2020年云南省昆明市盘龙区、禄劝县中考二模数学试卷

这是一份2020年云南省昆明市盘龙区、禄劝县中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. 若正多边形的一个外角是 60∘，则这个正多边形的边数是 ．

2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x−a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是 ．

3. 如图，⊙O 分别切 ∠BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F，点 P 在优弧（EDF）上．若 ∠BAC=66∘，则 ∠EPF 等于 度．

4. 在平行四边形 ABCD 中，AD=4，CD=7，根据图中尺规作图的痕迹，则 CE= ．

5. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，下列结论：
① b>0；
② a−b+c=0；
③一元二次方程 ax2+bx+c+1=0a≠0 有两个不相等的实数根；
④当 x<−1 或 x>3 时，y>0．
上述结论中正确的是 （填所有正确结论的序号）．

6. 如图，在以点 O 为原点的平面直角坐标系中，一次函数 y=−12x+1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 在直线 AB 上，且 OC=12AB，反比例函数 y=kx 的图象经过点 C，则所有可能的 k 值为 ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. “一方有难，八方支援”，在抗击新冠肺炎的战疫中，云南派出 10 批工作队，累计 1158 名医务工作者支援湖北．将 1158 用科学记数法表示为
A. 1.158×103B. 1.158×10−3C. 1.158×104D. 1.2×103

8. 如图，是由 7 个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①，②，③，④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是
A. ①B. ②C. ③D. ④

9. 下列运算正确的是
A. 3a+2a=5a2
B. a+b=a+b
C. −a3⋅−a2=−a5
D. 2a3b2−4ab4÷−2ab2=2b2−a2

10. 下列说法正确的个数是
① 为了了解一批灯泡的使用寿命，应采用全面调查的方式；
② 一组数据 4，5，6，7，6，8，10 的众数和中位数都是 6；
③ 若甲组数据的方差 S甲2=0.01，乙组数据的方差 S乙2=0.1，则甲组数据比乙组数据稳定；
④ 式子 a+23−a 有意义的条件是 a≥−2 且 a≠3．
A. 1B. 2C. 3D. 4

11. 分式方程 2x−3=12x2−9 的解为
A. x=−3B. x=3C. x=2D. 无解

12. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为
A. 10B. 11C. 12D. 13

13. 如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AD=6 cm，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 AB 的长为
A. 3.5 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 4.8 cm

14. 如图，平行四边形 ABCD 中，AB=2，BC=4，∠ABC=60∘，E 是 BC 的中点，点 P，Q 分别从 A，E 出发，沿着四边形的边向 D 点移动，移动时始终保持 PQ∥AE，设 △BPQ 的面积是 y，AP=x，则 y 关于 x 的函数图象大致是
A. B.
C. D.

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 计算：3−27−∣−3∣+−12−1−π−3.140+2sin60∘．

16. 如图，在平面直角坐标系中，A−2,2，B−4,2，C−6,4．
（1）将 △ABC 沿某一确定方向平移后得到 △A1B1C1，点 C 的对应点为点 C1 且 C1−4,−2，请画出 △A1B1C1．
（2）将 △A1B1C1 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 得到 △A2B2C2，点 A1 的对应点为点 A2．请画出 △A2B2C2．
（3）在变换过程中，求点 B1 到点 B2 所经过的路径长（结果保留 π）．

17. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，分别过点 B，C 作 BE∥AC，CE∥BD，BE 与 CE 交于点 E．
（1）求证：四边形 OBEC 是矩形；
（2）当 ∠ABD=60∘，AD=23 时，求 ∠EDB 的正切值．

18. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 A，B，C，D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人；并将两幅不完整的统计图补充完整；
（2）若居民区有 8000 人，请估计爱吃 D 粽的人数；
（3）若有外型完全相同的 A，B，C，D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是 C 粽的概率．

19. 若函数 y=fx 满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2．
（1）若 x1（2）若 x1fx2，则称 fx 是减函数；
例题：证明函数 fx=1xx>0 是减函数．
证明：假设 x10，x2>0，
fx1−fx2=1x1−1x2=x2−x1x1x2，
∵x10，x2>0，
∴x2−x1>0，x1x2>0，
∴x2−x1x1x2>0，即 fx1−fx2>0，
∴fx1>fx2，
∴ 函数 fx=1xx>0 是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）已知函数 fx=2x2x>0，f1=212=2，f2=222=12．
计算：f3= ，f4= ．
猜想 fx=2x2x>0 是 函数（填“增”或“减”）；
（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．

20. 某水果店 5 月份购进甲、乙两种水果共花费 1700 元，甲种水果 8 元/千克，乙种水果 18 元/千克．6 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 10 元/千克，乙种水果 20 元/千克．
（1）若该水果店 6 月份购进两种水果的数量与 5 月份的相同，将多支付货款 300 元，求该店 5 月份购甲、乙两种水果分别是多少千克?
（2）若 6 月份这两种水果进货总量为 120 千克，且甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，则 6 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元?

21. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C，D 是半圆 AB 的三等分点，过点 C 作 AD 延长线的垂线 CE，垂足为 E．
（1）求证：CE 是 ⊙O 的切线．
（2）若 ⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积．

22. 如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由．
（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE．已知 AC=4，AB=5，求 GE 长．

23. 如图 1，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0 和 B3,0，与 y 轴交于 C 点，点 C 关于抛物线的对称轴的对称点为点 D．
（1）求此抛物线的解析式和对称轴．
（2）如图 2，当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在直线 AD 上是否存在点 F，使得以点 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图 3，当点 A，C，D 三点共圆时，请求出该圆的圆心坐标．
答案
第一部分
1. 6
2. −1
3. 57
4. 3
5. ②③④
6. 12或−1150
【解析】在 y=−12x+1 中，令 y=0，则 x=2；令 x=0，得 x=1；
∴ A2,0，B0,1．
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=5．
设 ∠BAO=θ，则 sinθ=55，csθ=255．
当点 C 为线段 AB 中点时，有 OC=12AB，
∵ A2,0，B0,1，
∴ C1,12．
以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆，与直线 AB 的另外一个交点是 C′，则点 C 、点 C′ 均符合条件．
如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则 AE=OA⋅csθ=2×255=455，
∴ EC=AE−AC=455−52=3510．
∵ OC=OC′，
∴ EC′=EC=3510，
∴ AC′=AE+EC′=455+3510=11510．
过点 C′ 作 CF⊥x 轴于点 F，则 C′F=AC′⋅sinθ=11510×55=1110，
AF=AC′⋅csθ=11510×csθ=255=115，
∴ OF=AF−OA=115−2=15．
∴ C′−15,1110．
∵反比例函数 y=kx 的图象经过点 C 或 C′，1×12=12，−15×1110=−1150，
∴ k=12 或 −1150．
第二部分
7. A
8. A【解析】主视图是指从立体图形的正面看到的平面图形，观察几何体易得当取走①后，几何体的主视图不发生改变．
9. D
10. C
11. D
12. C
13. B
14. C
第三部分
15. 原式=−3−3+−2−1+2×32=−6.
16. （1） 如图，
A−2,2，B−4,2，C−6,4 的对应点 A10,−4，B1−2,−4，C1−4,−2，
顺次连接 A1，B1，C1 各点，则 △A1B1C1 即为所求．
（2） 如图：A1，B1，C1 的对应点 A24,0，B2−4,−2，C2−2,−4，
顺次连接 A2，B2，C2 各点，△A2B2C2 即为所求．
（3） 在这两次变过程中，点 B 经过点 B1 到达点 B2 的路径：线段 BB1 、以 O 为圆心以 OB1 为半径的 90∘ 弧：OB1=42+22=25，
路径长=90⋅π⋅25180=5π．
17. （1） ∵BE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 OBEC 为平行四边形．
∵ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90∘，
∴ 四边形 OBEC 是矩形．
（2） ∵AD=AB，∠DAB=60∘，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD=AD=AB=23，
∵ABCD 为菱形，∠DAB=60∘，
∴∠BAO=30∘，
∴OC=OA=3，
∴BE=3，
∴tan∠EDB=BEBD=323=32．
18. （1） 600；
补全统计图如图所示：
（2） 8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有 8000 人，估计爱吃 D 粽的人有 3200 人．
（3） 如图：
共 12 种等可能的结果，
分别为：A,B，A,C，A,D，B,A，B,C，B,D，C,A，C,B，C,D，D,A，D,B，D,C．
∵ 小王第二个恰好吃到的是 C 粽的结果有 3 种，分别为 A,C，B,C，D,C，
∴PC粽=312=14．
19. （1） 29；18；减
（2） 假设 x10，x2>0，
fx1−fx2=2x12−2x22=2x22−x12x12x22，
∵x10，x2>0，
∴x12x22>0，x22−x12>0，
∴2x22−x12x12x22>0，
∴fx1−fx2>0，
∴fx1>fx2，
∴ 函数 fx=2x2x>0 是减函数．
