2020-2021学年北京市海淀区人大附中八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区人大附中八下期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知直线 m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线 m 与 n 之间的距离
A. 只有 ABB. 只有 AE
C. AB 和 CD 均可D. AE 和 CF 均可

2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 ∠BAD，交 CD 边于 E，AD=3，AB=5，则 EC 的长为
A. 1B. 2C. 3D. 5

3. 下列各式中，运算正确的是
A. 2+3=23B. 8−3=5C. 3⋅2=6D. 27÷3=9

4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是
A. 1，1，2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 1，3，2

5. 将直线 y=−2x 向下平移 3 个单位得到的直线的表达式为
A. y=−2x+3B. y=−2x−3C. y=2x+3D. y=2x−3

6. 已知，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 3,0，点 B 的坐标为 0,4，点 C 是线段 AB 的中点，则线段 OC 的长为
A. 52B. 3C. 4D. 5

7. 如图，正方形 ABCD 的面积为 4，菱形 AECF 的面积为 2，则 EF 的长是
A. 1B. 2C. 2D. 22

8. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，这样做的道理是
A. 两组对边分别相等的四边形是矩形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形

9. 下列选项中，不能被边长为 2 的正方形及其内部所覆盖的图形是
A. 长度为 22 的线段B. 边长为 2 的等边三角形
C. 斜边为 2 的直角三角形D. 面积为 4 的菱形

10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油最多可行驶的公里数．下图描述了 A，B 两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面 4 个推断中，合理的是
A. 消耗 1 升汽油，A 车最多可行驶 5 千米
B. B 车以 40 千米/小时的速度行驶 1 小时，最少消耗 4 升汽油
C. 对于 A 车而言，行驶速度越快越省油
D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市驾驶 A 车比驾驶 B 车更省油

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 x−2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 已知 x+1+y−3=0，则 xy= ．

13. 函数 y=kxk≠0 的图象上有两点 P1−1,y1，P21,y2，若 y1
14. 如图，矩形 ABCD 中，DE 平分 ∠BDC，EF⊥BD 于点 F．若 ∠ABD=60∘，AB=3，则 EF 的长为 ．

15. 如图，函数 y1=2x+b 与函数 y2=kx−1 的图象交于点 P，关于 x 的不等式 kx−1>2x+b 的解集是 ．

16. 如图，△ABC 的顶点 A，B，C 都在边长为 1 的正方形网格的格点上，CD⊥AB 于点 D，则 AB 的长为 ，CD 的长为 ．

17. 小明使用图形计算器探究函数 y=axx−b2 的图象，他输入了一组 a，b 的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的 a 0，b 0．（填“>”，“=”或“<”）

18. 正方形 ABCD 的边长为 4，点 M，N 在对角线 AC 上（可与点 A，C 重合），MN=2，点 P，Q 在正方形的边上，下面四个结论中，
①存在无数个四边形 PMQN 是平行四边形；
②存在无数个四边形 PMQN 是矩形；
③存在无数个四边形 PMQN 是菱形；
④至少存在一个四边形 PMQN 是正方形．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：
（1）8+18−2．
（2）23+523−5．

20. 已知一次函数的图象经过点 −2,−2，1,4．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）在坐标系中画出该一次函数的图象，观察图象，直接写出当 x≥0 时，y 的取值范围．

21. 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：△ABC．
求作：BC 边上的中线 AD．
作法：如图．
（1）分别以点 B，C 为圆心，AC，AB 长为半径作弧，两弧相交于 P 点．
（2）作直线 AP，AP 与 BC 交于 D 点．所以线段 AD 就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：连接 PB，PC．
∵PC=AB， ，
∴ 四边形 ABPC 是平行四边形（ ）（填推理的依据），
∴DB=DC（ ）（填推理的依据），
∴AD 是 BC 边上的中线．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=2x 与直线 l2:y=−x+3 相交于点 A，直线 l2 与 x 轴交于点 B．
（1）求 △OAB 的面积．
（2）过动点 P0,n 作垂直于 y 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 Cx1,y1，Dx2,y2，当 x1−x2≥3 时，直接写出 n 的取值范围．

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 ED 并延长到点 F，使 DF=ED，连接 BE，BF，CF，AD．
（1）求证：四边形 BFCE 是菱形；
（2）若 BC=4，EF=2，求 AD 的长．

