2020年云南省昆明市西山区中考一模数学试卷

这是一份2020年云南省昆明市西山区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. −2020= ．

2. 分解因式：x3−9x= ．

3. 如图，直线 AB，CD 交于点 O，EO⊥AB，垂足为 O，∠EOC=35∘，则 ∠AOD= 度．

4. 若 x−20 有意义，则 x 的取值范围是 ．

5. 关于 x 的一元二次方程 x2+4x−2k=0 有两个相等的实数根，则 k 为 ．

6. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，以 A 为圆心，任意长为半径画弧交 AB，AC 于 M，N，再分别以 M，N 为圆心，大于 12MN 为半径画弧，两弧交于点 G，连接 AG，交边 BC 于 E，则 △AEC 的面积为 ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

8. 国家主席习近平强调，病毒无国界，疫情是人类的共同敌人，国际社会应该加紧行动起来，坚决打好新冠肺炎疫情防控全球阻击战．据报道，截至北京时间 3 月 30 日 9 时 20 分，全球新冠肺炎确诊病例突破 70 万例，除中国外累计确诊病例约为 633200 例．数字 633200 用科学记数法表示为
A. 6.332×106B. 63.32×104C. 6.332×105D. 6.332×104

9. 若 aA. a2−b5

10. 下列说法正确的是
A. 为了了解全国初中学生的眼睛近视情况，适宜采用全面调查
B. “五边形的内角和为 540∘”是必然事件
C. 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 s甲2=2.5，s乙2=0.8，说明甲的成绩比乙的成绩稳定
D. 数据 2，4，5，6，7 的平均数是 5

11. 下列运算正确的是
A. a+b2=a2+b2B. 5a−a=5
C. aa−2+22−a=1D. −2a2b3=−6a6b3

12. 圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为 20π，扇形的圆心角为 120∘，则圆锥的全面积为
A. 400πB. 500πC. 600πD. 700π

13. 某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为 2000 万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低 1 万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少 20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元?设今年第一季度每辆车的销售价格为 x 万元，根据题意列方程为
A. 2000x+1=20001+20%xB. 2000x+1=20001−20%x
C. 2000x−1=20001+20%xD. 2000x−1=20001−20%x

14. 如图，过点 C−3,4 的直线 y=−2x+b 交 x 轴于点 A，双曲线 y=mxx<0 过点 B，且 ∠ABC=90∘，AB=BC，则双曲线的解析式为
A. y=4xB. y=−4xC. y=6xD. y=−6x

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 计算：−12020+12−4cs30∘−2−1+3−8．

16. 如图，点 A，D，C，F 在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，AB∥DE．求证：BC=EF．

17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A0,3，B3,4，C2,2．
（1）画出 △ABC 关于 x 轴对称得到的 △A1B1C1，并写出 A1 和 B1 的坐标：
（2）画出以点 B 为位似中心，将 △ABC 放大 2 倍的位似图形 △A2B2C2（在网格线内作图）．

18. 4 月 23 日是世界读书日，某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读过程如下：
（1）[收集数据]从全校随机抽取 20 名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）
60，81，120，140，70，81，10，20，100，81
30，60，81，50，40，110，130，146，90，100
[整理数据]按如表分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间xmin0≤x<4040≤x<8080≤x<120120≤x<160等级DCBA人数3 8
（2）[分析数据]补全下列表格中的统计量：
平均数中位数众数80
（3）[结果运用]
（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间是什么等级?说明理由．
（2）如果该校现有学生 1000 人，估计等级为“B“的学生有多少名?．

19. 从 3 月 9 日开始，昆明向社会开放了四家公园：1 号郊野公园，2 号黑龙潭公园，3 号县华寺公园，4 号金殿公园，小明一家计划利用两天时间游览其中两个公园：第一天从 4 个公园中随机选择一个，第二天从余下的 3 个公园中再随机选择一个，且每个公园被选中的机会均等．
（1）第一天 1 号郊野公园被选中的概率是 ．
（2）利用列表或画树状图的方法求两天中 2 号黑龙谭公园被选中的概率．

20. 为了打好脱贫攻坚战，做好精准扶贫，某乡 2018 年投入资金 320 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020 年计划投入资金 720 万元．
（1）从 2018 年到 2020 年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
（2）在 2020 年异地安置的具体实施中，该乡计划投入资金不低于 160 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前 100 户（含第 100 户）每户每天奖励 8 元，100 户以后每户每天奖励 6 元，按租房 400 天计算，求 2020 年该乡至少有多少户可以享受到优先搬迁租房奖励?

