2018年哈尔滨市道里区中考一模数学试卷

这是一份2018年哈尔滨市道里区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 π，227，−33，25，3.14，0.3 中，无理数的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

2. 下列运算正确的是
A. m6÷m2=m3B. x+12=x2+1
C. 3m23=9m6D. 2a3⋅a4=2a7

3. 下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130000000 kg 的煤所产生的能量，把 130000000 kg 用科学记数法可表示为
A. 13×107 kgB. 0.13×108 kgC. 1.3×107 kgD. 1.3×108 kg

5. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是
A. B.
C. D.

6. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，连接 OA，OB，∠ABO=40∘，则 ∠C 的度数是
A. 100∘B. 80∘C. 50∘D. 40∘

7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=13，AC=5，则 csB 的值为
A. 513B. 125C. 512D. 1213

8. 在反比例函数 y=3−kx 的图象的每一个象限内，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是
A. k>3B. k>0C. k≥3D. k<3

9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，CD 边上的点，连接 BE，AF，它们相交于点 G，延长 BE 交 CD 的延长线于点 H，下列结论错误的是
A. AGGF=EGBGB. EHEB=DHCDC. AEED=BEEHD. AGFG=BGGH

10. 甲、乙两名同学进行登山比赛，甲同学和乙同学沿相同的路线同时在早 8:00 从山脚出发前往山顶，甲同学到达山顶后休息 1 小时，沿原路以每小时 6 千米的速度下山，在这一过程中，各自行进的路程随所用时间变化的图象如图所示，根据提供信息得出以下四个结论：
①甲同学从山脚到达山顶的路程为 12 千米；
②乙同学登山共用 4 小时；
③甲同学在 14:00 返回山脚；
④甲同学返回与乙同学相遇时，乙同学距登到山顶还有 1.4 千米的路程．
以上四个结论正确的有 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 因式分解：a3−4a= ．

12. 函数 y=2x−4 中，自变量 x 取值范围是 ．

13. 计算 54−623 的结果是 ．

14. 不等式组 x+4>3,x≤1 的解集是 ．

15. 把抛物线 y=−x2 向上平移 2 个单位，那么所得抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离是 ．

16. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度，已知在离地面 900 米高度 C 处的飞机上，测量人员测得正前方 A，B 两点处的俯角分别为 60∘ 和 45∘，则隧道 AB 的长为 米（结果保留根号）．

17. 第一个盒子中有 2 个白球和 1 个黄球，第二个盒子中有 3 个白球和 2 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒子中随机抽取一个球，取出的两个球都是黄球的概率是 ．

18. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=4，以点 C 为中心，把 △ABC 逆时针旋转 45∘，得到 △AʹBʹC，则图中阴影部分的面积为 ．

19. 矩形 ABCD 中，AB=7，BC=10，点 E 在 BC 的垂直平分线上，∠BEC=90∘，则 DE= ．

20. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=120∘，∠BDA=60∘，DB=5，DC=7，则 DA= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求代数式 x−yx2−2xy+y2−xx2−2xy÷yx−2y 的值，其中 x=sin60∘，y=tan30∘．

22. 如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸中，线段 AB 的端点 A，B 均在小正方形的顶点上．
（1）将 BA 向右平移 3 个单位长度得到线段 CD，在方格纸中补全四边形 ABCD；
（2）在（1）中的四边形 ABCD 内确定点 E，连接 EC，DC，使 △CDE 是等腰三角形，连接 AE，直接写出 AE 的长．

23. “校园安全”受到全社会的广泛关注，“高远”中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的尚不完整的条形统计图，且知在抽样调查中“了解很少”的同学占抽样调查人数的 50%，请你根据提供的信息解答下列问题．
（1）接受问卷调查的学生共有多少名?
（2）请补全条形统计图；
（3）若“高远”中学共有 1800 名学生，请你估计该校学生对校园知识“基本了解”的有多少名?

