2020年北京市东城区中考一模数学试卷

这是一份2020年北京市东城区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2019 年上半年北京市实现地区生产总值 15212.5 亿元，同比增长 6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据 15212.5 用科学计数法表示应为
A. 1.52125×105B. 1.52125×104C. 0.152125×105D. 0.152125×106

2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 长方体B. 正方体C. 球D. 圆柱

3. 如图，将一块含有 30∘ 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上．若 ∠1=48∘，那么 ∠2 的度数是
A. 48∘B. 78∘C. 92∘D. 102∘

4. 将 2a2−8 分解因式，结果正确的是
A. 2a2−4B. 2a−22
C. 2a+2a−2D. 2a+22

5. 点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC=1，OA=OB，若点 C 所表示的数为 a，则点 B 所表示的数为
A. −a+1B. −a−1C. a+1D. a−1

6. 已知锐角 ∠AOB，如图．
（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 MN，交射线 OB 于点 D，连接 CD；
（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 CP，DP；
（3）作射线 OP 交 CD 于点 Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A. CP∥OBB. CP=2QC
C. ∠AOP=∠BOPD. CD⊥OP

7. 将 4 张长为 a 、宽为 ba>b 的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为 a+b 的正方形，图中空白部分的面积之和为 S1，阴影部分的面积之和为 S2．若 S1=53S2，则 a，b 满足
A. 2a=5bB. 2a=3bC. a=3bD. a=2b

8. 党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为 2020 年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．
（以上数据来源于国家统计局）
根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是
A. 2018 年中部地区农村贫困人口为 597 万人
B. 2017∼2019 年，农村贫困人口数量都是东部最少
C. 2016∼2019 年，农村贫困人口减少数量逐年增多
D. 2017∼2019 年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 2x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 随机从 1，2，3，4 中任取两个不同的数，分别记为 a 和 b，则 a+b>4 的概率是 ．

11. 若 x2+x−3=0，则代数式 2x−2x+2−xx−1 的值是 ．

12. 如果一个正 n 边形的每个内角为 108∘，那么这个正 n 边形的边数为 ．

13. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何?”其译文是：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值 50 钱；行酒（劣质酒）1 斗，价值 10 钱．现有 30 钱，买得 2 斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为 x 斗，行酒为 y 斗，则可列二元一次方程组为 ．

14. 如图，半径为 3 的 ⊙O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB ， BC 都相切，连接 OC ，则 tan∠OCB= ．

15. 甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程 s（米）与时间 t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：
①乙队率先到达终点；
②甲队比乙队多走了 126 米；
③在 47.8 秒时，两队所走路程相等；
④从出发到 13.7 秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．
所以正确判断的序号是 ．

16. 从 −1，0，2，3 四个数中任取两个不同的数（记作 ak，bk）构成一个数对 Mk=ak,bk（其中 k=1,2,⋯,s，且将 ak,bk 与 bk,ak 视为同一个数对），若满足：对于任意的 Mi=ai,bi 和 Mj=aj,bj（i≠j，1≤i≤s，1≤j≤s）都有 ai+bi≠aj+bj，则 s 的最大值是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−3−3−π0+2cs60∘+12−1．

18. 解不等式组：2x−6<3x,x+25−x−14≥0.

19. 观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．
解分式方程：1−x−32x+2=3xx+1．
解：去分母，得 2x+2−x−3=3x. ⋯⋯ 步骤 1
去括号，得 2x+2−x−3=3x. ⋯⋯ 步骤 2
移项，得 2x−x−3x=2−3. ⋯⋯ 步骤 3
合并同类项，得 −2x=−1. ⋯⋯ 步骤 4
解得 x=12. ⋯⋯ 步骤 5
∴ 原分式方程的解为 x=12. ⋯⋯ 步骤 6

20. 已知关于 x 的方程 ax2+2x−3=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 a 的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为 1，求 a 的值及方程的另一个实数根．

21. 如图，在菱形 ABCD 中，BE⊥CD 于点 E，DF⊥BC 于点 F．
（1）求证：BF=DE；
（2）分别延长 BE 和 AD，交于点 G，若 ∠A=45∘ 时，求 DGAD 的值．

