2019年云南省昆明市盘龙区、禄劝县中考一模数学试卷

这是一份2019年云南省昆明市盘龙区、禄劝县中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. 2019 年春节期间某省某州接待旅游人数大约为 1767500 人，将这个数据 1767500 用科学记数法表示为 ．

2. 如图，AB∥CD，EF⊥AB 于 E，EF 交 CD 于 F，已知 ∠1=58∘12ʹ，则 ∠2= ．

3. 已知 a，b 为两个连续的整数，且 a<33
4. 观察下列各式：
① x−1x+1=x2−1；
② x−1x2+x+1=x3−1；
③ x−1x3+x2+x+1=x4−1．
由此归纳出一般规律 x−1xn+xn−1+⋯+x+1= ．

5. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为 5 的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆维的侧面积为 ．

6. 过双曲线 y=kxk>0 的动点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，P 是直线 AB 上的点，且满足 AP=2AB，过点 P 作 x 轴的平行线交此双曲线于点 C．如果 △APC 的面积为 8，则 k 的值是 ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. 在实数 −5，−−3，0，π 中，最小的数是
A. −5B. −−3C. 0D. π

8. 如图，由 5 个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体
A. 主视图不变，左视图改变B. 主视图不变，左视图不变
C. 主视图改变，左视图不变D. 主视图改变，左视图改变

9. 下列计算结果正确的是
A. 2+5=25B. 6÷2=3
C. −2a23=−6a6D. x−12=x2−1

10. 已知 a 是方程 x2−2x−3=0 的一个根，则代数式 2a2−4a−1 的值为
A. 3B. −4C. 3 或 −4D. 5

11. 图 1，图 2 分别是某厂六台机床十月份第一天和第二天生产零件数的统计图，与第一天相比，第二天六台机床生产零件数的平均数与方差的变化情况是
A. 平均数变大，方差不变B. 平均数变小，方差不变
C. 平均数不变，方差变小D. 平均数不变，方差变大

12. 某商品房原价 12000 元/m2，经过连续兩次降价后，现价 10800 元/m2，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为 x，依题意可列方程为
A. 120001−2x=10800B. 120001−x2=10800
C. 108001−2x=12000D. 108001+x2=12000

13. 如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 4 cm，∠BOC=60∘，∠BCO=90∘，将 △BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至 △BʹOCʹ，点 Cʹ 在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为
A. π cm2B. 2π cm2C. 4π cm2D. 6π cm2

14. 如图，在 ⊙O 中，CD 是直径，且 CD⊥AB 于 P，则下列结论中① AP=PB；② PO=PD；③ ∠BOD=2∠ACD；④ AP2=PC⋅PD，正确的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 先化简，再求值：a+1a−3−a−3a−2⋅a2−6a+9a2−4，其中 a=12−1−12+π−3.140+2cs30∘．

16. 已知：如图，△ABC，△ADE 均为等腰直角三角形，点 D，E，C 在同一直线上，连接 BD．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）求 ∠BDC 的度数．

17. 为弘扬中华传统文化，某校组织八年级 1000 名学生参加汉字听写大赛．为了解学生整体听写能力，赛后随机抽查了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）进行统计分析，并制作成图表：
组别分数段频数频率一50.5∼二60.5∼三70.5∼四80.5∼90.580n五90.5∼
请根据以上图表提供的信息，解答下列可题．
（1）这次随机抽查了 名学生，表中的数 m= ，n= ；此样本中成绩的中位数落在第 组内；若绘制扇形统计图，则在修中“第三组”所对应扇形的圆心角的度数是 ；
（2）补全频数直方图；
（3）若成绩超过 80 分为优秀，请你估计该校八年级学生中汉字听写能力优秀的人数．

18. 如图，3×3 的方格分为上中下三层，第一次有一枚黑色方块甲，可在方格 A，B，C 中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方块 D，E，F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．
（1）若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 ；
（2）若甲、乙均可在本层移动，用画树状图法或列表法求出黑色方块所构成拼图是中心对称图形的概率．

19. 荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用 20 元，若用 400 元购买台灯和用 160 元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元；
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的 2 倍还多 8 个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过 670 元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯?

20. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，且线段 AB=2，该抛物线与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式 x2+bx+c>0 的解集： ；
（3）设为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐标为 ．

21. 某经销商从市场得知如下信息：
A品牌计算器B品牌计算器进价元/台700100售价元/台900160
他计划用 4 万元资金一次性购进这两种品牌计算器共 100 台，设该经销商购进A品牌计算器 x 台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为 y 元．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于 1.26 万元，该经销商有哪几种进货方案?
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大?最大利润是多少元?

22. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E，交 ⊙O 于点 F，且 BC 是 ⊙O 的切线．
（1）求证：CE=CB；
（2）连接 AF，BF，求 tan∠ABF；
（3）如果 CD=15，BE=10，sinA=513，求 ⊙O 的半径．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=20 cm，AD=30 cm，∠ABC=60∘，点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 匀速运动，速度为 2 cm/s，同时，点 P 从点 D 出发沿 DC 向点 C 匀速运动，速度为 3 cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动，过点 P 做 PM⊥AD 交 AD 于点 M，连接 PQ，QM．设运动的时间为 t s0（1）当 PQ⊥PM 时，求 t 的值；
（2）是否存在某一时刻 t，使得 △PQM 的面积是平行四边形 ABCD 面积的 38?若存在，求出相应 t 的值；若不存在，请说明理由；
（3）过点 M 作 MN∥AB 交 BC 于点 N，是否存在某一时刻 t，使得 P 在线段 MN 的垂直平分线上?若存在，求出相应 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. 1.7675×106
【解析】1767500 用科学记数法表示为 1.7675×106．
2. 31∘48ʹ
【解析】如图，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=58∘12ʹ，
∵EF⊥AB，
∴∠2=90∘−∠3=90∘−58∘12ʹ=31∘48ʹ．
3. 11
【解析】因为 a，b 为两个连续的整数，且 a<33又因为 5=25<33<36=6，
所以，a=5，b=6，
所以，a+b=5+6=11．
4. xn+1−1
【解析】x−1xn+xn−1+⋯x+1=xn+1−1．
5. 12.5
【解析】设扇形的半径为 r，
根据扇形面积公式得 S=12lr=12×5×5=12.5．
6. 12 或 4
【解析】（1）如图：
设点 A 的坐标为：a,ka，则点 P 的坐标为：a,3ka，
点 C 的纵坐标为：3ka，代入反比例函数 y=kxk>0，
点 C 的横坐标为：a3，
S△APC=123ka−ka×a−a3=8，
解得：k=12．
（2）如图：
设点 A 的坐标为：a,ka，则点 P 的坐标为：a,−ka，
点 C 的纵坐标为：AC∩AE=A，代入反比例函数 y=kxk>0，
点 C 的横坐标为：−a，
S△APC=12×2ka×2a=8，
解得：k=4．
第二部分
7. C【解析】−5=5，−−3=3，π≈3.14，
∴0<−−3<π<−5，
∴ 最小的数为 0．
8. C【解析】
∴ 主视图改变，左视图不变．
9. B【解析】A．2 与 5 不能合并，故错误；
B．6÷2=3，正确；
C．−2a23=−8a6，故错误；
D．x−12=x2−2x+1，故错误．
10. D
【解析】∵a 是方程 x2−2x−3=0 的一个根，
∴a2−2a−3=0，
整理得，a2−2a=3，
∴2a2−4a−1=2a2−2a−1=2×3−1=5．
11. D【解析】根据统计图可知，第一天的平均数是 m，第二天的平均数还是 m，所以平均数不变，但方差变大．