24. 在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 CB，CD 延长线上的点，DF=BE，连接 AE，AF．
（1）如图 1，求证：AE=AF；
（2）如图 2，连接 EF 分别交 AB，AD 于 M，N 两点，直接写出图中所有等腰直角三角形．

25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用 320 元购进的A种纪念品与用 400 元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵 10 元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少?
（2）若该商店A种纪念品每件售价 45 元，B种纪念品每件售价 60 元，这两种纪念品共购进 200 件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于 1600 元，求A种纪念品最多购进多少件．

26. 如图，以 △ABC 的 AB 边为直径作 ⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 ⊙O 切线交 AC 于点 E，AB=AC．
（1）如图 1，求证：DE⊥AC；
（2）如图 2，设 CA 的延长线交 ⊙O 于点 F，点 G 在 BD 上，AD=DG，连接 BG，求证：AF=BG；
（3）在（2）的条件下，如图 3，点 M 为 BG 中点，MD 的延长线交 CE 于点 N，连接 DF 交 AB 于点 H，若 AH:BH=3:8，AN=7，求 DE 长．

27. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=38x2+bx+c 交 x 轴负半轴于点 A，交 x 轴正半轴于点 B，交 y 轴负半轴于点 C，OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 在抛物线 y=38x2+bx+c 在第一象限的部分上，连接 BC，DC，过点 D 作 x 轴的垂线，点 E 为垂足，∠CDE 的正切值等于 ∠OCB 的正切值的一半，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，横坐标为 t 的点 P 在抛物线 y=38x2+bx+c 在第四象限的部分上，PB 的延长线交 DE 于点 F，连接 BD，OF 交于点 G，连接 EG，若 GB 平分 ∠OGE，求 t 值．
答案
第一部分
1. B【解析】在 π，227，−33，25，3.14，0.3 中，无理数有 π，−33 这 2 个．
2. D【解析】A、 原式=m4，不符合题意；
B、 原式=x2+2x+1，不符合题意；
C、 原式=27m6，不符合题意；
D、 原式=2a7，符合题意．
3. D
4. D【解析】本题考查科学记数法—表示较大的数．
130000000 kg=1.3×108 kg．
5. A
【解析】如图所示：
6. C【解析】∵OA=OB，∠ABO=40∘，
∴∠AOB=100∘，
∴∠C=12∠AOB=50∘．
7. D【解析】在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，AB=13，AC=5，
∴BC=AB2−AC2=132−52=12，
则 csB=BCAB=1213．
8. D【解析】∵ 在反比例函数 y=3−kx 的图象的每一个象限内，y 都随 x 的增大而减小，
∴3−k>0，即 k<3．
9. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴AGGF=BGGH，A错误、D正确，A符合题意；
∴EHEB=DHCD，B正确，不符合题意；
∴AEED=BEEH，C正确，不符合题意．
10. A
【解析】① ∵s 的最大值为 12，
∴ 甲同学从山脚到达山顶的路程为 12 千米，结论①正确；
②乙同学登山的速度为 6÷3=2（千米/时），
乙同学登山所用时间为 12÷2=6（小时），
∴ 乙同学登山共用 6 小时，结论②错误；
③甲同学登山的速度为 6÷2=3（千米/时），
甲同学登山所用时间为 12÷3=4（小时），
甲同学下山所用时间为 12÷6=2（小时），
