2020年天津市红桥区中考一模数学试卷

这是一份2020年天津市红桥区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −2×6 的结果等于
A. −12B. 12C. −4D. 4

2. sin60∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

3. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 北京大兴国际机场主航站楼和配套服务楼、停车楼总建筑规模约 1400000 m2．将 1400000 用科学记数法表示应为
A. 0.14×108B. 1.4×107C. 1.4×106D. 14×105

5. 如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 17 的值在
A. 1 和 2 之间B. 2 和 3 之间C. 3 和 4 之间D. 4 和 5 之间

7. 计算 2a−1a−1−1a−1 的结果是
A. 2B. 2a−2C. 1D. 2aa−1

8. 方程 x2+x−12=0 的两个根为
A. x1=−2，x2=6B. x1=−6，x2=2C. x1=−3，x2=4D. x1=−4，x2=3

9. 若点 A−3,y1，B−2,y2，C1,y3 都在反比例函数 y=−3x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y2
10. 如图在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=6，点 D 为 △ABC 内一点，∠BAD=15∘，AD=3，连接 BD，将 △ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，则 AF 的长为
A. 3B. 6C. 3D. 32

11. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠D=90∘，AB=5，AD=4，CD=3，点 P 是边 AD 上的动点，则 △PBC 周长的最小值为
A. 8B. 45C. 12D. 65

12. 对于一个函数，当自变量 x 取 a 时，其函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点．若二次函数 y=x2+2x+c（c 为常数）有两个不相等且都小于 1 的不动点，则 c 的取值范围是
A. c<−3B. −314

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 x2⋅x3 的结果等于 ．

14. 计算 7+37−3 的结果等于 ．

15. 不透明袋子中装有 9 个球，其中有 2 个红球、 4 个绿球和 3 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ．

16. 直线 y=3x−2 与 x 轴的交点坐标为 ．

17. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，则 sinθ 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均落在格点上．
（1）AC 的长等于 ；
（2）点 P 落在格点上，M 是边 BC 上任意一点，点 B 关于直线 AM 的对称点为 Bʹ，当 PBʹ 最短时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点 Bʹ，并简要说明点 Bʹ 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

19. 解不等式组 2x+1≥−3, ⋯⋯①3x−2≤4. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式 ①，得 ；
（II）解不等式 ②，得 ；
（III）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组和的解集为 ．

20. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的 m 的值为 ；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）若该校八年级学生有 200 人，估计参加社会实践活动时间大于 7 天的学生人数．

21. 已知 PA，PB 分别与 ⊙O 相切于点 A，B，∠APB=80∘，C 为 ⊙O 上一点．
（1）如图①，求 ∠ACB 的大小；
（2）如图②，AD 为 ⊙O 的直径，若 AB=BC，求 ∠DAC 的大小．

22. 如图，航拍无人机在 C 处测得正前方一栋建筑物顶部 A 处的仰角为 45∘，测得底部 B 的俯角为 31∘．已知该建筑物的高度 AB 为 32 m，根据测得的数据，计算此时航拍无人机距地面的高度 CD（结果保留整数）．
参考数据：tan31∘≈0.60．

23. 甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都让利酬宾，在甲商场按累计购物金额的 80% 收费；在乙商场累计购物金额超过 200 元后，超出 200 元的部分按 70% 收费．设小红在同一商场累计购物金额为 x 元，其中 x>200．
（1）根据题意，填写下表（单位：元）：
累计购物金额500700900⋯在甲商场实际花费560⋯在乙商场实际花费550⋯
（2）设小红在甲商场实际花费 y1 元，在乙商场实际花费 y2 元，分别求 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
（3）“五一”节期间小红如何选择这两家商场去购物更省钱?

