2020-2021学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学八下期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列二次根式中，能与 2 合并的是
A. 20B. 12C. 8D. 4

2. 平行四边形 ABCD 中，若 ∠A=2∠B，则 ∠C 的度数为
A. 120∘B. 60∘C. 30∘D. 15∘

3. 已知 x=2 是一元二次方程 x2+mx−8=0 的一个解，则 m 的值是
A. −2B. 2C. −4D. 2 或 −4

4. 下列说法不正确的是
A. 矩形的对角线相等
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 菱形的对角线互相垂直

5. 如图，数轴上点 M 所表示的数为 m，则 m 的值是
A. 5−2B. −5+1C. 5+1D. 5−1

6. 菱形 ABCD 的边长为 5，一条对角线长为 6，则菱形面积为
A. 20B. 24C. 30D. 48

7. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，M 是 AD 的中点，若 BC=8，OB=5，则 OM 的长为
A. 2B. 2.5C. 3D. 4

8. 已知三角形的两边长是 4 和 6，第三边的长是方程 x−32=4 的根，则此三角形的周长为
A. 17B. 11C. 15D. 11 或 15

9. 已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 △BEF 的面积为
A. 6B. 7.5C. 12D. 15

10. 如图，在 4×4 的正方形网格中，每一格长度为 1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F 都在格点上，以 AB，CD，EF 为边能构成一个直角三角形，则点 F 的位置有
A. 1 处B. 2 处C. 3 处D. 4 处

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 要使 2x−1 有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 化简：
（1）18= ．
（2）−413= ．

13. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，两条对角线的和为 18，AD 的长为 5，则 △OBC 的周长为 ．

14. 若方程 m+2x∣m∣+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m= ．

15. 在 △ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则 BC 的长为 ．

16. 如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是 1,2，则 CE 的长是 ．

17. 对任意的两实数 a，b，用 mina,b 表示其中较小的数，如 min2,−4=−4，则方程 x⋅min2,4x−3=x−1 的解是 ．

18. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线 l 及其外一点 A．
求作：l 的平行线，使它经过点 A．
小云的作法如下：
（1）在直线 l 上任取一点 B；
（2）以 B 为圆心，BA 长为半径作弧，交直线 l 于点 C；
（3）分别以 A，C 为圆心，BA 长为半径作弧，两弧相交于点 D；
（4）作直线 AD．直线 AD 即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请写出小云所作的直线 AD 的作图依据： ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）35+20−8+42
（2）45÷15×2332

20. 解下列方程：
（1）x−52=9．
（2）x2−4x−1=0．

21. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AF=CE．求证：BE∥DF．

22. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形 OEFG 是矩形；
（2）若 AD=10 cm，EF=4 cm，则 OE= cm，BG= cm．

23. 在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 ∠BAD，O 为 AE 的中点，连接 BO 并延长，交 AD 于点 F，连接 EF，OC．
（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；
（2）若点 E 为 BC 的中点，且 BC=8，∠ABC=60∘，求 OC 的长．

24. 请阅读下列材料：
问题：如图 1，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 AP+BP 的值最小，小军的思路是：如图 2，作点 A 关于直线 l 的对称点 Aʹ，连接 AʹB，则 AʹB 与直线 l 的交点 P 即为所求．
请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图 3，在图 2 的基础上，设 AAʹ 与直线 l 的交点为 C，过点 B 作 BD⊥l，垂足为 D．若 CP=1，PD=2，AC=1，写出 AP+BP 的值为 ；
（2）如图 3，若 AC=1，BD=2，CD=6，写出此时 AP+BP 的最小值 ；
（3）写出 5m−32+1+5m−82+9 的最小值为 ．

25. 如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 CB 延长线上一点，连接 AE，过点 C 作 CF⊥AE 于点 F，连接 BF．
（1）求证：∠FAB=∠BCF；
（2）作点 B 关于直线 AE 的对称点 M，连接 BM，FM．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段 CF，AF，BM 之间的数量关系，并证明．

26. 回答下列问题：
（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想 m+n 与 2mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 200 m2 的花圃，所用的篱笆至少需要 m．

