2020-2021学年北京市西城区第四中学八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区第四中学八下期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 要使 x+1 有意义，则 x 的取值范围为
A. x≤0B. x≥0C. x≥−1D. x≤−1

2. 平行四边形的一边长为 6 cm，周长为 28 cm，则这条边的邻边长是
A. 22 cmB. 16 cmC. 11 cmD. 8 cm

3. 下列各式中正确的是
A. 27=33B. −22=−2
C. −4=−2D. 16=±4

4. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，∠BCD=120∘ 则对角线 AC 等于
A. 5B. 10C. 15D. 20

5. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 8，15，17D. 11，12，13

6. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是
A. 一组对边平行且相等B. 两组对边分别平行
C. 一组对边平行，另一组对边相等D. 对角线互相平分

7. 我们把形如 ax+b（a，b 为有理数，x 为最简二次根式）的数叫做 x 型无理数，如 25+3 是 5 型无理数，则 2+62 是
A. 2 型无理数B. 3 型无理数C. 6 型无理数D. 12 型无理数

8. 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对角线交点，点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，移动到点 B 停止，延长 EO 交 CD 于点 F，则四边形 AECF 形状的变化依次为
A. 平行四边形 → 正方形 → 平行四边形 → 矩形
B. 平行四边形 → 菱形 → 平行四边形 → 矩形
C. 平行四边形 → 正方形 → 菱形 → 矩形
D. 平行四边形 → 菱形 → 正方形 → 矩形

9. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 到 △ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G．若 BG=3，CG=2，则 CE 的长为
A. 54B. 154C. 4D. 92

10. 如图 1，点 P 从 △ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点，则 △ABC 的面积是
A. 12B. 24C. 36D. 48

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 比较大小：32 4．（填“>”，“<”，或“=”）

12. 直角三角形两直角边长分别是 6 cm 和 8 cm，则斜边上的中线长为 cm．

13. 如果 xx−6=x⋅x−6，请写出一个满足条件的 x 的值 ．

14. 如图所示，点 D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点，连接 BE，过点 C 作 CF∥BE，交 DE 的延长线于点 F，若 EF=3，则 DE 的长为 ．

15. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
已知：已知：Rt△ABC，∠ABC=90∘．
求作：矩形 ABCD．
小敏的作法如下：
①以点 A 为圆心，BC 长为半径作弧，以点 C 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧相交于点 D；
②连接 DA，DC；
所以四边形 ABCD 为所求矩形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．

16. 如图，已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连接 BD．若 BD 的长为 23，则 m 的值为 ．

17. 你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 x2+5x−14=0 即 xx+5=14 为例加以说明．数学家赵爽（公元 3∼4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图左图）中大正方形的面积是 x+x+52，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14+52，据此易得 x=2．那么在如图右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 x2−4x−12=0 的正确构图是 ．（只填序号）

18. 如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点，点 D 为平面内一个动点，线段 AB，BC，CD，DA 的中点分别为 M，N，P，Q．在点 D 的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形；
②存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形；
③存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形；
④存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算．
（1）12−18+1−30+∣2−1∣；
（2）12÷2+7+57−5．

20. 解下列一元二次方程．
（1）x2−2x=0；
（2）（用配方法解方程）x2−8x+1=0．

21. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 是直线 BD 上两点，且 BE=DF，连接 AF，CE，求证：AF=CE．

22. 如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为 1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，画一个格点三角形 ABC，使得 AB=5，BC=25，CA=5．
（2）在（1）的条件下，直接写出 AC 边上的高．
（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

23. 阅读下面的例题．
解方程：x2−∣x∣−2=0．
解：（1）当 x≥0 时，原方程化为 x2−x−2=0，解得：x1=2，x2=−1（不合题意，舍）．
（2）当 x<0 时，原方程化为 x2+x−2=0，
解得： ．
综上，原方程的根是 ．
请参照例题解方程 x2−∣x−3∣−3=0，则此方程的根是 ．

