2021年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知线段 AB=2，P 是线段 AB 的黄金分割点，AP>PB，那么线段 AP 的长度等于
A. 5−12B. 5−1C. 5+1D. 3−5

2. 如图，已知 BD 与 CE 相交于点 A，DE∥BC，如果 AD=2，AB=3，AC=6，那么 AE 等于
A. 125B. 185C. 4D. 9

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，那么 csA 等于
A. BCABB. ACABC. BCACD. ACBC

4. 抛物线 y=−x−22−3 的顶点坐标是
A. 2,−3B. −2,−3C. 2,3D. −2,3

5. 已知 a+b=c，a−b=2c，且 c≠0，下列说法中，不正确的是
A. ∣a∣=3∣b∣；B. a∥b；
C. a+3b=0；D. a 与 b 方向相同．

6. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，DE∥BC，DF∥AC，连接 BE，BE 与 DF 相交于点 G，则下列结论一定正确的是
A. ADDB=DEBCB. AEAC=BFBCC. BDAD=BFDED. DGGF=BFFC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 ab=34，那么 b−ab+a= ．

8. 计算：4a−3a−2b= ．

9. 如果两个相似三角形的周长比为 2:3，那么它们的对应角平分线的比为 ．

10. 将抛物线 y=−x2 向上平移 2 个单位，所得抛物线的表达式是 ．

11. 抛物线 y=2x2−3 在 y 轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）

12. 二次函数 y=x2+2x+m 图象上的最低点的横坐标为 ．

13. 在 △ABC 中，∠C=90∘，如果 ct∠A=2，BC=3，那么 AC = ．

14. 小明在楼上点 A 处看到楼下点 B 处的小丽的俯角是 32∘，那么点 B 处的小丽看点 A 处的小明的仰角是 度．

15. 直角三角形的重心到斜边中点的距离为 2，那么该直角三角形的斜边长为 ．

16. 如图，A 、 B 、 C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么 ∠BAC 的正弦值为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，直线 DF 交边 AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 E，如果 CF:CA=a:b，那么 BE:AE 的值为 ．（用含 a，b 的式子表示）

18. 如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形 ABCD 中，点 Q 在边 AD 上，如果 △QAB 、 △QBC 和 △QDC 都相似，那么点 Q 就是四边形 ABCD 的“强相似点”；如图②，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=2，BC=8，∠B=60∘，如果点 Q 是边 AD 上的“强相似点”，那么 AQ= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：ct30∘−1−2sin60∘+cs60∘0+1tan30∘．

20. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD=2，DB=4，AE=3，EC=6，DE=3.2．
（1）求 BC 的长；
（2）连接 DC，如果 DE=a，BA=b，试用 a 、 b 表示向量 CD．

21. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点 E，F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=EF=FD，AE 的延长线交 BC 于点 G，GF 的延长线交 AD 于点 H．
（1）求 HD 的长；
（2）设 △BGE 的面积为 a，求四边形 AEFH 的面积．（用含 a 的代数式表示）

22. 某条道路上通行车辆限速为 40 千米/时，在离道路 50 米的点 P 处建一个监测点，道路的 AB 段为监测区（如图）．在 △ABP 中，已知 ∠PAC=26.5∘，∠PBC=68.2∘．一辆车通过 AB 段的时间为 9 秒，请判断该车是否超速，并说明理由．
（参考数据：sin26.5∘≈0.45，cs26.5∘≈0.89，tan26.5∘≈0.50，sin68.2∘≈0.93，cs68.2∘≈0.37，tan68.2∘≈2.50）

23. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，AC，BD 相交于点 E，AE⋅CE=DE⋅BE．
（1）求证：△ABE∽△ACB．
（2）如果 DA2=DE⋅DB，求证：AB⋅EC=BC⋅AE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx−4 与 x 轴交于点 A−4,0 和点 B2,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的表达式及点 C 的坐标；
（2）如果点 D 的坐标为 −8,0，连接 AC，DC，求 ∠ACD 的正切值；
（3）在（2）的条件下，点 P 为抛物线上一点，当 ∠OCD=∠CAP 时，求点 P 的坐标．

25. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=2，BC=23，点 D 为边 AC 的中点（如图），点 P，Q 分别是射线 BC，BA 上的动点，且 BQ=32BP，连接 PQ，QD，DP．
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）如果点 P 在线段 BC 上，当 △PQD 是直角三角形时，求 BP 的长；
（3）将 △PQD 沿直线 QP 翻折，点 D 的对应点为点 Dʹ，如果点 Dʹ 位于 △ABC 内，请直接写出 BP 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. B
4. A
5. D
6. C
第二部分
7. 17
8. a+6b
9. 2:3
10. y=−x2+2
11. 下降
12. −1
13. 6；
14. 32
15. 12；
16. 22；
17. ab−a
18. 3−5 或 3+5
第三部分
19. 原式=3−1−2×32+120+133=3−1−3+1+3=3.
20. （1） ∵AD=2，DB=4，AE=3，EC=6，
∴ADDB=12，AEEC=12．
∴ADDB=AEEC.
∴DE∥BC．
∴ADAB=DEBC．
又 ∵AB=6，DE=3.2，
∴26=3.2BC．
∴BC=9.6．
（2） ∵DE∥BC，
∴ADAB=DEBC．
∴DEBC=13．
∴BC=3DE．
∵DE=a，
∴BC=3a．
∴CB=−3a．
∵BDBA=23，
∴BD=23BA．
∵BA=b，BD=23b．
∵CD=CB+BD，
∴CD=−3a+23b．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴ADBG=DEBE，DHBG=DFFB．
∵BE=EF=FD，AD=BC=8，
∴8BG=21，
∴BG=4，
∴DH4=12，
∴DH=2．
（2） ∵AD∥BC，
∴△BEG∽△DEA，△HFD∽△GFB，
∴S△BEGS△DEA=BEED2，S△HFDS△GFB=DFFB2．
∵S△BEG=a，BE=EF，
∴S△BGF=2a．
∴aS△DEA=14，
S△HFD2a=14．
∴S△DEA=4a，S△HFD=12a，
∵S四边形AEFH=S△DEA−S△HFD，
∴S四边形AEFH=4a−12a=72a．
22. 该车不超速．
过点 P 作 PH⊥AC，垂足为点 H．
由题意，得 PH=50 米．
在 Rt△AHP 中，
∵tan∠PAC=PHAH，
∴AH=50tan26.5∘≈100．
在 Rt△BHP 中，
∵tan∠PBH=PHBH，
∴BH=50tan68.2∘≈20．
∵AB=AH−BH，
∴AB=100−20=80（米）．
∵ 这辆车通过 AB 段的时间为 9 秒，
∴ 这辆车通过 AB 段的速度为 809 米/秒．
∵809 米/秒 =32 千米/时 <40 千米/时，
∴ 该车不超速．
23. （1） ∵AE⋅CE=DE⋅BE，
∴AEBE=DEEC．
又 ∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC．
∴∠ADE=∠BCE．
∵AB=AD，
∴∠ABE=∠ADE．
∴∠ABE=∠BCE．
又 ∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB．
（2） ∵DA2=DE⋅DB，
∴DEDA=DADB．
又 ∵∠EDA=∠ADB，
∴△EDA∽△ADB．
∴∠DAE=∠DBA．
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠DAE=∠BCE．
∴AD∥BC．
∴ADBC=AEEC．
∴AD⋅EC=BC⋅AE．
∵AB=AD，
∴AB⋅EC=BC⋅AE．
24. （1） 将 A−4,0，B2,0 代入 y=ax2+bx−4，
得 16a−4b−4=0,4a+2b−4=0, 解得：a=12,b=1.
∴y=12x2+x−4．
当 x=0 时，y=−4．
∴ 点 C 的坐标为 0,−4．
（2） 过点 A 作 AH⊥DC，垂足为点 H．
∵D−8,0，C0,−4，
∴CD=82+42=45．
∵S△ADC=12CD⋅AH=12DA⋅OC，
∴45⋅AH=4×4．
∴AH=455．
∵AC=42+42=42，
∴CH=AC2−AH2=1255．
∴tan∠ACD=AHHC=455×5125=13．
（3） 由题意可知，点 P 在第一象限．过点 P 作 PQ⊥x 轴，垂足为点 Q．
∵A−4,0，C0,−4，
∴OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OCD=∠OCA+∠ACD，∠CAP=∠CAO+∠BAP，∠OCD=∠CAP，
∴∠ACD=∠BAP．
∴tan∠BAP=tan∠ACD=13．
设 PQ=a，则 AQ=3a，OQ=3a−4．
∴P3a−4,a．
将 P3a−4,a 代入 y=12x2+x−4，
得 123a−42+3a−4−4=a．
解得 a1=209，a2=0（舍）．
∴P83,209．
25. （1） ∵∠C=90∘，AC=2，BC=23，
∴AB=AC2+BC2=4．
∴BCAB=32．
∵BQ=32BP，
∴BQBP=32．
∴BQBP=BCAB．
又 ∵∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA．
∴∠BQP=∠BCA，
∵∠C=90∘，
∴∠BQP=90∘．
即 PQ⊥AB．
（2） （i）当 ∠PQD=90∘ 时，
∵∠PQD<∠PQA=90∘，
∴ 此种情况不存在．
（ii）当 ∠QPD=90∘ 时，
∵∠PQB=∠QPD=90∘，
∴AB∥PD，
∴CPBP=CDDA．
∵CD=DA，
∴BP=CP．
∵BC=23，
∴BP=3．
（iii）当 ∠QDP=90∘ 时，
过点 Q 作 QH⊥AC，垂足为点 H．
设 BP=2x，则 BQ=3x，PC=23−2x，QA=4−3x．
∴AH=2−32x，QH=23−32x，HD=32x−1．
∵∠QDC=∠CDP+90∘，∠QDC=∠DQH+90∘，
∴∠CDP=∠DQH．
∴tan∠CDP=tan∠DQH．
∴CPDC=HDQH．
∴3x−22×243−3x=23−2x．
解得 x1=153−5112，x2=153+5112（舍）．
∴BP=153−516．
综上所述，当 △PQD 是直角三角形时，线段 BP 的长为 3 或 153−516．
（3） 533