. 已知点 B 位于点 A 北偏东 30∘ 方向，点 C 位于点 A 北偏西 30∘ 方向，且 AB=AC=8 千米，那么 BC= 千米．

13. 已知二次函数的图象开口向下，且其图象顶点位于第一象限内，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为 （表示为 y=ax+m2+k 的形式）．

14. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上，一条平行于 x 轴的直线截此抛物线于 M，N 两点，那么线段 MN 的长度随直线向上平移而变 ．（填“大”或“小”）

15. 如图，矩形 DEFG 的边 EF 在 △ABC 的边 BC 上，顶点 D，G 分别在边 AB，AC 上．已知 AC=6，AB=8，BC=10，设 EF=x，矩形 DEFG 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数关系式为 ．（不必写出定义域）

16. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，BC=6，AC=9，将 △ABC 平移使其顶点 C 位于 △ABC 的重心 G 处，则平移后所得三角形与原 △ABC 的重叠部分面积是 ．

17. 如图，点 E 为矩形 ABCD 边 BC 上一点，点 F 在边 CD 的延长线上，EF 与 AC 交于点 O，若 CE:EB=1:2，BC:AB=3:4，AE⊥AF，则 CO:OA= ．

18. 如图，平面上七个点 A，B，C，D，E，F，G，图中所有的连线长均相等，则 cs∠BAF= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2cs230∘+ct45∘tan30∘+1−sin60∘．

20. 用配方法把二次函数 y=−2x2+6x+4 化为 y=ax+m2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

21. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，D 是边 AC 的中点，CE⊥BD 交 AB 于点 E．
（1）求 tan∠ACE 的值；
（2）求 AE:EB．

22. 如图，坡 AB 的坡比为 1:2.4，坡长 AB=130 米，坡 AB 的高为 BT．在坡 AB 的正面有一栋建筑物 CH，点 H，A，T 在同一条地平线 MN 上．（精确到米，3≈1.73，2≈1.41）
（1）试问坡 AB 的高 BT 为多少米?
（2）若某人在坡 AB 的坡脚 A 处和中点 D 处，观测到建筑物顶部 C 处的仰角分别为 60∘ 和 30∘，试求建筑物的高度 CH．

23. 如图，BD 是 △ABC 的角平分线，点 E 位于边 BC 上，已知 BD 是 BA 与 BE 的比例中项．
（1）求证：∠CDE=12∠ABC；
（2）求证：AD⋅CD=AB⋅CE．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+8 过点 −2,0．
（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）现将此抛物线沿 y 轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为 D，与 y 轴的交点为 B，与 x 轴负半轴交于点 A，过 B 作 x 轴的平行线交所得抛物线于点 C，若 AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．