24. 如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60∘，点 E 是边 AB 上任意一点（端点除外），线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N．
（1）求证：AF=EF；
（2）① ∠CEF= ；
② MN+NG 的最小值为 ．

25. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 的延长线上，DF⊥DE，EG 平分 ∠BEF 交 BD 于点 G．
（1）求证：DE=DF；
（2）请写出线段 DG 和 DF 的数量关系并证明；
（3）作 GH⊥EF 于点 H，请直接写出线段 AB，GH 与 EF 的数量关系．

26. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“闭距离”，记作 dM,N，已知点 A−2,6，B−2,−2，C6,−2．
（1）①求 d点O,△ABC；
②若点 P 在 x 轴正半轴上，d点P,△ABC=3，求点 P 的坐标．
（2）记函数 y=kx−1≤x≤1,k≠0 的图象为图形 G，若 d图G,△ABC=1，直接写出 k 的取值范围．
（3）以点 Px,y 为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到 P 点距离为 1 的正方形为 P−单位正方形，若点 Pt,0 在 x 轴上且 dP−单位正方形,△ABC=1，请直接写出 t 的取值范围．

27. 如图，将等边三角形的三条边分别 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注等分点的序号 0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为 1,2,5，点 B 的坐标可表示为 3,1,4．
（1）按此方法，则点 C 的坐标可表示为 ，点 D 的坐标可表示为 ．
（2）若 P 点的坐标为 3,m,m−1，则 m= ．
（3）在图中以 A，B，C，E 为顶点构成平行四边形，则 E 点的坐标为 ．

四、填空题（共1小题；共5分）
28. 小明遇到这样一个问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，∠B=40∘，∠C=50∘，AB=CD，AD=2，BC=4，求四边形 ABCD 的面积．
经过思考小明想到如下方法：
以 BC 为边作正方形 BCMN，将四边形 ABCD 绕着正方形 BCMN 的中心逆时针旋转 90∘，180∘，270∘，而分别得到四边形 FNBA，EMNF，DCME，则四边形 ADEF 是 （填一种特殊的平行四边形）．
∴S四边形ABCD= ．
解决问题：如图 3，四边形 ABCD，∠BAD=140∘，∠CDA=160∘，AB=CD，AD=6，BC=12，则四边形 ABCD 的面积为 ．