27. 阅读、操作与探究：
小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如 4:6 的最简形式为 2:3）为两个连续自然数的比，具体操作如下：
（1）如图 1，Rt△ABC 中，BC，AC，AB 的长分别为 3，4，5，先以点 B 为圆心，线段 BA 的长为半径画弧，交 CB 的延长线于点 D，再过 D，A 两点分别作 AC，CD 的平行线，交于点 E．得到矩形 ACDE，则矩形 ACDE 的邻边比为 ．
请仿照小亮的方法解决下列问题：
如图 2，已知 Rt△FGH 中，GH:GF:FH=5:12:13，请你在图 2 中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（需保留做图痕迹）
（2）若已知直角三角形的三边比为 2n+1:2n2+2n:2n2+2n+1（n 为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ；
（3）若小亮所画的矩形的邻边比为 3:4，那么他所借助的直角三角形的三边比为 ．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于两个点 P，Q 和图形 W，如果在图形 W 上存在点 M，N（M，N 可以重合）使得 PM=QN，那么称点 P 与点 Q 是图形 W 的一对平衡点．
（1）如图 1，已知点 A0,3，B2,3．
①设点 O 与线段 AB 上一点的距离为 d，则 d 的最小值是 ，最大值是 ；
②在 P132,0，P21,4，P3−3,0 这三个点中，与点 O 是线段 AB 的一对平衡点的是 ；
（2）如图 2，已知正方形的边长为 2，一边平行于 x 轴，对角线的交点为点 O，点 D 的坐标为 2,0．若点 Ex,2 在第一象限，且点 D 与点 E 是正方形的一对平衡点，求 x 的取值范围；
（3）已知点 F−2,0，G0,2，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为 aa≤2．若线段 FG 上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. C
5. D
6. B
7. C
8. C
9. B
10. D
第二部分
11. x≥12
12. 24，−393
13. 14
14. 2
15. 4 或 14
16. 5
【解析】如图，连接 CE，OD．
∵D1,2，
∴OD=12+22=5，
∵ 四边形 OCDE 是矩形，
∴CE=OD=5．
17. 12
18. 四条边都相等的四边形是菱形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；菱形的两组对边分别平行（平行四边形的两组对边分别平行）；两点确定一条直线
第三部分
19. （1） 35+20−8+42=35+25−22+42=55+22.
（2） 45÷15×2332=35÷55×136=15×136=56.
20. （1）
x−52=9,x−5=±3,x=5±3,x1=8,x2=2.
（2）
x2−4x−1=0,x2−4x=1,x2−4x+4=1+4,x−22=5,x−2=±5,x=2±5,x1=2+5,x2=2−5.
21. 证法 1：
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD∥BC，AD=BC，
所以 ∠DAC=∠BCA，
在 △ADF 和 △CBE 中，
因为 AD=BC,∠DAC=∠BCF,AF=CE,
所以 △ADF≌△CBE，
所以 ∠DFA=∠BEC，
所以 BE∥DF．
【解析】证法 2：
连接 BD，交 AC 于 O 点，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AO=CO，BO=DO，
因为 AF=CE，
所以 AF−AO=CE−CO，
即 EO=FO，
又 BO=DO，
所以四边形 EBFD 是平行四边形，
所以 BE∥DF．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ 点 O 为 BD 中点，
∵ 点 E 为 AD 中点，
∴OE 为 △ABD 的中位线，
∴OE∥FG．
∵OG∥EF，
∴ 四边形 OEFG 为平行四边形．
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90∘．
∴ 平行四边形 OEFG 为矩形．
（2） 5；2
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAF=∠AEB，∠AFO=∠EBO，
∵O 为 AE 的中点，
∴AO=EO．
在 △AOF 和 △EOB 中，
∵∠AFO=∠EBO,∠OAF=∠OEB,AO=EO,
∴△AOF≌△EOB，
∴AF=BE，
∵AD∥BC，
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF，
∵∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴ 四边形 ABEF 是菱形．
（2） 过点 O 作 OG⊥BC 于点 G．
∵E 是 BC 的中点，BC=8，
∴BE=CE=4．
∵ 四边形 ABEF 是菱形，∠ABC=60∘，
∴∠OBE=30∘，∠BOE=90∘ .
∴OE=2，∠OEB=60∘．
∴GE=1，OG=3．
∴GC=5．
∴OC=27．
24. （1） 32
（2） 35
（3） 41
25. （1） ∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90∘，
∴∠ABE=90∘，
∴∠EFC=∠ABE，
又 ∵∠AEB=∠CEF，
∴∠FAB=∠BCF．
（2） ①如图：
② AF+BM=CF．
证明：在 CF 上截取点 N，使得 CN=AF，连接 BN．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CB．
在 △AFB 和 △CNB 中，
AF=CN,∠FAB=∠NCB,AB=CB,
∴△AFB≌△CNB，
∴∠ABF=∠CBN，FB=NB，
∴∠FBN=∠ABC=90∘，
∴△FBN 是等腰直角三角形，
∴∠BFN=45∘．
∵ 点 B 关于直线 AE 的对称点是点 M，
∴FM=FB，
∵CF⊥AE，∠BFN=45∘，
∴∠BFE=45∘，
∴∠BFM=90∘，
∴∠BFM=∠FBN，
∴FM∥NB．
∵FM=FB，FB=NB，
∴FM=NB，
∴ 四边形 FMBN 为平行四边形，
∴BM=NF，
∴AF+BM=CF．
26. （1） >，>，=
（2） ∵m+n−2mn=m2+n2−2mn=m−n2≥0
∴m+n≥2mn
（3） 40
27. （1） 1:2；
2:3；
（2） n:n+1
（3） 7:24:25
28. （1） ① 3；13
② P1
（2） 0 （3） 62−8≤a≤2．