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    2020年云南省昆明市中考数学试卷 解析版

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    2020年云南省昆明市中考数学试卷
    一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    1.(3分)|﹣10|=   .
    2.(3分)分解因式:m2n﹣4n=   .
    3.(3分)如图,点C位于点A正北方向,点B位于点A北偏东50°方向,点C位于点B北偏西35°方向,则∠ABC的度数为   °.

    4.(3分)要使有意义,则x的取值范围是   .
    5.(3分)如图,边长为2cm的正六边形螺帽,中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为B,AB=17cm,用扳手拧动螺帽旋转90°,则点A在该过程中所经过的路径长为   cm.

    6.(3分)观察下列一组数:﹣,,﹣,,﹣,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是   .
    二、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共32分)
    7.(4分)由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是(  )

    A. B. C. D.
    8.(4分)下列判断正确的是(  )
    A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查,应选择抽样调查
    B.一组数据6,5,8,7,9的中位数是8
    C.甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2=2.3,S乙2=1.8.则甲组学生的身高较整齐
    D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
    9.(4分)某款国产手机上有科学计算器,依次按键:,显示的结果在哪两个相邻整数之间(  )

    A.2~3 B.3~4 C.4~5 D.5~6
    10.(4分)下列运算中,正确的是(  )
    A.﹣2=﹣2 B.6a4b÷2a3b=3ab
    C.(﹣2a2b)3=﹣8a6b3 D.•=a
    11.(4分)不等式组,的解集在以下数轴表示中正确的是(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    12.(4分)某校举行“停课不停学,名师陪你在家学”活动,计划投资8000元建设几间直播教室,为了保证教学质量,实际每间建设费用增加了20%,并比原计划多建设了一间直播教室,总投资追加了4000元.根据题意,求出原计划每间直播教室的建设费用是(  )
    A.1600元 B.1800元 C.2000元 D.2400元
    13.(4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,﹣2),点A(﹣1,m)在抛物线上,则下列结论中错误的是(  )

    A.ab<0
    B.一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间
    C.a=
    D.点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上,当实数t>时,y1<y2
    14.(4分)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个),这样的格点三角形一共有(  )

    A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
    三、解答题(本大题共9小题,满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答,必须写出运算步骤、推理过程或文字说明,超出答题区域的作答无效.特别注意:作图时,必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图)
    15.(5分)计算:12021﹣+(π﹣3.14)0﹣(﹣)﹣1.
    16.(6分)如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.

    17.(7分)某鞋店在一周内销售某款女鞋,尺码(单位:cm)数据收集如下:
    24 23.5 21.5 23.5 24.5 23 22 23.5 23.5 23 22.5 23.5 23.5 22.5 24 24 22.5 25 23 23 23.5 23 22.5 23 23.5 23.5 23 24 22 22.5
    绘制如图不完整的频数分布表及频数分布直方图:
    尺码/cm
    划记
    频数
    21.5≤x<22.5

    3
    22.5≤x<23.5
       
       
    23.5≤x<24.5

    13
    24.5≤x<25.5

    2
    (1)请补全频数分布表和频数分布直方图;
    (2)若店主要进货,她最应该关注的是尺码的众数,上面数据的众数为   ;
    (3)若店主下周对该款女鞋进货120双,尺码在23.5≤x<25.5范围的鞋应购进约多少双?

    18.(7分)有一个可自由转动的转盘,被分成了三个大小相同的扇形,分别标有数字2,4,6;另有一个不透明的瓶子,装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球.小杰先转动一次转盘,停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转),小玉再从瓶子中随机取出一个小球,记下小球上的数字.
    (1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果;
    (2)若得到的两数字之和是3的倍数,则小杰贏;若得到的两数字之和是7的倍数,则小玉赢,此游戏公平吗?为什么?

    19.(8分)为了做好校园疫情防控工作,校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min;完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min.
    (1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间?
    (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示:校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点为A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时,对人体健康无危害,校医依次对一班至十一班教室(共11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能否进入教室?请通过计算说明.

    20.(8分)如图,点P是⊙O的直径AB延长线上的一点(PB<OB),点E是线段OP的中点.
    (1)尺规作图:在直径AB上方的圆上作一点C,使得EC=EP,连接EC,PC(保留清晰作图痕迹,不要求写作法);并证明PC是⊙O的切线;
    (2)在(1)的条件下,若BP=4,EB=l,求PC的长.

    21.(9分)【材料阅读】2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个规标,找到2个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是水平的,光线在空气中会发生折射,所以当两个测量点的水平距离大于300m时,还要考虑球气差,球气差计算公式为f=(其中d为两点间的水平距离,R为地球的半径,R取6400000m),即:山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差.
    【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点A,B的水平距离d=800m,测量仪AC=1.5m,觇标DE=2m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上,在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°,测量点A处的海拔高度为1800m.
    (1)数据6400000用科学记数法表示为   ;
    (2)请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到0.01m)
    (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

    22.(8分)如图,两条抛物线y1=﹣x2+4,y2=﹣x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴负半轴上,且为抛物线y2的最高点.
    (1)求抛物线y2的解析式和点B的坐标;
    (2)点C是抛物线y1上A,B之间的一点,过点C作x轴的垂线交y2于点D,当线段CD取最大值时,求S△BCD.