∴ 甲同学返回山脚的时间为 8+4+1+2=15（小时），结论③错误；
④设二者相遇的时间为 x 小时，
根据题意得：6x−4−1+2x=12，
解得：x=5.25，
∴ 二人相遇时，乙同学距山顶的距离为 12−2×5.25=1.5（千米），
∴ 结论④错误．
综上所述：正确的结论有①．
第二部分
11. aa+2a−2
【解析】a3−4a=aa2−4=aa+2a−2．
12. x≠4
【解析】根据题意，得 x−4≠0，解得 x≠4．
13. 6
【解析】原式=36−26=6．
14. −1【解析】x+4>3, ⋯⋯①x≤1, ⋯⋯②
解 ① 得 x>−1，
所以不等式组的解集为 −115. 22
【解析】所得抛物线为 y=−x2+2，当 y=0 时，−x2+2=0，解得 x1=2，x2=−2，
∴ 两个交点之间的距离是 −2−2=22．
16. 900−3003
【解析】由题意得 ∠CAO=60∘，∠CBO=45∘，
∵OA=900×tan30∘=900×33=3003m，OB=OC=900 米，
∴AB=900−3003m．
即隧道 AB 的长约为 900−3003m．
17. 215
【解析】画树状图如下图所示：
由树状图知共有 15 种等可能结果，其中取出的两个球都是黄球的情况有 2 种，
所以取出的两个球都是黄球的概率是 215．
18. 2π
【解析】∵ 在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=4，
∴BC=AB2+AC2=42，
∵ 把 △ABC 逆时针旋转 45∘，得到 △AʹBʹC，
∴∠ACB=∠AʹCBʹ=45∘，AʹC=AC=4，AʹBʹ=AB=4，∠CAʹBʹ=∠CAB=90∘，
∴ 阴影部分的面积 =45π×422360−12×4×4+12×4×4−45π×42360=2π．
19. 13 或 29
【解析】如图，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵ 点 E 在边 BC 的垂直平分线上，
∴∠CGE=90∘，BG=CG=12BC=5，AH=HD=5，
易知，四边形 ABGH 是矩形，
∴HG=AB=7，
∵∠BEC=90∘，
∴GE=BG，∠GEB=45∘，
∴EG=5，
∴ ①当点 E 在 BC 上方时，EH=GH−EG=2，
在 Rt△DEH 中，根据勾股定理得，DE=DH2+EH2=29，
②当点 E 在 BC 下方时，EʹH=HG+EʹG=12，
在 Rt△EʹHD 中，根据勾股定理得，DEʹ=13．
20. 22
【解析】将 △DAB 逆时针旋转 120∘，得到 △EAC，连接 DE，作 AH⊥DE 于 H，
则 CE=BD=5，∠AEC=∠ADB=60∘，∠DAE=120∘，AD=AE，
所以 ∠ADE=∠AED=30∘，H 为 DE 中点，
所以 ∠DEC=90∘，
所以 DE=DC2−CE2=26，
所以 DH=6，
在 Rt△DAH 中，AD=DHcs∠ADH=22．
第三部分
21. x−yx2−2xy+y2−xx2−2xy÷yx−2y=1x−y−xxx−2y⋅x−2yy=x−2y−x−yx−yx−2y⋅x−2yy=−yyx−y=−1x−y,
因为 x=sin60∘=32，y=tan30∘=33，
所以
原式=−132−33=−136=−23.
22. （1） 如图所示：
（2） 如图所示：△CDE 即为所求，AE=13．
【解析】AE=22+32=13．
23. （1） 接受问卷调查的学生共有 30÷50%=60（名）．
（2） “不了解”的人数为 60−15+5+30=10（名），补全条形图如图所示：
（3） 1800×1560=450（名）．
答：估计该校学生对校园知识“基本了解”的有 450 名．
24. （1） 因为四边形 ABCD 为正方形，
所以 AB=CD，∠ABC=∠ADC，
在 △AEB 和 △AFD 中，
AB=AD,∠ABE=∠ADF,BE=DF,
△AEB≌△AFD，
所以 AE=AF．
（2） 图中等腰直角三角形有：△EBM，△AMN，△FND，△ECF．
25. （1） 设A种纪念品每件的进价为 x 元，则B种纪念品每件的进价为 x+10 元．
根据题意得：
320x=400x+10.
解得：
x=40.
经检验，x=40 是原分式方程的解，并且满足题意．
∴x+10=50．
答：A种纪念品每件的进价为 40 元，B种纪念品每件的进价为 50 元．