20. （1） 设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克．
根据题意得：
8x+18y=1700,10x+20y=1700+300,
解得
x=100,y=50.
答：该店 5 月份购进甲种水果 100 千克，购进乙种水果 50 千克．
（2） 设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，则购进乙种水果 120−a 千克，
w=10a+20120−a=−10a+2400,
根据题意得，
a≤3120−a,
即
a≤90.∵k=−10<0
，w 随 a 的增大而减小，
∴a=90 时，w 有最小值 w最小=−10×90+2400=1500（元）．
答：6 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是 1500 元．
21. （1） ∵ 点 C，D 为半圆 O 的三等分点，
∴AD=CD=BC，
∴∠DAC=∠CAB=12∠BOC，
∴∠BOC=∠DAB，
∴OC∥AD，
又 ∵CE⊥AD，
∴∠DEC=90∘，
∴∠OCE=∠DEC=90∘，
即：CE⊥OC 且 OC 为 ⊙O 的半径，
∴CE 为 ⊙O 的切线．
（2） 连接 OD，OC，
∵AD=CD=BC，
∴∠COD=13×180∘=60∘，
∵CD∥AB，
∴S△ACD=S△COD，
∴图中阴影部分的面积=S扇形COD=60⋅π×22360=2π3．
22. （1） 四边形 ABCD 是垂美四边形．
证明：
∵AB=AD，
∴ 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上．
∴ 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线．
∴AC⊥BD，即四边形 ABCD 是垂美四边形．
（2） ∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90∘．
由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2．
∴AB2+CD2=AD2+BC2．
（3） 连接 CG，BE，CE 与 AB 交于点 M．
∵∠CAG=∠BAE=90∘，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即 ∠GAB=∠CAE．
在 △GAB 和 △CAE 中，
AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE,
∴△GAB≌△CAESAS．
∴∠ABG=∠AEC．
又 ∵∠AEC+∠AME=90∘，∠AME=∠BMC，
∴∠ABG+∠BMC=90∘．
∴CE⊥BG．
∴ 四边形 CGEB 是垂美四边形．
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=42，BE=52．
∴GE2=CG2+BE2−CB2=422+522−32=73．
∴GE=73．
23. （1） 把点 A−1,0 和 B3,0 代入 y=−12x2+bx+c，得
−12−b+c=0,−92+3b+c=0,
解得：b=1,c=32,
∴ 抛物线的解析式为：y=−12x2+x+32，
∴ 对称轴 x=−b2a=−12×−12=1．
（2） 存在，分三种情况讨论，
① 如图 1 所示，
∵ 四边形 ACEF 为平行四边形，
∴EF 可由 AC 平移得到，点 C 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 F，
∵C0,32，点 E 的横坐标为 1，
∴ 向右平移了一个单位，
∵A−1,0，
∴ 点 F 的横坐标为 0，
设直线 AD 的函数解析式为：y=kx+bk≠0，
把点 A−1,0 和 D2,32 代入，得 −k+b=0,2k+b=32,
解得：k=12,b=12,
∴ 直线 AD 的函数解析式为：y=12x+12，
∴ 当 x=0 时，y=12，
∴F0,12．
② 如图 2 所示，
此时点 F 与点 D 重合，
∴F2,32．
③ 如图 3 所示，
根据平移的规律，得知点 F 的横坐标为 −2，
当 x=−2 时，y=−12，
∴F−2,−12，
综上所述：点 F 的坐标为 0,12 或 2,32 或 −2,−12．
（3） 如图，连接 AC，CD，分别作 CD，AC 的垂直平分线，两线交于点 M 点，M 点就是点 A，C，D 三点共圆的圆心．
方法一：设 M1,m，由勾股定理可得：
MC2=12+32−m2=m2−3m+134，MA2=4+m2，
又 ∵MD=MC=MA，
∴MC2=MA2，即 m2−3m+134=4+m2，解得：m=−14，
∴ 点 A，C，D 三点共线的圆的圆心坐标为 1,−14．
【解析】方法二：
∵ 点 N 是 AC 的中点，
∴N−12,34，
设直线 MN 的解析式为：y=kx+bk≠0，
把 N−12,34 代入上式，得 b=34+k2，
∴y=kx+34+k2，
当 y=0 时，kx+34+k2=0，解得：x=−34k−12=6k+34k，
∴GH=1−−34k−12=32+34k，
当 x=1 时，y=k+34+k2=6k+34，
∴HM=−32k−34=−6k+34，
如图，
易证得：△AOC∽△MHG，
∴OCHG=AOMH，
∴k=−23，k2=−12（不符合题意，舍弃），
∴b=512，
∴y=−23x+512，
当 x=1 时，y=−14，
∴ 点 A，C，D 三点共线的圆的圆心坐标为 1,−14．