    23.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.
    (1)求证:四边形AEFD是矩形;
    (2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有OB=OM.请说明理由;
    (3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当△AMD是等腰三角形时,求AP的长.


    2020年云南省昆明市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    1.【解答】解:根据负数的绝对值等于它的相反数,得|﹣10|=10.
    故答案为:10.
    2.【解答】解:原式=n(m2﹣4)=n(m+2)(m﹣2),
    故答案为:n(m+2)(m﹣2)
    3.【解答】解:如图所示:由题意可得,∠1=∠A=50°,
    则∠ABC=180°﹣35°﹣50°=95°.
    故答案为:95.

    4.【解答】解:要使分式有意义,
    需满足x+1≠0.
    即x≠﹣1.
    故答案为:x≠﹣1.
    5.【解答】解:连接OD,OC.

    ∵∠DOC=60°,OD=OC,
    ∴△ODC是等边三角形,
    ∴OD=OC=DC=2(cm),
    ∵OB⊥CD,
    ∴BC=BD=(cm),
    ∴OB=BC=3(cm),
    ∵AB=17cm,
    ∴OA=OB+AB=20(cm),
    ∴点A在该过程中所经过的路径长==10π(cm),
    故答案为10π.

    6.【解答】解:观察下列一组数:
    ﹣=﹣,
    =,
    ﹣=﹣,
    =,
    ﹣=﹣,
    …,
    它们是按一定规律排列的,
    那么这一组数的第n个数是:(﹣1)n .
    故答案为:(﹣1)n .
    二、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共32分)
    7.【解答】解:由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是.
    故选:A.
    8.【解答】解:A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查,应选择全面调查,
    所以A选项错误;
    B.一组数据6,5,8,7,9的中位数是7,
    所以B选项错误;
    C.甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2=2.3,S乙2=1.8.则乙组学生的身高较整齐,
    所以C选项错误;
    D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题,
    所以D选项正确.
    故选:D.
    9.【解答】解:使用计算器计算得,
    4sin60°≈3.464101615,
    故选:B.
    10.【解答】解:A、﹣2=﹣,此选项错误,不合题意;
    B、6a4b÷2a3b=3a,此选项错误,不合题意;
    C、(﹣2a2b)3=﹣8a6b3,正确;
    D、•=•=﹣a,故此选项错误,不合题意;
    故选:C.
    11.【解答】解:,
    ∵解不等式①得:x>﹣1,
    解不等式②得:x≤3,
    ∴不等式组的解集是﹣1<x≤3,
    在数轴上表示为:,
    故选:B.
    12.【解答】解:设原计划每间直播教室的建设费用是x元,则实际每间建设费用为1.2x,根据题意得:

    解得:x=2000,
    经检验:x=2000是原方程的解,
    答:每间直播教室的建设费用是2000元,
    故选:C.
    13.【解答】解:∵抛物线开口向上,
    ∴a>0,
    ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
    ∴b=﹣2a<0,
    ∴ab<0,所以A选项的结论正确;
    ∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点坐标在(0,0)与(﹣1,0)之间,
    ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间,
    ∴一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间,所以B选项的结论正确;
    把B(0,﹣2),A(﹣1,m)代入抛物线得c=﹣2,a﹣b+c=m,
    而b=﹣2a,
    ∴a+2a﹣2=m,
    ∴a=,所以C选项的结论正确;
    ∵点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上,
    ∴当点P1、P2都在直线x=1的右侧时,y1<y2,此时t≥1;
    当点P1在直线x=1的左侧,点P2在直线x=1的右侧时,y1<y2,此时0<t<1且t+1﹣1>1﹣t,即<t<1,
    ∴当<t<1或t≥1时,y1<y2,所以D选项的结论错误.
    故选:D.
    14.【解答】解:如图,

    所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个.
    故选:C.
    三、解答题(本大题共9小题,满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答,必须写出运算步骤、推理过程或文字说明,超出答题区域的作答无效.特别注意:作图时,必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图)
    15.【解答】解:原式=1﹣2+1+5
    =5.
    16.【解答】证明:∵AC是∠BAE的平分线,
    ∴∠BAC=∠DAE,
    ∵∠C=∠E,AB=AD.
    ∴△BAC≌△DAE(AAS),
    ∴BC=DE.
    17.【解答】解:(1)表中答案为:12补全频数分布表如上表所示:
    补全的频数分布直方图如图所示:

    (2)样本中,尺码为23.5cm的出现次数最多,共出现9次,因此众数是23.5,
    故答案为:23.5;
    (3)120×=60(双)
    答:该款女鞋进货120双,尺码在23.5≤x<25.5范围的鞋应购进约60双.
    18.【解答】解:(1)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:

    (2)由(1)的表格可知,共有9种可能出现的结果,其中“和为3的倍数”的有3种,“和为7的倍数”的有3种,
    ∴P(小杰胜)==,P(小玉胜)==,
    因此游戏是公平的.
    19.【解答】解:(1)设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin,
    则,解得,
    故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min;

    (2)一间教室的药物喷洒时间为5min,则11个房间需要55min,
    当x=5时,y=2x=10,故点A(5,10),
    设反比例函数表达式为:y=,将点A的坐标代入上式并解得:k=50,
    故反比例函数表达式为y=,
    当x=55时,y=<1,
    故一班学生能安全进入教室.
    20.【解答】解:(1)如图,点C即为所求;

    证明:∵点E是线段OP的中点,
    ∴OE=EP,
    ∵EC=EP,
    ∴OE=EC=EP,
    ∴∠COE=∠ECO,∠ECP=∠P,
    ∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P=180°,
    ∴∠ECO+∠ECP=90°,
    ∴OC⊥PC,且OC是⊙O的半径,
    ∴PC是⊙O的切线;
    (2)∵BP=4,EB=l,
    ∴OE=EP=BP+EB=5,
    ∴OP=2OE=10,
    ∴OC=OB=OE+EB=6,
    在Rt△OCP中,根据勾股定理,得PC==8.
    则PC的长为8.
    21.【解答】解:(1)6400000=6.4×106,
    故答案为6.4×106.

    (2)如图,过点C作CH⊥BE于H.

    由题意AB=CH=800m,AC=BH=1.5m,
    在Rt△ECH中,EH=CH•tan37°≈600(m),
    ∴DB=600﹣DE+BH=599.5(m),
    由题意f=≈0.043(m),
    ∴山的海拔高度=599.5+0.043+1800≈2399.54(m).
    22.【解答】解:(1)当y=0时,即﹣x2+4=0,解得x=2或x=﹣2,
    又点A在x轴的负半轴,
    ∴点A(﹣2,0),
    ∵点A(﹣2,0),是抛物线y2的最高点.
    ∴﹣=﹣2,即b=﹣,
    把A(﹣2,0)代入y2=﹣x2﹣x+c得,c=﹣,
    ∴抛物线y2的解析式为:y2=﹣x2﹣x﹣;
    由得,,,
    ∵A(﹣2,0),
    ∴点B(3,﹣5),
    答:抛物线y2的解析式为:y2=﹣x2﹣x﹣,点B(3,﹣5);
    (2)由题意得,CD=y1﹣y2=﹣x2+4﹣(﹣x2﹣x﹣),
    即:CD=﹣x2+x+,
    当x=﹣=时,CD最大=﹣×+×+=5,
    ∴S△BCD=×5×(3﹣)=.
    23.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AB=CD,AB∥CD,∠A=90°,
    ∵AE=EB,DF=FC,
    ∴AE=DF,AE∥DF,
    ∴四边形AEFD是平行四边形,
    ∵∠A=90°,
    ∴四边形AEFD是矩形.

    (2)证明:如图2中,连接PM.BM.

    ∵四边形AEFD是矩形,
    ∴EF∥AD,
    ∵BE=AE,
    ∴BO=OP,
    由翻折可知,∠PMB=∠A=90°,
    ∴OM=OB=OP.

    (3)解:如图3﹣1中,当MA=MD时,连接BM,过点M作MH⊥AD于H交BC于F.

    ∵MA=MD,MH⊥AD,
    ∴AH=HD=4,
    ∵∠BAH=∠ABF=∠AHF=90°,
    ∴四边形ABFH是矩形,
    ∴BF=AH=4,AB=FH=5,
    ∴∠BFM=90°,
    ∵BM=BA=5,
    ∴FM===3,
    ∴HM=HF=FM=5﹣3=2,
    ∵∠ABP+∠APB=90°,∠MAH+∠APB=90°,
    ∴∠ABP=∠MAH,
    ∵∠BAP=∠AHM=90°,
    ∴△ABP∽△HAM,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴AP=.
    如图3﹣2中,当AM=AD时,连接BM,设BP交AM于F.

    ∵AD=AM=8,BA=BM=5,BF⊥AM,
    ∴AF=FM=4,
    ∴BF===3,
    ∵tan∠ABF==,
    ∴=,
    ∴AP=,
    如图3﹣3中,当DA=DM时,此时点P与D重合,AP=8.


    如图3﹣4中,当MA=MD时,连接BM,过点M作MH⊥AD于H交BC于F.

    ∵BM=5,BF=4,
    ∴FM=3,MH=3+5=8,
    由△ABP∽△HAM,可得=,
    ∴=,
    ∴AP=10,
    综上所述,满足条件的PA的值为或或8或10.


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