24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过 1 千克的，收费 12 元；超过 1 千克，超过的部分按单价每千克 2 元收费．乙公司表示：快递物品不超过 1 千克的，收费 10 元；超过 1 千克，超过的部分按单价每千克 4 元收费．
例如：小明要快递 1.4 千克的物品，选甲公司需付费 12.8 元，选乙公司需付费 11.6 元．设小明快递物品 x 千克．
（1）请分别直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用 y（元）与 x（千克）之间的函数关系式．
（2）如果只考虑价格，不考虑其它因素，小明选择哪家快递公司更省钱?

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A−3,1，B−1,1，Cm,3，以点 A，B，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为 D1，D2，D3，如图所示．
（1）若 m=−1，则点 D1，D2，D3 的坐标分别是 ， ， ．
（2）若 △D1D2D3 是以 D1D2 为底的等腰三角形．
①直接写出 m 的值．
②若直线 y=12x+b 与 △D1D2D3 有公共点，求 b 的取值范围．
（3）若直线 y=x 与 △D1D2D3 有公共点，求 m 的取值范围．

26. 已知正方形 ABCD，点 E，F 分别在射线 BC，射线 CD 上，BE=CF，AE 与 BF 交于点 H．
（1）如图 1，当点 E，F 分别在线段 BC，CD 上时，求证：AE=BF，且 AE⊥BF．
（2）如图 2，当点 E 在线段 BC 延长线上时，将线段 BE 沿 BF 平移至 FG，连接 AG．
①依题意将图 2 补全．
②用等式表示线段 AG，FG 和 AD 之间的数量关系，并证明．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于图形 M，N 给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形 M 和 N 的“极大距离”，记为 dM,N．
已知：正方形 ABCD，其中 A−1,1，B−1,−1，C1,−1，D1,1．
（1）已知点 P0,t．
①若 t=3，则 d点P,正方形ABCD= ．
②若 d点P,正方形ABCD=3，则 t= ．
（2）已知点 Em,3，Fm+2,3，若 5（3）一次函数 y=kx+3 的图象与 x 轴交于点 G，与 y 轴交于点 H，求 d线段GH,正方形ABCD 的最小值，并直接写出此时 k 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】∵m∥n，
∴ 在同一平面内，垂直于 m 的线段，也垂直于 n，且该线段可表示 m，n 的最短距离．
故 AB，CD 可表示 m，n 的距离．
2. B【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=3，AB=CD=5，
AB∥CD，
∴∠BAE=∠AED．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
∴DE=AD=3，
∴EC=CD−DE=5−3=2．
3. C
4. D
5. B
【解析】直线 y=−2x 向下平移 3 个单位得到的直线解析式为 y=−2x−3．
6. A【解析】∵A 顶点坐标为 3,0，B 点坐标为 0,4，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=OA2+OB2=32+42=5，
∵C 为 AB 的中点，
∴ 在 Rt△AOB 中，OC=12AB=52．
7. B【解析】连接 AC，BD，
正方形 ABCD 中，AC=BD，
S正方形ABCD=12⋅AC⋅BD=4，
∴AC=8=22，
S菱形AECF=12⋅EF⋅AC=12⋅EF×22=2,
EF=22=2．
8. D【解析】先测量两组对边的长度是否分别相等，可判断该零件是否是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
若两组对边的长度相等，则再测量它们的两条对角线的长度是否相等，
若两条对角线的长度也相等，则该零件是矩形，即合格．（对角线相等的平行四边形是矩形）
9. D【解析】如图，
A：AC=22，可以；
B：边长为 2 的等边三角形，可以；
