2020-2021学年北京市西城区北京四中八下期中数学练习题

这是一份2020-2021学年北京市西城区北京四中八下期中数学练习题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 要使 有意义，则 的取值范围为
A. B. C. D.

2. 平行四边形的一边长为 ，周长为 ，则这条边的邻边长是
A. B. C. D.

3. 下列各式中正确的是
A. B.
C. D.

4. 如图，在菱形 中，，，则对角线 等于
A. B. C. D.

5. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，

6. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是
A. 一组对边平行且相等B. 两组对边分别平行
C. 一组对边平行，另一组对边相等D. 对角线互相平分

7. 我们把形如 （， 为有理数， 为最简二次根式）的数叫做 型无理数，如 是 型无理数，则 是
A. 型无理数B. 型无理数C. 型无理数D. 型无理数

8. 如图，点 为矩形 的对角线交点，点 从点 出发沿 向点 运动，移动到点 停止，延长 交 于点 ，则四边形 形状的变化依次为
A. 平行四边形 正方形 平行四边形 矩形
B. 平行四边形 菱形 平行四边形 矩形
C. 平行四边形 正方形 菱形 矩形
D. 平行四边形 菱形 正方形 矩形

9. 如图，点 在正方形 的边 上，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ，与 交于点 ．若 ，，则 的长为
A. B. C. D.

10. 如图 ，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 ，图 是点 运动时，线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中 是曲线部分的最低点，则 的面积是
A. B. C. D.

二、填空题
11. 比较大小： ．（填“”“”，或“”）

12. 直角三角形两直角边长分别是 和 ，则斜边上的中线长为 ．

13. 如果 ，请写出一个满足条件的 的值 ．

14. 如图所示，点 ， 分别是 的边 ， 的中点，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为 ．

15. 阅读下面材料
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：已知：，．
求作：矩形 ．
小敏的作法如下：
①以 为圆心， 长为半径作弧，以 为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点 ．
②连接 ，．
四边形 为所求矩形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．

16. 你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 即 为例加以说明．数学家赵爽（公元 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，据此易得 ．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 的正确构图是 ．（只填序号）

17. 如图，已知边长为 的等边三角形 中，分别以点 ， 为圆心， 为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ．若 的长为 ，则 的值为 ．

18. 如图，点 ，， 为平面内不在同一直线上的三点．点 为平面内一个动点．线段 ，，， 的中点分别为 ，，，．在点 的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形 是平行四边形；
②存在无数个中点四边形 是菱形；
③存在无数个中点四边形 是矩形；
④存在两个中点四边形 是正方形．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题
19. 计算．
（1）．
（2）．

20. 解下列一元二次方程．
（1）．
（2）（用配方法解方程）．

21. 如图，四边形 为平行四边形，， 是直线 上两点，且 ，连接 ，．求证：．

22. 阅读下面的例题．
解方程：．
解：（）当 时，原方程化为 ，
解得：，（不合题意，舍）．
（）当 时，原方程化为 ，
解得： ．
综上，原方程的根是 ．
请参照例题解方程 ，则此方程的根是 ．

23. 小明遇到这样一个问题：如图，在四边形 中，，，，，，求四边形 的面积．
经过思考小明想到如下方法：
以 为边作正方形 ，将四边形 绕着正方形 的中心逆时针旋转 ，，，而分别得到四边形 ，，，则四边形 是 ．（填一种特殊的平行四边形）
．
解决问题：如图，四边形 ，，，，，，则四边形 的面积为 ．

24. 如图，在 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为 ，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，画一个格点三角形 ，使得 ，，．
（2）在（）的条件下，直接写出 边上的高．
（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

25. 如图，菱形 的边长为 ，，点 是边 上任意一点（端点除外），线段 的垂直平分线交 ， 分别于点 ，，， 的中点分别为 ，．
（1）求证：．
（2）填空．
① ．
② 的最小值为 ．

26. 如图，正方形 中，点 在 上，点 在 的延长线上，， 平分 交 于点 ．
（1）求证：．
（2）请写出线段 和 的数量关系并证明．
（3）作 于点 ，请直接写出线段 ， 与 的数量关系．

27. 对于平面直角坐标系 中的图形 ，，给出如下定义： 为图形 上任意一 点， 为图形 上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 ， 间的“闭距离”，记作 ，已知点 ，，．
（1）①求 ．
②若点 在 轴正半轴上，，求点 的坐标．
（2）记函数 （，）的图象为图形 ，若 ，直接写出 的取值范围．
（3）以点 为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到 点距离为 的正方形为 单位正方形，若点 在 轴上且 ，请直接写出 的取值范围．

28. 如图，将等边三角形的三条边分别 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注等分点的序号 ，，，，，，，，，将不同边上的序号和为 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 的坐标可表示为 ，点 的坐标可表示为 ．
（1）按此方法，则点 的坐标可表示为 ，点 的坐标可表示为 ．
（2）若 点的坐标为 ，则 ．
（3）在图中以 ，，， 为顶点构成平行四边形，则 点的坐标为 ．

