2021年上海市闵行区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市闵行区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中，是二次函数的是
A. y=−2x2−3xB. y=−x−12+x2
C. y=11x2+29xD. y=ax2+bx+c

2. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=β，AB=5，那么 AC 的长为
A. 5csβB. 5sinβC. 5csβD. 5sinβ

3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 图象经过点 O0,0，那么根据图象，下列判断中正确的是
A. a<0；B. b>0；C. ab>0；D. c=0．

4. 以下说法错误的是
A. 如果 ka=0，那么 a=0；
B. 如果 a=−2b，那么 ∣a∣=2∣b∣；
C. 如果 a=23b（b 为非零向量），那么 a∥b；
D. 如果 a0 是与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a=∣a∣a0．

5. 已知 ⊙A 与 ⊙B 的半径分别是 6 和 8，圆心距 AB=2，那么 ⊙A 与 ⊙B 的位置关系是
A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含

6. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为 154 cm，她上半身的长度为 62 cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳?
A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 2a=3bb≠0，那么 ab= ．

8. 化简：13−3a+b+23b= ．

9. 抛物线 y=−x2−3x 在对称轴的右侧部分是 的（填“上升”或“下降”）．

10. 将抛物线 y=x2+2x 向下平移 1 个单位，那么所得抛物线与 y 轴的交点的坐标为 ．

11. 已知两个相似三角形的相似比为 4:9，那么这两个三角形的周长之比为 ．

12. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DE∥BC，如果 DEBC=25，那么 AEEC= ．

13. 在直角坐标平面内有一点 A12,5，点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴的夹角为 θ，那么 csθ= ．

14. 如果港口 A 的南偏东 52∘ 方向有一座小岛B，那么从小岛 B 观察港口 A 的方向是 ．

15. 正六边形的边心距与半径的比值为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，AB=2AC，点 D 在边 AB 上，且 ∠ACD=∠B，那么 S△ACDS△ABC= ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，点 P 在边 AC 上，⊙P 的半径为 1．如果 ⊙P 与边 BC 和 边 AB 都没有公共点，那么线段 PC 长的取值范围是 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=3，tanB=12．将 △ABC 绕着点 A 顺时针旋转后，点 B 恰好落在射线 CA 上的点 D 处，点 C 落在点 E 处，射线 DE 与边 AB 相交于点 F，那么 BF= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2cs60∘−ct30∘+4sin245∘tan60∘−1．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．E 为 OC 的中点，联结 BE 并延长，交边 CD 于点 F．设 BA=a，BC=b．（注：本题结果用含向量 a，b 的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
（1）填空：向量 AE= ；
（2）填空：向量 BF= ，并在图中画出向量 BF 在向量 BA 和 BC 方向上的分向量．

21. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB 长为 4，AB=AC，连接 CO 并延长，交边 AB 于点 D，交 AB 于点 E，且 E 为 AB 的中点．
（1）边 BC 的长．
（2）⊙O 的半径．

22. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点 P 处，离地面的铅垂高度 PQ 为 9 米．区间测速的起点为下引桥坡面点 A 处，此时电子眼的俯角为 30∘；区间测速的终点为下引桥坡脚点 B 处，此时电子眼的俯角为 60∘（A，B，P，Q 四点在同 一平面）．
（1）求路段 BQ 的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度 i=1:23 时，求电子眼区间测速路段 AB 的长（结果保留根号）．

23. 如图，点 E 为 △ABC 边 BC 上一点，过点 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D，交 EA 的延长线于点 F，且 AF⋅CD=BC⋅AD．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果 BE=CE，求证：BC2=2BD⋅AC．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，如果抛物线 y=ax2+bx+c 上存在一点 A，使点 A 关于坐标原点 O 的对称点 Aʹ 也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点 A 叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点 M 在抛物线 y=−x2+2x+4 上，且点 M 的横坐标为 2，试判断抛物线 y=−x2+2x+4 是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）己知点 C 为回归抛物线 y=x2−2x+c 的顶点，如果点 C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．连接 CO 并延长，交该抛物线于点 E．点 F 是射线 CD 上一点，如果 ∠CFE=∠DEC，求点 F 的坐标．

25. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，点 E 在边 AB 上（点 E 与端点 A，B 不重合），连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，连接 EF，与对角线 AC，边 CD 分别交于点 G，H．设 AE=x，DH=y．
（1）求证：△ADE∽△CDF，并求 ∠EFD 的正切值.
（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出该函数的定义域.
（3）连接 BG．当 △BGE 与 △DEH 相似时，求 x 的值.
答案
第一部分
1. C
2. B
3. D
4. A
5. B
6. C
第二部分
7. 32（或 3:2）
8. −a+b
9. 下降
10. 0,−1
11. 4:9（或 49）
12. 23（或 2:3）
13. 1213
14. 北偏西 52∘
15. 32
16. 14（或 1:4）
17. 118. 3−5．
第三部分
19. 原式=2×12−3+4×2223−1=1−3+3+1=2
20. （1） −34a+34b．
（2） 13a+b
21. （1） ∵CE 过圆心 O，E 为 AB 的中点，
∴CE 垂直平分弦 AB．
∴AC=BC．
∵AB=AC，
∴AB=AC．
∴BC=AB．
∵AB=4，
∴BC=4．
（2） 连接 AO．
∵AB=AC，AC=BC，
∴AB=AC=BC．
∴△ABC 是等边三角形．
∴∠ACB=∠BAC=60∘．
又 ∵CD⊥AB，
∴AD=BD=2，∠ACD=12∠ACB=30∘．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30∘．
又 ∵∠OAC+∠OAD=∠BAC=60∘，
∴∠OAD=30∘．
在 Rt△ADO 中，∠ADO=90∘，得 cs∠OAD=ADAO．
∴AO=ADcs∠OAD=2cs30∘=433．
22. （1） 过点 P 作 PM∥BQ．
根据题意可知：∠PQB=90∘，∠MPA=30∘，∠MPB=60∘．
∵PM∥BQ，
∴∠MPB=∠PBQ．
∵∠MPB=60∘，
∴∠PBQ=60∘
在 Rt△PQB 中，∠PQB=90∘，
得 ct∠PBQ=BQPQ．
∵PQ=9，
∴BQ=PQ⋅ct∠PBQ=9⋅ct60∘=33．
∴ 路段 BQ 的长为 33 米．
（2） 过点 A 作 AH∥BQ 交 PQ 于 H，过点 A 作 AG⊥BQ 交 QB 延长线于点 G．
设 AG=x，则 BG=23x．
根据题意可得：∠PHA=90∘，HQ=AG=x，
PH=9–x，AH=GQ=33+23x．
∵AH∥BQ，PM∥BQ，
∴PM∥AH．
∴∠PAH=∠MPA，
∴∠PAH=30∘．
在 Rt△PHA 中，∠PHA=90∘，
得 ct∠PAH=AHPH，
AH=PH⋅ct∠PAH．
∴33+23x=ct30∘⋅9−x，
得 33+23x=39−x．
解得 x=2．
∴AG=2，BG=43．
∵AG⊥BQ，
∴∠AGB=90∘．
在 Rt△ABG 中，∠AGB=90∘，AG=2，BG=43，
利用勾股定理，得 AB=AG2+BG2=22+432=213．
∴ 电子眼区间测速路段 AB 的长为 213 米．
23. （1） ∵AF⋅CD=BC⋅AD，
∴AFBC=ADCD．
∵CD⊥BA，
∴∠ADF=∠ADC=90∘．
在 Rt△ADF 与 Rt△CDB 中，AFBC=ADCD．
∴Rt△ADF∽Rt△CDB．
∴∠F=∠B．
又 ∵∠ADF+∠F+∠FAD=180∘，∠AEB+∠B+∠BAE=180∘，
且 ∠FAD=∠BAE，
∴∠AEB=∠ADF=90∘．
∴AE⊥BC．