C：斜边为 2 的直角三角形，可以；
D：面积为 4 的菱形，不能．
10. B
第二部分
11. x≥2
【解析】由题意得：x−2≥0，
解得 x≥2．
12. −3
【解析】∵x+1+y−3=0，
∴x+1=0，y−3=0，
∴x=−1，y=3，
∴xy=−1×3=−3．
13. 1（答案不唯一，k>0 即可）
【解析】函数 y=kxk≠0 的图象上有两点 P1−1,y1，P21,y2，若 y1则 y 随 x 的增大而增大，即 k>0，
∴ 一个符合题意的 k 值为：1（答案不唯一，k>0 即可）．
14. 1
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C=90∘，DC=AB=3，DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=60∘，
∵DE 平分 ∠BDC 且 EF⊥BD 于 F，
∴EF=EC，∠EDC=12∠BDC=12×60∘=30∘，
∴ED=2EC，
在 Rt△DEC 中，DE2=EC2+DC2，
∴2EC2=EC2+32，
∴4EC2−EC2=3，
3EC2=3，
EC2=1，
∴EC=1，
∴EF=EC=1．
15. x<1
【解析】∵y1=2x+b 与 y2=kx−1 的图象交于点 P1,−2，
∴ 当 x=1 时，y1=y2=−2，
根据图象可知，
当 x<1 时，y2=kx−1 的图象在 y1=2x+b 上方，
∴ 当 x<1 时，kx−1>2x+b，
当 x>1 时，y2=kx−1 的图象在 y1=2x+b 下方，
∴ 当 x>1 时，kx−1<2x+b，
综上所述，kx−1>2x+b 的解集是 x<1．
16. 10，91010
【解析】AB=12+32=10，
∵CD⊥AB，
∴12×3×3=12×10⋅CD，
∴CD=91010．
17. >，>
【解析】根据图形发现函数图象在 x 轴的正半轴上是不连续的，
且在不连续处时函数的值很大．
通过函数关系式可以知道 x≠b，当 x=b 函数没有意义，
∴ 可知 b>0，
当 00，
∴ax>0，
∴a>0，
∴a>0，b>0．
18. ①③④
【解析】如图，作线段 MN 的垂直平分线交 AD 于 P，交 AB 于 Q，
∵PQ 垂直平分线段 MN，
∴PM=PN，QM=QN，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠PAN=∠QAN=45∘，
∴∠APQ=∠AQP=45∘，
∴AP=AQ，
∴AC 垂直平分线段 PQ，
∴MP=MQ，
∴ 四边形 PMQN 是菱形，
∴ 在 MN 运动过程中，这样的菱形有无数个，当点 M 与 A 重合或 N 与 C 重合时，四边形 PMQN 是正方形，
∴ ①③④正确．
第三部分
19. （1） 原式=22+32−2=42.
（2） 原式=12−5=7.
20. （1） 设一次函数的解析式为 y=kx+b，
将 −2,−2，1,4 代入得 −2=−2k+b,4=k+b,
解得 k=2,b=2,
∴y=2x+2．
（2） 令 x=0，得 y=2，
∴ 函数过 0,2，−2,−2，1,4，
描点画图，
当 x≥0 时，y≥2．
21. （1） 如图，AD 为所作．
（2） AC=BP；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分
【解析】连接 BP，CP，
∵AB=CP，AC=BP，
∴ 四边形 ABPC 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴BD=DC（平行四边形的对角线互相平分），
即线段 AD 是 BC 边上的中线．
22. （1） 联立 y=2x, ⋯⋯①y=−x+3. ⋯⋯②
由① − ②得：3x=3，x=1，
将 x=1 代入①中可得：y=2，
∴ 点 A 的坐标为 1,2，
令直线 y=−x+3 中的 y=0，则 x=3，
∴ 点 B 的坐标为 3,0，
∴S△OAB=12×3×2=3．
（2） n≥4 或 n≤0．
【解析】由题可得：y1=y2=n，
又 ∵y1=2x1=n，y2=−x2+3=n，
∴x1=n2，x2=3−n，
∴ 当 x1−x2≥3 时，n2−3+n≥3，
∴n2−3+n≥3 或 n2−3+n≤−3，
解得：n≥4 或 n≤0．
23. （1） ∵D，E 分别是边 BC，AC 的中点，
∴CD=BD，ED∥AB，
∵∠ABC=90∘，
∴∠EDC=90∘，
∵DF=ED，
