2021年上海市崇明区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市崇明区中考一模数学试卷（期末），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知线段 a，b，c，d 的长度满足等式 ab=cd，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是
A. ab=cdB. ac=dbC. bc=daD. bd=ca

2. 已知点 G 是 △ABC 的重心，如果连接 AG，并延长 AG 交边 BC 于点 D，那么下列说法中错误的是
A. BD=CDB. AG=GDC. AG=2GDD. BC=2BD

3. 已知 a 和 b 都是单位向量，那么下列结论中正确的
A. a=bB. a+b=2C. a−b=0D. ∣a∣+∣b∣=2

4. 在 △ABC 中，∠C=90∘，如果 AC=8，BC=6，那么 ∠A 的正弦值为
A. 35B. 45C. 34D. 43

5. 抛物线 y=ax−k2+k 的顶点总在
A. 第一象限；B. 第二象限；
C. 直线 y=x 上；D. 直线 y=−x 上．

6. 如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的 2 倍，那么这个正多边形的边数是
A. 3B. 4C. 5D. 无法确定

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 xy=53，那么 x−yy= ．

8. 已知线段 AB=6 cm，点 C 是 AB 的黄金分割点，且 AC>BC，那么线段 AC 的长为 cm．

9. 如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为 1:4，那么这两个三角形的面积比为 ．

10. 计算：2a−2b+32a+b= ．

11. 如果一段斜坡的水平宽度为 12 米，坡度 i=1:3，那么这段斜坡的铅垂高度为 米．

12. 已知锐角 △ABC 中，AB=5，BC=7，sinB=45，那么 ∠C= 度．

13. 函数 y=2x2+4x−5 的图象与 y 轴的交点的坐标为 ．

14. 如果将抛物线 y=x−12 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ．

15. 如图，在直角坐标系中，以点 P 为圆心的弧与 x 轴交于 A 、 B 两点，已知点 P 的坐标为 1,y，点 A 的坐标为 −1,0，那么点 B 的坐标为 ．

16. 如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为 5 厘米，并且它们内切时的圆心距为 1 厘米，那么其中较大圆的半径为 厘米．

17. 我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”．例如：图 1 中的四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，则 AC2=AB⋅AD，所以四边形 ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB，AD 是对应的闪亮边．如图 2，已知闪亮四边形 ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD，CD 是对应的闪亮边，且 ∠ABC=90∘，∠D=60∘，AB=4，BC=2，那么线段 AD 的长为 ．

18. 在 △ABC 中，AB=42，∠B=45∘，∠C=60∘．点 D 为线段 AB 的中点，点 E 在边 AC 上，连接 DE，沿直线 DE 将 △ADE 折叠得到 △AʹDE．连接 AAʹ，当 AʹE⊥AC 时，则线段 AAʹ 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：tan60∘+2cs30∘+ct45∘2sin30∘−sin245∘．

20. 如图，已知 △ABC 中，DE∥BC，AD=2，DB=4，AC=8．
（1）求线段 AE 的长；
（2）设 BA=a，BC=b．
①请直接写出向量 AE 关于 a，b 的分解式，AE= ；
②联结 BE，在图中作出向量 BE 分别在 a，b 方向上的分向量．

21. 如图，已知 ⊙O 的半径为 2，在 ⊙O 中，OA，OB 都是圆的半径，且 OA⊥OB．点 C 在线段 AB 的延长线上，且 OC=AB．
（1）求线段 BC 的长；
（2）求 ∠BOC 的正弦值．

22. 为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点 P 处的值守人员报告：在 P 处南偏东 30∘ 方向上，距离 P 处 14 海里的 Q 处有一可疑船只滞留．海监船以每小时 28 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得监测点 P 在其北偏东 60∘ 方向上，继续航行半小时到达了 B 处，此时测得监测点 P 在其北偏东 30∘ 方向上．
（1）B，P 两处间的距离为 海里；如果联结图中的 B，Q 两点，那么 △BPQ 是 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 【填“能”或“不能”】到达 Q 处；
（2）如果监测点 P 处周围 12 海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全?