12. B【解析】由题意可列方程是 120001−x2=10800．
13. A【解析】∵∠BOC=60∘，△BʹOCʹ 是 △BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的，
∴∠BʹOCʹ=60∘，△BCO=△BʹCʹO，
∴∠BʹOC=60∘，∠CʹBʹO=30∘，
∴∠BʹOB=120∘，
∵AB=4 cm，
∴OB=2 cm，OCʹ=1，
∴BʹCʹ=3，
∴S扇形BʹOB=120×π×22360=43π，
S扇形CʹOC=120×π×12360=13π，
阴影部分面积=S扇形BʹOB+S△BʹCʹO−S△BCO−S扇形CʹOC=S扇形BʹOC−S扇形CʹOC=43π−13π=π.
14. C【解析】①项，
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，根据垂径定理，AP=PB，故①项正确；
②项，不能判断 PO 和 PD 的关系，故②项错误；
③项，根据垂径定理，有 ∠BOD=∠AOD，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠OAC+∠OCA=2∠ACD，
则 ∠BOD=2∠ACD，故③项正确；
④项，连接 AD．
∵∠APD=∠CPA=90∘，∠DAP+∠D=90∘，∠DAP+∠CAP=90∘，
∴∠D=∠CAP，
∴△ADP∽△CAP，
∴APCP=DPAP，AP2=PC⋅PD，故④项正确．
综上所述，①③④正确．
第三部分
15. 原式=a+1a−3−a−3a+2⋅a+2a−2a−32=a+1a−3−a−2a−3=3a−3.
∵a=2−23+1+3=3−3，
∴原式=33−3−3=3−3=−3．
16. （1） ∵△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=90∘，
∴∠DAB=∠EAC，
在 △ADB 和 △AEC 中，
AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC,
∴△ADB≌△AECSAS．
（2） ∵△ADB≌△AEC，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠AEC=180∘−∠AED=180∘−45∘=135∘，
∴∠ADB=135∘，
∴∠BDC=∠ADB−∠ADE=135∘−45∘=90∘．
17. （1） 200；50；0.40；四；90∘
【解析】这次随机抽查了 16÷0.08=200 名学生，
表中的数 m=200×0.25=50，n=80÷200=0.40；
此样本中成绩的中位数落在第四组内；
若绘制扇形统计图，则在图中“第三组”所对应扇形的圆心角的度数是 360∘×0.25=90∘．
（2） 如图所示．
（3） 1000×0.40+0.12=520（人）．
答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有 520 人．
18. （1） 23
【解析】若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有 3 种可能，其中有 2 种情形是轴对称图形，所以若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率为 23．
（2） 总共有 9 种等可能的结果，黑色方块所构成拼图是轴对称图形的结果有 5 种，
所以，所求的概率为 59．
19. （1） 设购买该品牌一个手电筒需要 x 元，则购买一个台灯需要 x+20 元．
根据题意得
400x+20=160x×12.
解得
x=5.
经检验，x=5 是原方程的解．
∴x+20=25．
答：购买一个台灯需要 25 元，购买一个手电筒需要 5 元．
（2） 设公司购买台灯的个数为 a，则还需要购买手电筒的个数是 2a+8．
由题意得
25a+52a+8≤670.
解得
a≤21.∴
荣庆公司最多可购买 21 个该品牌的台灯．
20. （1） 如图，
∵AB=2，对称轴为直线 x=2，
∴ 点 A 的坐标是 1,0，点 B 的坐标是 3,0，
把 A，B 两点的坐标代入得：1+b+c=0,9+3b+c=0.
解得：b=−4,c=3.
∴ 抛物线的函数表达式为 y=x2−4x+3．
（2） x<1 或 x>3
【解析】由图象得：不等式 x2+bx+c>0，即 y>0 时，x<1 或 x>3．
（3） 2,−1
【解析】y=x2−4x+3=x−22−1，
∴ 顶点坐标为 2,−1，
