2021年北京市房山区燕山区中考一模数学试卷

这是一份2021年北京市房山区燕山区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 新版《北京市生活垃圾管理条例》于 2020 年 5 月 1 日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物，有害垃圾，其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

2. 2020 年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．经过 8 年持续奋斗，现行标准下近 100000000 农村贫困人口全部脱贫，832 个贫困县全部摘帽，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到历史性解决，书写了人类减贫史上的奇迹，将 100000000 用科学记数法表示为
A. 1.0×106B. 1.0×107C. 1.0×108D. 1.0×109

3. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，若 AD=2，AB=3，则 AEAC 等于
A. 14B. 13C. 12D. 23

4. 桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是
A. 15B. 23C. 25D. 35

5. 参加第六届京津冀羽毛球冠军挑战赛的一个代表队的年龄分别是 49，20，20，25，31，40，46，20，44，25，这组数据的平均数，众数，中位数分别是
A. 33，21，27B. 32，20，28C. 33，49，27D. 32，21，22

6. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，其三视图中面积最小的是
A. 左视图B. 俯视图C. 主视图D. 一样大

7. 下列数表中分别给出了变量 y 与 x 的几组对应值，其中是反比例函数关系的是
A. x1234y78910B. x1234y36912
C. D. x1234y4321

8. 二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在 4×4 的正方形网格中，白色正方形表示数字 0，黑色正方形表示数字 1，将第 i 行第 j 列表示的数记为 ai,j（其中 i，j 都是不大于 4 的正整数），例如，图中，a1,2=0．对第 i 行使用公式 Ai=ai,1×23+ai,2×22+ai,3×21+ai,4×20 进行计算，所得结果 A1，A2，A3，A4 分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，A3=a3,1×23+a3,2×22+a3,3×21+a3,4×20=1×8+0×4+0×2+1×1=9，A4=0×8+0×4+1×2+0×1=2，说明该居民住在 9 层，2 号房间，即 902 号．有下面结论：① a2,3=0；②图中代表的居民居住在 11 号楼；③ A2=3，其中正确的是
A. ③B. ①②C. ①③D. ①②③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 要使分式 5x−1 有意义，则 x 的取值范围为 ．

10. 中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘微的这种表示法，图①表示算式 +1+−1=0，则图②表示算式 ．

11. 如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，BC∥EF，AC=FD，请你添加一个条件 ，使得 △ABC≌△DEF．

12. 六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为

13. 方程组 x+y=1,3x−y=3 的解是 ．

14. 若关于 x 的一元二次方程 k−1x2+3x+k2−1=0 有一个解为 x=0，则 k= ．

15. 在国家统计局发布的我国 2020 年国民经济和社会发展统计公报中，给出了统计图 1 和图 2．
（1）估计 2021 年全年国内生产总值 GDP 是 亿元；
（2）利用你所学知识观察、分析、比较图 1 和图 2 中数据，写出 2016∼2020 年国内生产总值 GDP 和三次产业的占比的变化趋势是 ．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:y=x−1，双曲线 y=−1x，在 l 上取一点 A1，过 A1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B1，过 B1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A2，请继续操作并探究：过 A2 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2，过 B2 作 y 轴的垂线交 l 于点 A3，⋯，这样依次得到 l 上的点 A1，A2，A3，⋯，An，⋯，记点 An 的横坐标为 an，若 a1=−2，则 a2021= ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 a1 不能取的值是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin30∘+∣−2∣−270−13−1．

18. 解不等式组：2x+5>3x−1,3x>x+52.

19. 已知 m+2n=5，求代数式 4nm−2n+2÷mm2−4n2 的值．

20. 已知：如图 1，在 △ABC 中，∠CAB=60∘．求作：射线 CP，使得 CP∥AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图 2，
①以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AC，AB 于 D，E 两点；
②以点 C 为圆心，AD 长为半径作弧，交 AC 的延长线于点 F；
③以点 F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在 ∠FCB 内部交于点 P；
④作射线 CP．
∴ 射线 CP 就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△ ，
∴∠DAE=∠ ，
∴CP∥AB（ ）（填推理的依据）．

21. 已知，关于 x 的一元二次方程 x2+ax−a−1=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求 a 的取值范围．