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 M 是 BC 的中点，连接 OM，OC，AC．
（1）求证：OM∥AC；
（2）过点 C 作 ⊙O 的切线 CD，交 BM 的延长线于 D，当 ∠D=90∘，⊙O 的半径为 6，求 CD 的长．

22. 如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C0,3，对称轴为直线 x=2．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）直线 x=m 在线段 OB 上运动，分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N，当 MN 最大时，求 tan∠CNM 的值．

23. 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=α，点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 P 旋转 α 得到线段 DP，连接 AP，CD，BD．
（1）观察猜想：如图 1，当 α=60∘ 时，线段 CP 绕点 P 顺时针旋转 α 得到线段 DP，则 BDAP 的值是 ，直线 AP 与 BD 相交所成的较小角的度数是 ；
（2）类比探究：如图 2，当 α=90∘ 时，线段 CP 绕点 P 顺时针旋转 α 得到线段 DP．请直接写出 AP 与 BD 相交所成的较小角的度数，并说明 △BCD 与 △ACP 相似，求出 BDAP 的值；
（3）拓展延伸：当 α=90∘ 时，且点 P 到点 C 的距离为 13AC，线段 CP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，若点 A，C，P 在一条直线上时，求 BDAP 的值．
答案
第一部分
1. 2020
【解析】根据绝对值的概念可知：−2020=2020．
2. xx+3x−3
【解析】原式=xx2−9=xx+3x−3.
3. 125
【解析】∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90∘．
又 ∵∠COE=35∘，
∴∠COB=∠COE+∠BOE=125∘．
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD=125∘．
4. x≠2．
【解析】由题意，得 x−2≠0，解得 x≠2．
5. −2
【解析】根据题意得 Δ=42−4×−2k=0，
解得 k=−2．
6. 15
【解析】作 EF⊥AC 于 F，如图：
由题意得：AE 平分 ∠BAC，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=90∘，BC=AD=8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，EB⊥AB，
∵AE 平分 ∠BAC，
∴EF=EB，
在 Rt△AEF 和 Rt△AEB 中，
AE=AE,EF=EB,
∴Rt△AEF≌Rt△AEBHL，
∴AF=AB=6，
∴CF=AC−AF=4，
设 EF=EB=x，则 CE=8−x，
在 Rt△CEF 中，由勾股定理得：x2+42=8−x2，
解得：x=3，
∴EF=3，
∴△AEC 的面积 =12AC×EF=12×10×3=15．
第二部分
7. A【解析】从正面看第一层是 3 个小正方形，第二层左边一个小正方形．
8. C【解析】将 633200 用科学记数法表示为 6.332×105．
9. A【解析】（A）当 a=−3，b=1 时，此时 a2>b2，故A错误．
10. B
【解析】A．为了了解全国初中学生的眼睛近视情况，适宜采用抽样调查，故此选项错误；
B．“五边形的内角和为 540∘”是必然事件，正确；
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 s甲2=2.5，s乙2=0.8，说明乙的成绩比甲的成绩稳定，故此选项错误；
D．数据 2，4，5，6，7 的平均数是 245，故此选项错误．
11. C【解析】（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误．
（B）原式=4a，故B错误．
（D）原式=−8a6b3，故D错误．
12. A【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r，母线长为 l．
根据题意得 2πr=20π，解得 r=10，
20π=120×π×1180，解得 l=30．
∴ 圆锥的全面积 =π×102+12×20π×30=400π．
13. B【解析】设今年第一季度每辆车的销售价格为 x 万元，
则去年第四季度每辆车的销售价格为 x+1 万元．
依题意，得：2000x+1=20001−20%x．
14. B【解析】作 CD⊥x 轴于 D，BF⊥x 轴于 F，过 B 作 BE⊥CD 于 E，
∵ 过点 C−3,4 的直线 y=−2x+b 交 x 轴于点 A，
∴4=−2×−3+b，解得 b=−2，
∴ 直线为 y=−2x−2，
令 y=0，则求得 x=−1，
∴A−1,0，
∵BF⊥x 轴于 F，过 B 作 BE⊥CD 于 E，
∴BE∥x 轴，
∴∠ABE=∠BAF，
∵∠ABC=90∘，
∴∠ABE+∠EBC=90∘，
∵∠BAF+∠ABF=90∘，
∴∠EBC=∠ABF，
在 △EBC 和 △FBA 中，
∠EBC=∠ABF,∠BEC=∠BFA=90∘,BC=AB,
∴△EBC≌△FBAAAS，
∴CE=AF，BE=BF，
设 Ba,ka，
∵4−ka=−1−a，−3−a=ka，
∴4−−3−a=−1−a，
解得 a=−4，k=−4，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−4x．
第三部分
15. 原式=1+23−4×32−12−2=−32.
16. ∵AB∥DE，
∴∠A=∠EDF，
∵AC=AD+DC，DF=DC+CF 且 AD=CF，
∴AC=DF．
在 △ABC 和 △DEF 中，
AB=DE,∠A=∠EDF,AC=DF.