（2） 设购进A种纪念品 a 件，则购进B种纪念品 200−a 件，
根据题意得：
45−40a+60−50200−a≥1600.
解得：
a≤80.
答：A种纪念品最多购进 80 件．
26. （1） 连接 OD，如图 1，
∵DE 为 ⊙O 的切线，
∴∠ODE=90∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又 ∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠DEC=∠ODE=90∘，
∴DE⊥AC．
（2） 如图 2，连接 BF，AG，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠AFB=∠BGA=90∘，
∵AD=DG，
∴∠ABD=∠DBG，
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=∠DBG，
∴CF∥BG，
∴∠FBG+∠BFA=180∘，
∴∠FBG=90∘，
∵∠FBG=∠AFB=∠BGA=90∘，
∴ 四边形 AFBG 为矩形，
∴AF=BG．
（3） 如图 3，连接 AD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠BDA=90∘，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵CF∥BG，
∴∠NCD=∠MBD，
在 △BDM 和 △CDN 中，
∠MBD=∠NCD,BD=DC,∠BDM=∠CDN,
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，
过点 C 作 CP∥DH 交 BA 的延长线于点 P，
∴BHHP=BDDC，
∴BH=HP，
∵AH:BH=3:8，
∴AH:AP=3:5，
∵FH∥CP，
∴FAAC=AHAP=35，
∵AB=AC，
∴FAAB=35，
设 AB=5k，则 AC=5k，FA=BG=3k，连接 FB，
∵∠BFA=90∘，
∴BF=AB2−AF2=4k，
∵M 为 BG 中点，
∴BM=12BG=32k，
∴CN=32k，
∴AN=AC−CN=5k−32k=72k=7，则 k=2，
∵∠DEC=∠BFC=90∘，
∴DE∥BF，
∴FEEC=BDDC，
∴EF=EC，
∴DE=12BF=2k，
∴DE=4．
27. （1） ∵ OA=2，OC=3，
∴ A−2,0，C0,−3，
把 A−2,0，C0,−3 代入 y=38x2+bx+c 得 38×−22−2b+c=0,c=−3. 解得 b=−34,c=−3.
∴ 抛物线解析式为 y=38x2−34x−3．
（2） 作 CH⊥DE 于 H，如图 1，
设 Dx,38x2−34x−3，
当 y=0 时，38x2−34x−3=0，解得 x1=−2，x2=4，则 B4,0，
在 Rt△OBC 中，tan∠OCB=OBOC=43，
∵ ∠CDE 的正切值等于 ∠OCB 的正切值的一半，
∴ tan∠CDE=23，
在 Rt△DCH 中，tan∠CDH=CHDH=23，
∴ 3x=238x2−34x−3+3，解得 x3=6，x4=0，则 D6,6．
（3） 如图 2，
设直线 BD 的解析式为 y=px+q，
把 D6,6，B4,0 代入得 6p+q=6,4p+q=0. 解得 p=3,q=−12.
∴ 直线 BD 的解析式为 y=3x−12，
设 Gm,3m−12，
∵ GB 平分 ∠OGE，
∴ GO:GE=OB:BE，
即 GO:GE=4:2，
∴ GO=2GE，
∴ m2+3m−122=4m−62+3m−122，
整理得 5m2−44m+96=0，解得 m1=4，m2=245，
∴ G245,125，
设直线 OF 的解析式为：y=k1x，把 G245,125 代入得：k1=12，
∴ 直线 OF 的解析式为 y=12x，
当 x=6 时，y=12x=3，则 F6,3，
设直线 BF 的解析式为 y=kx+n，
把 B4,0，F6,3 代入得 4k+n=0,6k+n=3. 解得 k=32,n=−6.
∴ 直线 BF 的解析式为 y=32x−6，
解方程组 y=32x−6,y=38x2−34x−3 得 x5=2,y5=−3 或 x6=4,y6=0.
∴ P2,−3，
即 t 的值为 2．