24. 将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 O0,0，点 A8,0，点 C0,6．P 是边 OC 上的一点（点 P 不与点 O，C 重合），沿着 AP 折叠该纸片，得点 O 的对应点 Oʹ．
（1）如图①，当点 Oʹ 落在边 BC 上时，求点 Oʹ 的坐标；
（2）若点 Oʹ 落在边 BC 的上方，OʹP，OʹA 分别与边 BC 交于点 D，E．
①如图②，当 ∠OAP=30∘ 时，求点 D 的坐标；
②当 CD=OʹD 时，求点 D 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=ax2−2x+c（a，c 为常数，a≠0）与直线 y=kx+b 都经过 A0,−3，B3,0 两点，P 是该抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 Q．
（1）求此抛物线和直线 AB 的解析式；
（2）当点 P 在直线 AB 下方时，求 PQ+2BQ 取得最大值时点 P 的坐标；
（3）设该抛物线的顶点为 C，直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，当以点 P，Q，C，E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. A
4. C
5. B
6. D
7. A
8. D
9. B
10. B
11. D
12. C
第二部分
13. x5
14. 4
15. 29
16. 23,0
17. 55
第三部分
18. （1） 29
（2） 如图，连接 PA；取格点 M，N，连接 MN 交 PA 于点 Bʹ，则点 Bʹ 即为所求
19. x≥−2；x≤2；
−2≤x≤2
20. （1） 40；20
（2） ∵ 在这组样本数据中，5 出现了 14 次，出现的次数最多，
∴ 这组样本数据的众数为 5．
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6，有 6+62=6，
∴ 这组样本数据的中位数为 6．
观察条形统计图，x=5×14+6×8+7×10+8×4+9×440=6.4，
∴ 这组数据的平均数是 64．
（3） ∵ 在 40 名学生中，参加社会实践活动的时间大于 7 天的人数比例为 20%，
∴ 由样本数据，估计该校 200 名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于 7 天的人数比例约为 20%，于是，有 200×20%=40．
∴ 该校 200 名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于 7 天的人数约为 40 人．
21. （1） 如图，连接 OA，OB．
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即 ∠OAP=∠OBP=90∘．
∵∠APB=80∘．
∴ 在四边形 OAPB 中，∠AOB=360∘−∠OAP−∠OBP−∠APB=100∘．
∵ 在 ⊙O 中，∠ACB=12∠AOB．
∴∠ACB=50∘．
（2） 如图，连接 BD．
∵AD 为 ⊙O 的直径，
∴∠ABD=90∘．
由（I）知，∠ACB=50∘，
∴∠ADB=50∘．
∴∠BAD=90∘−∠ADB=40∘．
∵AB=BC，
∴∠CAB=∠ACB=50∘．
∴∠DAC=∠CAB−∠BAD=10∘．
22. 如图，过 C 作 CE⊥AB，垂足为 E．
根据题意，∠ACE=45∘，∠BCE=31∘，AB=32．
可得四边形 CDBE 为矩形，
∴EB=CD．
∵ 在 Rt△CBE 中，tan∠BCE=EBCE，
∴CE=BEtan31∘．
∵ 在 Rt△ACE 中，tan∠ACE=AECE，
∴AE=CE⋅tan45∘=CE．
∵AB=AE+EB，
∴BEtan31∘+BE=32．
∴CD=BE=32×tan31∘1+tan31∘≈12．
答：此时航拍无人机距地面的高度 CD 约为 12 m．
23. （1） 400，720；410，690．
（2） 根据题意，y1=0.8x，y2=200+x−200×0.7=0.7x+60．
（3） 设在甲、乙两个商场实际花费的差为 y 元，则 y=y1−y2=0.1x−60．
当 y=0 时，即 0.1x−60=0，得 x=600．
∴ 当 x=600 时，在甲、乙两个商场实际花费相同．
∵0.1>0，
∴y 随 x 的增大而增大．
∴ 当 200当 x>600 时，有 y>0，在乙商场购物更省钱．
24. （1） ∵ 点 A8,0，点 C0,6，OABC 为矩形，
∴AB=OC=6，OA=CB=8，∠B=90∘．
根据题意，由折叠可知 △AOP≌△AOʹP．
∴OʹA=OA=8．
在 Rt△AOʹB 中，BOʹ=OʹA2−AB2=27．
∴COʹ=BC−BOʹ=8−27．
∴ 点 Oʹ 的坐标为 8−27,6．
（2） ① ∵∠OAP=30∘，
∴∠OPA=60∘．
∵∠OPA=∠OʹPA，
∴∠CPD=180∘−∠OPA−∠OʹPA=60∘．
∵AO=8，
∴OP=OA⋅tan30∘=833．
∴CP=6−OP=6−833．
∴CD=CP⋅tan60∘=63−8．
∴ 点 D 的坐标为 63−8,6．
② 94,6．
25. （1） ∵ 抛物线经过 A0,−3，B3,0 两点，
∴9a−6+c=0,c=−3, 解得 a=1,c=−3.
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3．
∵ 直线经过 A0,−3，B3,0 两点，
∴3k+b=0,b=−3, 解得 k=1,b=−3.
∴ 直线 AB 的解析式为 y=x−3．
（2） 设 Pm,m2−2m−3，则 Qm,m−3．
根据题意，得 0 ∴PQ=m−3−m2−2m−3=−m2+3m．
设直线 PQ 与 x 轴交于点 H，则 Hm,0．
∵OA=OB=3，
∴∠OBA=45∘．
∴BQ=2BH=3−m2．
∴PQ+2BQ=−m2+3m+23−m=−m2+m+6=−m−122+254．
∴ 当 m=12 时，PQ+2BQ 取得最大值．
此时 P 点坐标为 12,−154．
（3） ∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 抛物线的顶点 C 的坐标为 1,−4．
∵CE∥y 轴，
∴E1,−2．
∴CE=2．
①当点 P 在直线 AB 下方时，四边形 ECPQ 为平行四边形，则 CE=PQ，
∴−m2+3m=2．
解得 m=2，m=1（舍去）．
∴ 点 P 的坐标为 2,−3．
②当点 P 在直线 AB 上方时，四边形 ECQP 为平行四边形，则 CE=PQ，
∴m2−3m=2．
解得 m=3−172，m=3+172．
∴ 点 P 的坐标为 3−172,1−172，3+172,1+172．
综上，点 P 点的坐标为 2,−3 或 3−172,1−172 或 3+172,1+172．