∴ 线段 BC，EF 互相垂直平分．
∴ 四边形 BFCE 是菱形．
（2） ∵BC=4，EF=2，
∴BD=2，ED=1，
由（1）可知 AB=2ED=2，
∴ 在 Rt△ABD 中，由勾股定理可求 AD=22．
24. （1） 甲快递公司快递该物品的费用：y=1201；
乙快递公司快递该物品的费用：y=1001．
【解析】甲公司表示：快递物品不超过 1 千克的，收费 12 元；超过 1 千克，超过的部分按单价每千克 2 元收费．
乙公司表示：快递物品不超过 1 千克的，收费 10 元；超过 1 千克，超过的部分按单价每千克 4 元收费．
则甲快递公司快递该物品的费用：y=1201；
乙快递公司快递该物品的费用：y=1001．
（2） 当 0当 x>1 时，令 2x+10=4x+6，解得 x=2，
即 14x+6，选择乙快递公司更省钱；
x=2 时，甲，乙两家快递公司一样省钱；
x>2 时，选择甲快递公司更省钱；
故：
0 1 x=2 时，甲，乙两家快递公司一样省钱；
x>2 时，选择甲快递公司更省钱．
25. （1） D1−3,−3；D21,3；D3−3,−1
【解析】m=−1，C−1,3，
∴D1−3,−3，D21,3，D3−3,−1．
（2） ① m=−2．
②直线 y=12x+b，
令 x=0，则 y=b，D3ʹ−2,−1，D1ʹ−4,3，D2ʹ0,3，
将 D3ʹ−2,−1 代入 y=12x+b，可得 b=0，
将 D1ʹ−4,3 代入 y=12x+b，可得 b=1．
∴0≤b≤1．
【解析】①由图可知，D1D2=4，D1D3=4，
∴△D1D2D3 是以 D2D3 为底的等腰三角形．
（3） y=x 与 △D1D2D3 有公共点，
D2 落在 y=x 上，D3 在 y=x 上，
当 y=3 时，x=3，
∴m=1，
当 x=−3 时，y=−3，
∴m=−3，−3≤m≤1．
26. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90∘，
在 △ABE 和 △BCF 中，
AB=BC,∠ABE=∠BCF,BE=CF,
∴△ABE≌△BCFSAS，
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠AEB+∠BAE=90∘，
∴∠CBF+∠AEB=90∘，
∴∠AHB=∠CBF+∠AEB=90∘，
∴AE⊥BF．
（2） ①补全图形如下：
② AG2=2AD2+2FG2．
连接 EG，
根据平移性质可知，FG∥BE，FG=BE，
∴ 四边形 BEGF 是平行四边形，
∴EG=BF，EG∥BF，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABE=∠BCF=90∘，
在 △ABE 和 △BCF 中，
AB=BC,∠ABE=∠BCF,BE=CF,
∴△ABE≌△BCFSAS，
∴BF=AE，∠1=∠2，
∴AE=EG，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠3=90∘，
∴∠4=180∘−∠2+∠3=90∘，
∵BF∥EG，
∴∠AEG=∠4=90∘，
∴AG2=AE2+EG2=2AE2，
∵AE2=AB2+BE2，AB=AD，FG=BE，
∴AG2=2AD2+2FG2．
27. （1） ① 17
② 22−1 或 1−22
【解析】①观察知：点 P 到正方形上某一点的最大距离为 P 到 B 的距离，
由勾股定理：PB=42+12=17．
②当 t≥0 时，d点P,正方形ABCD=PB=12+t+12=3，
则 t=22−1；
当 t<0 时，d点P,正方形ABCD=PA=12+1−t2=3，
则 t=1−22．
综上，t=22−1 或 1−22．
（2） 当 m≥−1 时，d线段EF,正方形ABCD=FB，
∵Fm+2,3，B−1,−1，
∴FB=3−−12+m+2−−12=42+m+32，
5当 m<−1 时，d线段EF,正方形ABCD=EC，
∵Em,3，C1,−1，
∴EC=3−−12+1−m2=42+1−m2，
5综上，0 （3） 由题意知，G−3k,0，H0,3，
当 xG≤−3,k>0 时，即 −3k≤−3，
则 0 dGH,正方形ABCD=GC=1+3k2+12，
∴ 当 k=1 时，GCmin=17，
观察得，当 k>1 时，dGH,正方形ABCD=HC=17，
同理知，xG>3 时，dGH,正方形ABCDmin=17，
k≤−1 时，dGH,正方形ABCD=17．
综上，dmin=17，k≥1 或 k≤−1．