五、解答题（共1小题；共13分）
29. 在菱形 ABCD 中，∠ABC=60∘，点 K 是线段 AB 延长线上一点，点 E 是 ∠CBK 的平分线上一点，连接 DE，取 DE 的中点 F，连接 BF．
（1）依照题意补全图形．
（2）求证：∠FDA=∠FBA．
（3）若点 G 是线段 BE 延长线上任意一点，连接 CG，点 H 为 CG 中点，连接 FH，用等式表达 EG，DA，FH 的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. A
4. A
5. C
6. C
7. B
8. B
9. B
10. D
第二部分
11. >
12. 5
13. 7（答案不唯一，大于等于 6 的数均可）
14. 32
15. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
16. 2 或 27
17. ②
18. ①②③④
第三部分
19. （1） 原式=22−32+1+2−1=−322．
（2） 原式=6+7−5=6+2．
20. （1）
xx−2=0,x1=0,x2=2.
（2）
x2−8x+16=15,x−42=15,x1=4+15,x2=4−15.
21. 如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 FC，AE．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵DF=BE，
∴OF=OE．
又 ∵OA=OC，
∴ 四边形 FAEC 是平行四边形，
∴AF=CE．
22. （1） 如图所示．
（2） 2
（3） 答案不唯一，三条边长可以是 2，22，10；5，5，10；10，10，25．
23. x1=−2，x2=1（不合题意，舍）；x1=2，x2=−2；x1=−3，x2=2
24. （1） 如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 CF，
∵FG 垂直平分 CE，
∴CF=EF，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC．
∴BD 垂直平分 AC，
∴CF=AF，
∴AF=EF．
（2） 30∘；12
【解析】①如图，延长 EF，交 DC 于 H，
∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，
∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，
∵BD 垂直平分 AC，
∴∠AFD=∠CFD=12∠AFC，
∵AF=CF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，
∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FEA+∠CEF，
∴∠ABF=∠CEF，
∵∠ABC=60∘，
∴∠ABF=∠CEF=30∘．
②连接 AC，交 BD 于点 O，
∵M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点，点 G 为 CE 的中点，
∴MN=12AF，NG=12CF，即 MN+NG=12AF+CF，
∴ 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时，
AF+CF 最小，即此时 MN+NG 最小，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
又 ∵∠ABC=60∘，
∴△ABC 为等边三角形，AC=AB=1，
即 MN+NG 的最小值为 12．
25. （1） ∵ 正方形 ABCD 中，AD=DC，∠BAD=∠BCD=90∘，
∴∠CDE+∠EDA=90∘，∠FCD=∠EAD，
又 ∵DE⊥DF，
∴∠FDC+∠CDE=90∘，
∴∠FDC=∠EDA，
在 △FDC 和 △EDA 中，∠FDC=∠EDA,CD=AD,∠FCD=∠EAD,
∴△FDC≌△EDAASA，
∴DF=DE．
（2） ∵∠FDE=90∘，
∴△DFE 是等腰直角三角形，
∴∠DFE=∠DEF=45∘，
∴∠DEG=45∘+∠FEG，∠DGE=∠BEG+45∘，
又 ∵GE 平分 ∠BEF，
∴∠FEG=∠BEG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DE=DG．
∴DG=DF．
（3） AB−GH=12EF．
【解析】如图，过点 G 作 GM⊥AB，交 AB 于 M．
∵GE 平分 ∠BEF，GM⊥AB，GH⊥EF，
∴GM=GH，
∵ 在正方形 ABCD 中，∠ABG=45∘，
∴△MGB，△ABD 是等腰直角三角形，
即 GB=2GM=2GH，BD=2AB．
由（1）可知 △EDF 是等腰直角三角形，
即 EF=2ED．
∵ED=DG，
∴DG=22EF．
∵BD=BG+DG，
即 2AB=2GH+22EF．
∴AB−GH=12EF．
26. （1） ① 2；
② 6+5,0．
（2） −1≤k≤1 且 k≠0．
（3） t=−4，0≤t≤2−2，或 t=6+2．
27. （1） 3,2,3；5,3,0
（2） 3
（3） 5,1,2，1,1,6，1,3,4
第四部分
28. 正方形，3，93
第五部分
29. （1） 如图所示．
（2） 如图所示，连接 DB，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴BD 平分 ∠ABC．
∴∠DBC=12∠ABC=30∘．
同理 ∠CBE=12∠CBK=60∘．
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=90∘．
∵ 在 Rt△DBE 中，F 为 BE 中点，
∴BF=12DE=DF．
∴∠FDB=∠FBD．
∵DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠FDA=∠FBA．
（3） 如图 1 所示，连接 CE，取 CE 中点为点 M，连接 FM，HM．延长 HM 交 AB 于点 N．
不妨设 EG=a，DA=b，FH=c，
∵H，M 分别为 CG，CE 的中点，
∴HM∥GE，且 HM=12EG=12a．
同理 FM∥DC，且 FM=12DC=12DA=12b．
∴∠HMF=∠MNA=∠ABG=120∘．
如图 2 所示，过点 H 作 HP⊥FP 交 FM 延长线于点 P，
∵ 在 Rt△HMP 中，∠HMP=60∘，HM=12a，
∴MP=14a，HP=34a．
∴FP=12b+14a．
∵ 在 Rt△HMP 中，∠HPM=90∘，
∴HP2+MP2=HM2，
即 3a42+b2+a42=c2．
化简得：4c2=a2+b2+ab．
即 4FH2=EG2+DA2+EG⋅DA．