22. 利用初中阶段我们学习函数知识的方法探究一下形如 y=x3 的函数：
（1）由表达式 y=x3，得出函数自变量 x 的取值范围是 ；
（2）由表达式 y=x3 还可以分析出，当 x≥0 时，y≥0，y 随 x 增大而增大；当 x<0 时，y 0，y 随 x 增大而 ．
（3）如图中画出了函数 y=x3x≥0 的图象，请你画出 x<0 时的图象；
（4）根据图象，再写出 y=x3 的一条性质 ．

23. 2020 年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线，集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战．其中，A社区有 500 名党员，为了解本社区 2 月 ∼3 月期间党员参加应急执勤的情况，A社区针对执勤的次数随机抽取 50 名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
应急执勤次数的频数分布表
次数x/次频数频率0≤x<1080.1610≤x<20100.2020≤x<3016b30≤x<40120.2440≤x<50a0.08
其中，应急执勤次数在 10≤x<20 这一组的数据是：10 10 11 12c 16 16 17 19 19，其中位数是 15．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）参加应急执勤次数最多的组是 ≤x< ；
（4）请估计 2 月 3 月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于 30 次的约有 人．

24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，且 AO=BO．
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）∠ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E，当 AD=3，tan∠CAB=34 时，求 AE 的长．