23. 已知：如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，且 ∠AED=∠ABC，联结 BE，CD 相交于点 F．
（1）求证：∠ABE=∠ACD；
（2）如果 ED=EC，求证：DF2BD2=EFEB．

24. 如图，已知对称轴为直线 x=−1 的抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为 1,0．
（1）求点 B 的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为 P，对称轴与线段 BC 的交点为 Q，将线段 PQ 绕点 Q，按顺时针方向旋转 120∘，请判断旋转后点 P 的对应点 Pʹ 是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在 x 轴上是否存在点 M，使 △MOC 与 △BCP 相似?若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点 M 的坐标【不必书写求解过程】．

25. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8．点 D 为斜边 AB 的中点，ED⊥AB，交边 BC 于点 E．点 P 为射线 AC 上的动点，点 Q 为边 BC 上的动点，且运动过程中始终保持 PD⊥QD．
（1）求证：△ADP∽△EDQ；
（2）设 AP=x，BQ=y．求 y 关于 x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接 PQ，交线段 ED 于点 F．当 △PDF 为等腰三角形时，求线段 AP 的长．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. D
4. A
5. C
6. B
第二部分
7. 23
8. 35−3
9. 1:16
10. 8a−b
11. 4
12. 45
13. 0,−5
14. y=x+12+1
15. 3,0
16. 3
17. 25
18. 26
第三部分
19. 原式=3+2×32+12×12−222=3+3+1−12=23+12.
20. （1） ∵DE∥BC，
∴AEAC=ADAB
∵AD=2，DB=4，AC=8，
∴AE8=22+4
∴AE=83．
（2） ① 13b−13a
②图形正确．
21. （1） 过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H．
∵OA⊥OB，OA=OB=2，
∴AB=2．
∵OH⊥AB，OH 过圆心 O，
∴BH=12OB=1，
∴OH=1，
∴CH=3，
∴BC=3−1．
（2） 过点 B 作 BD⊥OC，垂足为 D，
∵Rt△OHC 中，OH=12OC，
∴∠C=30∘．
∴BD=12BC=3−12，
∴sin∠BOC=BDOB=3−122，
∴sin∠BOC=6−24．
22. （1） 14；等边；能
（2） 过 P 作 PH 垂直于直线 AB，垂足为 H，
根据题意得：∠BPH=30∘，BP=14，
∴PH=14×32=73，
∵73=147，12=144，
∴73>12，
所以，海监船继续向正东方向航行是安全的．
23. （1） ∵ ∠AED=∠ABC，∠A=∠A，
∴ △AED∽∠ABC，
∴ AEAB=ADAC，
∴ AEAD=ABAC，
又 ∵ ∠A=∠A，
∴ △ABE∽△ACD，
∴ ∠ABE=∠ACD．
（2） ∵ ED=EC，
∴ ∠EDC=∠ECD，
又 ∵ ∠ABE=∠ACD，
∴ ∠EDF=∠DBE，
又 ∵ ∠DEF=∠BED，
∴ △DEF∽△BED，
∴ DFBD=EFDE:DFBD=DEBE，
∴ DF2BD2=EFEB．
24. （1） ∵ 对称轴为直线 x=−1，A 的坐标为 1,0，
∴ 点 B 的坐标为 −3,0，
把 1,0，−3,0 代入 y=ax2+bx+3，
得：0=a+b+3,0=9a−3b+3, 解方程组得：a=−1b=−2
∴ 抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3．
（2） ∵y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴ 点 P 的坐标为 −1,4，
记对称轴与 x 轴的交点为 H，
则 QH=23OC=2，
∴PQ=2，
过 Pʹ 作 PʹG⊥PQ，垂足为 G，
则易求得 PʹG=3，
∴ 点 Pʹ 的坐标为 3−1,1，
把 x=3−1 代入 y=−x2−2x+3，得：y=1，
∴ 点 Pʹ 还在抛物线上．
（3） 点 M 的坐标为 −1,0 或 1,0 或 −9,0 或 9,0．
25. （1） 证明：∵ED⊥AB，PD⊥QD，
∴∠ADP=∠EDD=90∘−∠PDE，
∵∠ACB=90∘，ED⊥AB，
∴∠A=∠DEQ=90∘−∠B，
∴△ADP∽△EDQ．
（2） ∵∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB=10，tanB=34，
∵ 点 D 为 AB 的中点，
∴AD=DB=5，
∴DE=154，BE=254，
∵△ADP∽△EDQ，
∴EQAP=DEAD，即 254x=1545，
∴y=−34x+254．
定义域：0≤x≤253．
（3） ∵ED⊥AB，PD⊥QD，
∴∠PDE=∠QDB=90∘−∠EDQ，
∵tan∠QPD=DQPD=DEAD=34，
∴∠QPD=∠B，
∴△ADP∽△EDQ，
①当 PD=PF 时，BD=BQ，
∴y=5，即 −34x+254=5，
∴x=53．
②当 FP=FD 时，QD=QB，
∴BQ=12BE，
∴y=258，即 −34x+254=258，
∴x=256．
③当 DP=DF 时，DQ=DB=DC，即点 Q 在点 C 处，
∴ 点 P 不在射线 AC 上，舍去．
综上所述，AP 的长为 53 或 256．