当 E，D 点在 x 轴的上方，即 DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，
如图，
根据“菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点 D 是抛物线 y=x2−4x+3 的顶点坐标，即 2,−1．
21. （1） y=900−700x+160−100×100−x=140x+6000，
其中 700x+100100−x≤40000，
得 x≤50，
即 y=140x+60000 （2） 令 y≥12600，
则 140x+6000≥12600，
∴x≥47.1，
又 ∵x≤50，
∴47.1≤x≤50，
∴ 经销商有以下三种进货方案：
方案A品牌台B品牌台①4852②4951③5050
（3） ∵y=140x+6000，140>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴x=50 时，y 取得最大值，
又 ∵140×50+6000=13000，
∴ 选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是 13000 元．
22. （1） 如图，连接 OB．
∵OA=OB．
∴∠DAE=∠OBA．
∵BC 切 ⊙O 于 B，
∴OB⊥BC．
∴∠OBC=90∘．
∴∠OBA+∠CBE=90∘．
∵DC⊥OA，
∴∠ADE=90∘．
∴∠DAE+∠AED=90∘．
∴∠AED=∠CBE=∠CEB．
∴CE=CB．
（2） 连接 AF，BF，OF．
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF．
∵OA=OF，
∴AF=OF=OA．
∴△OAF 是等边三角形．
∴∠AOF=60∘．
∴∠ABF=12∠AOF=30∘．
∴tan∠ABF=33．
（3） 过点 C 作 CG⊥BE 于点 G．
∵CE=CB，
∴EG=BG=12BE=5．
∵ 在 Rt△ADE 中，sinA=DEAE=513，
设 DE=5x，AE=13x，则 AD=12x．
∵CD⊥OA，CG⊥BE，
∴∠ADE=∠CGE=90∘．
又 ∵∠AED=∠CEG，
∴Rt△ADE∽Rt△CGE．
∴DEGE=AECE，即 5x5=13x15−5x．
∴x=25．
∴AD=12×25=245．
∴OA=2AD=485，即 ⊙O 的半径为 485．
23. （1） ∵PM⊥AD，PQ⊥PM，
∴PQ∥AD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴ 四边形 AQPD 是平行四边形，
∴AQ=PD，
∴20−2t=3t，
∴t=4．
（2） 作 BG⊥DA 交 DA 的延长线于 G，过点 Q 作 QK⊥PM 于 K，交 BG 于 H，
则四边形 GHKM 是矩形，
∵ 在 Rt△ABG 中，∠G=90∘，∠ABG=30∘，AB=20，
∴AG=12AB=10，
∵ 在 Rt△BHQ 中，∠BHQ=90∘，∠HBQ=30∘，BQ=2t，
∴HQ=12BQ=t，
∵ 在 Rt△PMD 中，∠PMD=90∘，∠D=60∘，PD=3t，
∴∠MPD=30∘，
∴MD=12PD=12×3t=32t，
∴QK=AD+AG−MD−HQ=40−32t−t=40−52t，
在 Rt△PMD 中，PM=PD2−MD2=3t2−32t2=274t2=332t，
∴S△QPM=12⋅PM⋅QK=12×332t×40−52t=−1538t2+303t.
如图，过 A 作 AI⊥BC 于 I，
在 Rt△ABI 中，sinB=AIAB，
∴AI=AB⋅sin60∘=20×32=103cm，
∴S四边形ABCD=BC⋅AI=30×103=3003cm2，
∵△PQM 的面积是平行四边形 ABCD 面积的 38，
∴−1538t2+303t=38×3003，
∴t1=6，t2=10 （不符合题意，舍去），
∴ 存在某一时刻 t，当 t=6 时，使得 △PQM 的面积是平行四边形 ABCD 面积的 38．
（3） 存在，理由如下：
∵P 在线段 MN 的垂直平分线上，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∵AB∥MN，AM∥BN，
∴ 四边形 ABNM 是平行四边形，
∴∠AMN=∠MNC=∠B=60∘，
∵∠PMD=90∘，∠NMD=120∘，
∴∠PMN=∠PNM=∠PNC=30∘，
∵∠C=120∘，
∴∠CPN=30∘=∠PNC，
∴NC=PC=DM=32t，
∴PC+DP=20，
∴32t+3t=20，
∴t=409，
∴ 当 t=409 s 时，使得 P 在线段 MN 的垂直平分线上．