25. 如图， AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上的一点，点 D 是弧 BC 的中点，连接 AC ， BD ，过点 D 作 AC 的垂线 EF ，交 AC 的延长线于点 E ，交 AB 的延长线于点 F ．
（1）依题意补全图形；
（2）判断直线 EF 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（3）若 AB=5 ， BD=3 ，求线段 BF 的长．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2−2mx+m2−1．
（1）当 m=2 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含 m 的式子表示）；
②若点 m−1,y1，m,y2，m+3,y3 都在抛物线 y=x2−2mx+m2−1 上，则 y1，y2，y3 的大小关系为 ；
（3）直线 y=x+b 与 x 轴交于点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线 y=x2−2mx+m2−1 有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为 P，当 △OAP 为钝角三角形时，求 m 的取值范围．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，CD=3，P 是 CD 边上一动点（不与 D 点重合），连接 AP，点 D 与点 E 关于 AP 所在的直线对称，连接 AE，PE，延长 CB 到点 F，使得 BF=DP，连接 EF，AF．
（1）依题意补全图 1；
（2）若 DP=1，求线段 EF 的长；
（3）当点 P 在 CD 边上运动时，能使 △AEF 为等腰三角形，直接写出此时 △DAP 的面积．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 G1，G2 给出如下定义：点 P 为图形 G1 上一点，点 Q 为图形 G2 上一点，当点 M 是线段 PQ 的中点时，称点 M 是图形 G1，G2 的“中立点”．如果点 Px1,y1，Qx2,y2，那么“中立点”M 的坐标为 x1+x22,y1+y22．已知，点 A−3,0，B4,4，C4,0．
（1）连接 BC，在点 D12,0，E0,1，F12,12 中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是 ；
（2）已知点 G3,0，⊙G 的半径为 2．如果直线 y=x−1 上存在点 K 可以成为点 A 和 ⊙G 的“中立点”，求点 K 的坐标；
（3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆．点 N 为直线 y=2x+4 上的一点，如果存在点 N，使得 y 轴上的一点可以成为点 N 与 ⊙C 的“中立点”．直接写出点 N 的横坐标 n 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】“厨余垃圾”标识是轴对称图形；
“可回收物”标识不是轴对称图形；
“有害垃圾”标识是轴对称图形；
“其他垃圾”标识不是轴对称图形；
可看作轴对称图形的有 2 个．
2. C
3. D
4. C
5. B
6. A
7. C
8. B
第二部分
9. x≠1
【解析】∵ 分式 5x−1 有意义，
∴x−1≠0，解得 x≠1．
10. +3+−2=1
11. 略（写一个就行）
12. 360∘
13. x=1,y=0
14. −1
15. 1039353.678，国内生产总值 GDP 在 2019 年之前上升趋势，2019 年 2020 年有所下降，但是三个产业的占比的变化趋势基本平稳
16. 32，a1 不能取的值是 1，0
第三部分
17. 2sin30∘+∣−2∣−270−13−1=2×12+2−1−3=−1.
18. 原不等式组为：
2x+5>3x−1, ⋯⋯①6x>x+5. ⋯⋯②
解不等式①，得
x<8,
解不等式②，得
x>1,∴
原不等式组的解集为 119. 4nm−2n+2÷mm2−4n2=4n+2m−2nm−2n×m+2nm−2nm=4n+2m−4nm−2n×m+2nm−2nm=2m1×m+2nm=2m+4n.
原式=25．
20. （1） 如图所示．
（2） CFP；FCP；同位角相等两直线平行
21. （1） ∵Δ=a2−4−a−1=a+22≥0，
∴ 有两个不相等的实数根．
（2） x−1x+a+1=0，
∴x−1=0，x+a+1=0，
∴x=1，x=−a+1，
∴a+1>0，a>−1，
a 的取值范围是 a>−1．
22. （1） 任意实数
（2） <；增大
（3） 画出另一部分的图象，如图所示：
（4） 图象关于原点对称
23. （1） 4；0.32；14
（2） 频数分布直方图：略
（3） 20；30
（4） 160
24. （1） ∵ 平行四边形 ABCD，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴ 平行四边形 ABCD 为矩形．
（2） 过点 E 作 EG⊥BD 于点 G，
∵DE 为 ∠ADB 的角平分线，且 ∠DAB=90∘，
∴EG=EA，
∵AO=BO，
∴∠CAB=∠ABD，
∵AD=3，tan∠CAB=34，
∴tan∠CAB=tan∠ABD=34，
∴AB=4，
∴sin∠CAB=sin∠ABD=35，
设 AE=x，则 BE=4−x，
在 △BEG 中，∠BGE=90∘，
∴x4−x=35，
解得 AE=x=32．
25. （1） 画图．
（2） 相切，理由如下：
连接 OD ，
因为点 D 是弧 BC 的中点，
所以 ∠BOD=∠FAE ．
所以 OD∥AE ．
所以 ∠FDO=∠E ．
因为 AE⊥EF ，
所以 ∠E=90∘ ．
所以 ∠FDO=90∘ ．
所以直线 EF 是 ⊙O 的切线．
（3） 连接 AD ．
因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以 ∠ADB=90∘ ．
因为 AB=5 ， BD=3 ，
所以 AD=4 ．
所以 AE=3.2 ．
设 BF=x ，
则 OE=2.5+x ， AF=5+x ，
所以 2.52.5+x=3.25+x ．
所以 x=457 ．
所以 BF=457 ．
26. （1） ∵ 抛物线为 y=x2−2mx+m2−1，
∴ 当 m=2 时，y=x2−4x+3=x−1x−3，
∴ 抛物线的顶点坐标是 2,−1．
（2） ①抛物线的对称轴是 x=m；
② y3>y1>y2
（3） ①当 ∠OAP=90∘，抛物线经过点 P−3,3，
∴m1=−1，m2=−5（舍）．
②当 ∠AOP=90∘，抛物线经过点 P0,3，
∴m1=−2（舍），m2=2．
∴ 若 △OAP 为钝角三角形，m 的取值范围 m<−1 或 m>2．
27. （1） 补全图形如图 1 所示．
（2） 如图 2，连接 BP．
∵ 点 D 与点 E 关于 AP 所在的直线对称，
∴AE=AD，∠PAD=∠PAE．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=90∘．
又 ∵DP=BF，
∴△ADP≌△ABF．
∴AF=AP，∠FAB=∠PAD．
∴∠FAB=∠PAE．
∴∠FAB+∠BAE=∠PAE+∠BAE．
∴∠FAE=∠PAB．
∴△FAE≌△PABSAS．
∴EF=BP．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD=AB=3．
∵DP=1，
∴CP=2．
∴ 在 Rt△BCP 中，BP=CP2+BC2=13．
EF=13．
（3） 当点 P 在 CD 边上运动时，若使 △AEF 为等腰三角形，则 △DAP 的面积是 92 或 94．
28. （1） 点 D，点 F
（2） 点 A 和 ⊙G 的“中立点”在以点 O 为圆心、半径为 1 的圆上运动．
∵ 点 K 在直线 y=x−1 上，如图所示，
∴ 点 K 的坐标为 0,−1 或 1,0．
（3） 点 N 的横坐标的取值范围为 −6≤xN≤−2．
【解析】