25. 如图，线段 AB=5，AD=4，∠A=90∘，DP∥AB，点 C 为射线 DP 上一点，BE 平分 ∠ABC 交线段 AD 于点 E（不与端点 A，D 重合）．
（1）当 ∠ABC 为锐角，且 tan∠ABC=2 时，求四边形 ABCD 的面积；
（2）当 △ABE 与 △BCE 相似时，求线段 CD 的长；
（3）设 CD=x，DE=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. B
4. C
5. B
6. B【解析】如图，
若 △AMN 和 △ABC 相似，则 △AMN∽△ACB，
∴∠AMN=∠C=40∘，
∴ 旋转角为 80∘−40∘=40∘．
第二部分
7. 72
8. 32
9. −3e
10. 80
11. 255
12. 8
13. y=−x−12+1（答案不唯一）
14. 大
15. y=4.8x−0.48x2
【解析】作 AH 为 BC 边上的高，AH 交 DG 于点 P，
∵AC=6，AB=8，BC=10，
∴ 三角形 ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的高 =6×810=4.8，
∵ 矩形 DEFG 的边 EF 在 △ABC 的边 BC 上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG，
∴APAH=DGBC，
∴AP4.8=DG10，
∴AP=4.810DG，
∴PH=4.8−4.810x，
∴y=x4.8−4.810x=4.8x−0.48x2．
16. 3
【解析】设平移后直角边交斜边 AB 于 M，N，延长 CG 交 AB 于 H．
∵G 是重心，
∴HG:HC=1:3，
∵GN∥AC，AC=9，
∴GN:AC=HG:HC，
∴GN=3，同法可得 MG=2，
∴S△MGN=12×2×3=3．
17. 1130
【解析】设 CE=1，则由题意得 BE=2，BC=AD=3，AB=4，
∵AE⊥AF，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF，
∴∠BAE=∠DAF．
∵∠B=∠ADF=90∘，
∴△ABE∽△ADF，
∴DFBE=ADAB，即 DF2=34，
解得 DF=1.5，
设 AD 与 EF 交于点 P，如图，
∵AD∥BC，
∴△FDP∽△FCE，
∴DPCE=DFCF，即 DP1=1.55.5，
∴DP=311，AP=3011．
∵AD∥BC，
∴△COE∽△AOP，
∴COOA=ECAP=1130．
18. 56
【解析】如图，连接 AC，AD，
∵ 图中所有的连线长都相等，
∴ 四边形 ABCG，四边形 AFDE 都是菱形，且二者全等，
∴ 菱形 AFDE 由菱形 ABCG 旋转得到，
∴∠BAF=∠CAD，
设 CD=1，则 AC=AD=2CGsin30∘=3，
∴ 在 △ACD 中，设 CD 边上的高为 h1，AD 边上的高为 h2，
∴h1=3−14=112，h2=1×1123=336，
∴cs∠BAF=cs∠CAD=32−33623=56．
第三部分
19. 原式=2×34+3−32−32=3−3.
20. 原式=−2x2−3x−2=−2x−322−174=−2x−322+172,
开口方向向下；对称轴：直线 x=32；顶点坐标 32,172．
21. （1） ∠ACE=90∘−∠BCE=∠CBD，
tan∠ACE=tan∠CBD=CDBC=23．
（2） 如图，过点 B 作 BF∥AC 交 CE 延长线于点 F，
则 △ACE∽△BFE．
∵∠BFE=∠ACE，
∴tan∠ACE=tan∠BFE=BCBF 即 2BF=23，BF=92，
∴AEEB=ACBF=89，
∴AE:EB=8:9．
22. （1） 在 △ABT 中，∠ATB=90∘，BT:AT=1:2.4，AB=130 米，
令 TB=h，则 AT=2.4h，有 h2+2.4h2=1302，
解得 h=50（舍负），
答：坡 AB 的高 BT 为 50 米．
（2） 作 DK⊥MN 于 K，作 DL⊥CH 于 L，
在 △ADK 中，AD=12AB=65，KD=12BT=25，得 AK=60，
在 △DCL 中，∠CDL=30∘，
令 CL=x，得 LD=3x，
易知四边形 DLHK 是矩形，则 LH=DK，LD=HK，
在 △ACH 中，∠CAH=60∘，CH=x+25，得 AH=x+253，
所以 3x=60+x+253，解得 x=303+12.5≈64.4，
则 CH=64.4+25=89.4≈89，
答：建筑物高度为 89 米．
23. （1） ∵BD 是 BA 和 BE 的比例中项，
∴BD2=BA⋅BE，
∴BDBA=BEBD，
∵∠ABD=∠DBE，
∴△BAD∽△BDE，
∴∠A=∠BDE，
∵∠A+∠ABD=∠BDE+∠CDE，
∴∠ABD=∠CDE，
∴∠CDE=12∠ABC．
（2） ∵∠C=∠C，∠CDE=12∠ABC=∠DBC，
∴△CDE∽△CBD，
∴CECD=DEBD，
由（1）得 △BAD∽△BDE，
∴DEBD=ADAB，
∴CECD=ADAB，
∴AD⋅CD=AB⋅CE．
24. （1） 由题意可知，−b2a=1,2a−b+4=0, 所以 a=−1,b=2.
经检验 a=−1,b=2 是原方程组的解．
故抛物线的表达式为 y=−x2+2x+8⇒y=−x−12+9，顶点坐标为 1,9．
（2） 由题意，设平移后的抛物线解析式为 y=−x−12+k，
则 B0,k−1，D1,k，C2,k−1，A1−k,0．
由 BD∥AC 得 kBD=kAC，
因为 kBD=k−k−11=1=k−11+k=kAC，
所以 k=4．
所以故抛物线的表达式为 y=−x−12+4．
25. （1） 过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，如图 1，
因为 tan∠ABC=2 时，CF=4，
所以 BF=2，
所以 CD=AF=5−2=3，
所以 S四边形ABCD=12×3+5×4=16．
（2） ∠CBE=∠ABE<90∘，
①△ABE∽△EBC，此时 ∠CEB=∠EAB=90∘，延长 CE，BA 交于点 G，如图 2，
所以 CE=GE，
在 △AEG 和 △DEC 中，
∠GAE=∠D=90∘,∠AEG=∠DEC,EG=CE,
所以 △AEG≌△DEC，
所以 DC=GA，DE=AE=2，
因为 ∠DCE+∠CED=∠CED+∠AEB，
所以 ∠DCE=∠AEB，
因为 ∠D=∠EAB，
所以 △DCE∽△AEB，
所以 DCAE=DEAB，即 DC2=25，
所以 CD=45．
②△ABE∽△CBE，如图 3，
此时 ∠EAB=∠ECB=90∘，
在 △ABE 和 △CBE 中，
∠ABE=∠CBE=90∘,∠A=∠ECB,BE=BE,
所以 △ABE≌△CBE，
所以 AB=BC=5，CF=4，BF=3，
所以 CD=AF=2．
（3） 过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，如图 4，
同理得 △ABE≌△HBE，
所以 CD=x，DE=y，EH=AE=4−y，CH=∣BC−BH∣=∣5−x2+42−5∣=∣x2−10x+41−5∣，
因为 CE2=CD2+DE2=CH2+EH2，
所以 x2+y2=x2−10x+41−52+4−y2，
整理得：y=41−5x−5x2−10x+4140