29. 在菱形 中，，点 是线段 延长线上一点，点 是 的平分线上一点，连接 ，取 的中点 ，连接 ．
（1）依照题意补全图形．
（2）求证：．
（3）若点 是线段 延长线上任意一点，连接 ，点 为 中点，连接 ，用等式表达 ，， 的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. C【解析】由题意，得 ，解得 ．
2. D【解析】 平行四边形周长为 ，
一边长与另一边长和为 ，
另一边长 ．
3. A
4. A【解析】，，，
，
为等边三角形，
．
5. C
6. C
7. B【解析】
是 型无理数．
8. B【解析】当点 从点 出发沿 向点 运动时，四边形 的形状依次如下图所示．因此本题选B．
9. B【解析】如图所示，连接 ，
由旋转可得，，
，，
又 ，
为 的中点，
垂直平分 ，
，
设 ，则 ，，
，
，
中，，即 ，
解得 ，
的长为 ．
10. D
【解析】由图 知，，
当 时， 的值最小，
即 中， 边上的高为 （即此时 ），
当 时，
，，
的面积 ．
第二部分
11.
【解析】，，且 ，
．
12.
【解析】由勾股定理得，斜边长为：，
则斜边上的中线长为：．
13.
【解析】如果 ，
根据二次根式下的数的非负性可知，
，，，
由 可得：， 或 ，，即 或 ，
由 ， 得：，
得取值范围为：，
则写一个满足条件得 的值为：．
故答案为：．（答案不唯一， 的值 即可．）
14.
【解析】， 分别是 的边 ， 的中点，
为 的中位线，
，，
，
四边形 为平行四边形，
，
．
15. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
16. ②
【解析】 即 ，
构造如图②中大正方形的面积是 ，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，
据此易得 ．
17. 或
【解析】由作图知，点 在 的垂直平分线上，
是等边三角形，
点 在 的垂直平分线上，
垂直平分 ，
设垂足为 ，
，
，
当点 ， 在 的两侧时，如图，
，
，
，
；
当点 ， 在 的同侧时，如图，
，
，
，
，
综上所述， 的值为 或 ．
18. ①②③④
【解析】平面内任意取一点 ，与点 ，点 ，点 构成四边形 ，
，，， 分别是 ，，， 的中点，
，，，，
，，，，
，，，，
四边形 是平行四边形，
存在无数个中点四边形 是平行四边形，故①正确；
当 时，即以 为圆心， 为半径画圆，
在圆弧上取一点 ，则有 ，
四边形 是菱形，
存在无数个中点四边形 是菱形，故②正确；
当 时，，，即 ，
四边形 是矩形，
存在无数个中点四边形是矩形，故③正确；
当且仅当 时， 时，
中点四边形 才是正方形，这样的点 只有 个，
故存在两个中点四边形 是正方形，故④正确．
正确的是①②③④．
第三部分
19. （1）
（2）
20. （1）
（2）
21. 证法一：
四边形 为平行四边形
，，
，
，
，
，
，
【解析】证法二：
连接 交 于点 ，连接 ，，
四边形 为平行四边形
，

即 ，
四边形 是平行四边形
．
22. ，（不合题意，舍）；，；，
23. 正方形；；
【解析】 四边形 是以正方形 的中心为旋转中心分别旋转 ，， 而得到的四边形 ，，，
边 也是分别旋转 ，， 而得到的 ，，，
故：，
，则四边形 是正方形，
．
解决问题：
，，
由 可得，．
24. （1） 如图 即所求：
（2）
【解析】设 边上高为 ，

又 ，
，
即 边上的高为 ．
（3） 如图 即所求．（答案不唯一）
25. （1） 如图，连接 交 于点 ，连接 ．
垂直平分 ，
．
四边形 为菱形，
，，
垂直平分 ，
，
．
（2） ，
【解析】①如图，延长 ，交 于 ，
，，
．
垂直平分 ，
．
，
，，
，
．
，
．
②连接 ，交 于点 ，
和 分别是 和 的中点，点 为 中点，
，，即 ，
当点 与菱形 对角线交点 重合时， 最小，即此时 最小．
四边形 是菱形，
，
又 ，
为等边三角形，，
即 的最小值为 ．
26. （1） 正方形 中，，，
，，
又 ，
，
，
在 和 中，

，
．
（2） ．
，
是等腰直角三角形，
，
，，
又 平分 ，
，
，
，
．
（3） ．
【解析】如图，过点 作 ，交 于 ，
平分 ，，，
，
在正方形 中，，
， 是等腰直角三角形，
即 ，，
由（）可知 是等腰直角三角形，
即 ，
，
，
，
即 ，
．
27. （1） ①点 到 上任意一点距离为 ，
由图可知，．
② 在 轴正半轴，由点到直线垂线段最短可知，
在 时，最小距离为 ，
故 在 与 轴交点右侧，过 作 ，
，则 ，故 ，
，
故 ．
（2） 且
【解析】如图，（）的图象过原点，在 内，
当 过 时，此时 ，即 ，
当 过点 时，，此时 ，
，
，
故 且 ．
（3） ，，或
【解析】正方形位置分三种情况，
当 在 左侧时，，；
当 在三角形内部时，，
此时 ；
当 在 右侧时，，
此时 ，
综上， 或 时，
．
28. （1） ；
（2）
（3） ，，
29. （1） 如图所示．
（2） 如图所示，连接 ，
四边形 是菱形，
平分 ．
．
同理 ．
．
在 中， 为 中点，
．
．
，
，
．
（3） ．
如图 所示，连接 ，取 中点为点 ，连接 ，．延长 交 于点 ．
不妨设 ，，，
， 分别为 ， 的中点，
，且 ．
同理 ，且 ．
．
如图 所示，过点 作 交 延长线于点 ，
在 中，，，
，．
．
在 中，，
，
即 ．
化简得：．
即 ．