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴BC=EF．
17. （1） 如图所示：△A1B1C1 即为所求，A10,−3，B12,−1．
（2） 如图所示：△A2B2C2 即为所求．
18. （1） 5；4
【解析】[整理数据]按如表分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间xmin0≤x<4040≤x<8080≤x<120120≤x<160等级DCBA人数3584
（2） 81；81
【解析】[分析数据]补全下列表格中的统计量：
平均数中位数众数808181
（3） （1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是 81，平均数是 80，都是 B 等级，
故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为 B．
（2）∵1000×820=400，
∴ 该校现有学生 1000 人，估计等级为“B”的学生有 400 名．
19. （1） 14
（2） 画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中两天中 2 号黑龙谭公园被选中的结果数为 6，
∴ 两天中 2 号黑龙谭公园被选中的概率 =612=12．
20. （1） 设从 2018 年到 2020 年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为 x，
依题意，得：3201+x2=720，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5（不合题意，舍去）．
答：从 2018 年到 2020 年，该乡投入异地安置资金的年平均增长率为 50%．
（2） 设 2020 年该乡有 y 户可以享受到优先搬迁租房奖励，
依题意，得：8×400×100+6×400y−100≥1600000，
解得：y≥63313．
又 ∵y 为正整数，
∴y 的最小值为 634．
答：2020 年该乡至少有 634 户可以享受到优先搬迁租房奖励．
21. （1） ∵M 是 BC 的中点，
∴∠BOM=∠COM，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA=∠BOC=∠BOM+∠COM，即 2∠OAC=2∠BOM，
∴∠OAC=∠BOM，
∴OM∥AC．
（2） 连接 AM，与 OC 交于点 E，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CD，
∵∠D=90∘，
∴OC∥BD，
∴∠COM=∠BMO，
∵M 是 BC 的中点，
∴∠COM=∠BOM=∠BMO，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠BMO=∠BOM，
∴△OBM 为等边三角形，
∴∠COM=∠BOM=60∘，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠AMD=∠AMB=90∘，
∴ 四边形 OCDM 为矩形，
∴OC⊥AM，CD=EM，
∴CD=EM=OM⋅sin∠COM=6×32=33．
22. （1） 由题意，得 x=−b2=2，则 b=−4．
∴ 把点 C0,3 代入 y=x2+bx+c，得 c=3．
故该二次函数的表达式是 y=x2−4x+3．
（2） 令直线 x=m 与 x 轴交点为 P，则 Pm,0．
由 y=x2−4x+3=x−3x−1 得到 B3,0．
设 BC 的解析式为 y=kx+tk≠0，将 B3,0，C0,3 代入，
得 3k+t=0,t=3, 解得：k=−1,t=3.
故直线 BC 解析式是 y=−x+3，
∵ 点 Pm,0，
∴Mm,−m+3，Nm,m2−4m+3，
∴MN=−m+3−m2−4m+3=−m2+3m=−m−322+94，
∵−1<0，
∴ 当 m=32 时，线段 MN 取得最大值为 94．
∴P32,0．
如图，过点 C 作 CE⊥直线MN 于 E．
把 x=32 代入抛物线 y=x2−4x+3，
得 y=322−4×32+3=−34，即 N32,−34．
∴CE=32，EN=154．
∴tan∠CNM=tan∠CNE=CEEN=32154=25，即 tan∠CNM=25．
23. （1） 1；60∘
【解析】如图 1 中，延长 AP 交 BD 的延长线于 K，设 AK 交 BC 于 J．
∵AB=AC，PC=PD，∠BAC=∠CPD=60∘，
∴△ABC，△PCD 都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠PCD=60∘，
∴∠BCD=∠ACP，
∴△BCD≌△ACPSAS，
∴BD=PA，∠KBJ=∠CAJ，
∵∠KJB=∠CJA，
∴∠K=∠ACJ=60∘．
∴BDPA=1，直线 AP 与 BD 相交所成的较小角的度数是 60∘．
（2） 如图 2 中，设 BD 交 AC 于 O．
∵AB=AC，PC=PD，∠BAC=∠CPD=90∘，
∴△ABC，△PCD 都是等腰直角三角形，
∴CB=2CA，CD=2CP，∠ACB=∠PCD=45∘，
∴∠BCD=∠ACP，BCAC=CDCP，
∴△BCD∽△ACPSAS，
∴BDPA=BCAC=2，∠CBO=∠OAG，
∵∠COB=∠AOG，
∴∠AGB=∠OCB=45∘，
∴BDPA=2，直线 AP 与 BD 相交所成的较小角的度数是 45∘．
（3） 如图 3−1 中，当点 P 在 AC 的延长线上时，设 PC=m，则 AC=3m，PA=4m，
∵∠ACB=∠PCD=45∘，
∴∠BCD=90∘，
在 Rt△BCD 中，
∵BC=2AC=32m，CD=2PC=2m，
∴BD=BC2+CD2=32m2+2m2=25m，
∴BDPA=25m4m=52；
如图 3−2 中，当点 P 落在 AC 上时，设 PC=m，则 AC=3m，PA=2m，
∵∠ACB=∠ACD=45∘，
∴∠BCD=90∘，
∴BD=BC2+CD2=32m2+2m2=25m，
∴BDPA=25m2m=5．
综上所述，BDPA 的值为 52 或 5．