（2） ∵AE⊥BC，BE=CE，即 AE 是 BC 的垂直平分线．
∴AB=AC．
∴∠B=∠ACB．
又 ∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90∘，
又 ∵∠ADC=90∘，
∴∠AEC=∠ADC，
∴△AEC∽△CDB．
∴CEBD=ACBC．
∴BC⋅CE=BD⋅AC．
∵BE=CE，
∴CE=12BC．
∴BC⋅12BC=BD⋅AC．
即 BC2=2BD⋅AC．
24. （1） 抛物线 y=−x2+2x+4 是回归抛物线．
理由如下，当 x=2 时，将其代入 y=−x2+2x+4 中，得
y=−22+2×2+4=4．
∴M2,4．
∴ 点 M 关于坐标原点 O 的对称点 Mʹ 的坐标为 −2,−4．
当 x=−2 时，将其代入 y=−x2+2x+4 中，得 y=−4．
∴Mʹ−2,−4 在抛物线 y=−x2+2x+4 上．
∴ 抛物线 y=−x2+2x+4 是回归抛物线．
（2） 由 y=x2−2x+c，得 y=x−12+c−1．
∴ 顶点 C 的坐标为 1,c−1．
∴ 点 C 关于坐标原点 O 的对称点 Cʹ 的坐标为 −1,1−c．
又 ∵ 顶点 C 为抛物线 y=x2−2x+c 的回归点，
∴ 点 Cʹ 在抛物线 y=x2−2x+c 上，即 1−c=−12+2+c．
∴c=−1．
∴ 这条抛物线的表达式为 y=x2−2x−1．
（3） 由（2）中顶点 C 为抛物线 y=x2−2x+c 的回归点，
可知点 E 与点 C 重合，即点 E 的坐标为 −1,2．
∵∠CFE=∠DEC，∠ECD=∠FCE，
∴△CDE∽△CEF．
∴CDCE=CECF．
又 ∵CD=2，CE=25，225=25CF，
∴CF=10．
∴ 点 F 的坐标为 1,8．
25. （1） 在矩形 ABCD 中，∠BAD=∠ADC=∠BCD=90∘，AB=CD．
又因为 ∠BCD+∠DCF=180∘，
所以 ∠DCF=90∘，
所以 ∠DCF=∠BAD．
因为 DF⊥DE，
所以 ∠EDF=90∘，
所以 ∠EDF=∠ADC=90∘，
所以 ∠EDF−∠EDH=∠ADC−∠EDH．
所以 ∠ADE=∠CDF．
所以 △ADE∽△CDF．
所以 ADCD=DEDF．
又因为 AD=1，CD=AB=2，
所以 DEDF=12．
在 Rt△DEF 中，∠EDF=90∘，所以 tan∠EFD=DEDF=12．
（2） 因为 △ADE∽△CDF，
所以 AECF=ADCD=12．
因为 AE=x，
所以 CF=2x．
在矩形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC．
由 AB∥CD，得 CHBE=CFBF．
又因为 BF=2x+1，CH=2−y，BE=2−x，
所以 2−y2−x=2x2x+1．
所以 y 关于 x 的函数解析式为 y=2x2+22x+1．
其定义域为 0 （3） 延长 BG，交射线 CD 于点 P．
由 AB∥CD，得 ∠BEG=∠DHE．
所以当 △EDH∽△BEG 时，可以有以下两种情况：
①当 ∠DEH=∠BGE 时，ED∥BG，
又因为 AB∥CD，
所以四边形 BEDP 是平行四边形．
所以 EB=DP=2−x，
所以 PC=x．
因为 DH=y，
所以 HC=2−y=2−2x2+22x+1=2x2−x2x+1．
因为 AB∥CD，
所以 HCAE=HGGE，HGGE=PGGB，PGGB=PCAB．
所以 HCAE=PCAB．
即 2x2−x2x+1x=x20所以 x=−5+894．
②当 ∠DEH=∠GBE 时，
因为 EB∥DH，
所以 ∠DEH=∠GBE=∠BPC．
所以 tan∠BPC=BCPC=2．
所以 HCAE=PCAB=14．
即 2x2−x2x+1x=140所以 x=32．
综上所述，x=−5+894 或 x=32．