22. 如图，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象与反比例函数 y=mxm≠0,x>0 的图象在第一象限交于点 A，B，且该一次函数的图象与 y 轴正半轴交于点 C，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 D，E．已知 A1,4，CDCE=14．
（1）求 m 的值和一次函数的解析式；
（2）若点 M 为反比例函数图象在 A，B 之间的动点，作射线 OM 交直线 AB 于点 N，当 MN 长度最大时，直接写出点 M 的坐标．

23. 如图，直线 l 与 ⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，与 ⊙O 相交于点 P，OA=5．C 是直线 l 上一点，连接 CP 并延长，交 ⊙O 于点 B，且 AB=AC．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线；
（2）若 tan∠ACB=12，求线段 BP 的长．

24. 人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及制定各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口统计数据的部分信息．
a．2018 年中国大陆（不含港澳台）31 个地区人口数量（单位：千万人）频数分布直方图（数据分成 6 组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12）：
b．人口数量在 2≤x<4 这一组的是：2.2，2.4，2.5，2.5，2.6，2.7，3.1，3.6，3.7，3.8，3.9，3.9．
c．2018 年中国大陆（不含港澳台）31 个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：
d．下表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：
0−14岁人口比例15−59岁人口比例60岁及以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1%5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%
e．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高 >50‰，最低 <20‰，2018 年我国人口出生率降低至 10.94‰，比 2017 年下降 1.43 个千分点．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2018 年北京人口为 2.2 千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第 位．
（2）人口增长率 = 人口出生率 − 人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在 2018 年出现负增长的地区有 个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为 千万人（保留小数点后一位）．
（3）下列说法中合理的是 ．
①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．

25. 如图，P 是线段 AB 上的一点，AB=6 cm，O 是 AB 外一定点．连接 OP，将 OP 绕点 O 顺时针旋转 120∘ 得 OQ，连接 PQ，AQ．
小明根据学习函数的经验，对线段 AP，PQ，AQ 的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AP，PQ，AQ 的长度（单位：cm）的几组值，如下表：
位置 1位置 2位置 3位置 4位置 5位置 6位置
在 AP，PQ，AQ 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 AQ=PQ 时，线段 AP 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线 y=ax 与抛物线 y=ax2−2ax−1a≠0 围成的封闭区域（不包含边界）为 W．
（1）求抛物线顶点坐标（用含 a 的式子表示）；
（2）当 a=12 时，写出区域 W 内的所有整点坐标；
（3）若区域 W 内有 3 个整点，求 a 的取值范围．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，M 是 CD 边上一动点（不与 D 点重合），点 D 与点 E 关于 AM 所在的直线对称，连接 AE，ME，延长 CB 到点 F，使得 BF=DM，连接 EF，AF．
（1）依题意补全图 1；
（2）若 DM=1，求线段 EF 的长；
（3）当点 M 在 CD 边上运动时，能使 △AEF 为等腰三角形，直接写出此时 tan∠DAM 的值．

28. 在 △ABC 中，CD 是 △ABC 的中线，如果 CD 上的所有点都在 △ABC 的内部或边上，则 CD 称为 △ABC 的中线弧．
（1）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，D 是 AB 的中点．
①如图 1，若 ∠A=45∘，画出 △ABC 的一条中线弧 CD，直接写出 △ABC 的中线弧 CD 所在圆的半径 r 的最小值；
②如图 2，若 ∠A=60∘，求出 △ABC 的最长的中线弧 CD 的弧长 l．
（2）在平面直角坐标系中，已知点 A2,2，B4,0，C0,0，在 △ABC 中，D 是 AB 的中点．求 △ABC 的中线弧 CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. C
5. B
6. A
7. C
8. C
第二部分
9. x≥12
10. 23
11. −5
12. 5
13. 50x+10y=30,x+y=2
14. 35
15. ③④
16. 5
第三部分
17. 原式=3−1+1+2=3+2.
18.
2x−6<3x, ⋯⋯①x+25−x−14≥0. ⋯⋯②
由 ① 得，
x>−6.
由 ② 得，
x≤13.∴
不等式的解集为
−619. 错误的步骤是：第一步、第二步、第三步、第六步，理由略．
正确的结果是 x=1．
20. （1） ∵ 关于 x 的方程 ax2+2x−3=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，且 a≠0．即 22−4a⋅−3>0，且 a≠0．
∴a>−13 且 a≠0．
（2） 将 x=1 代入方程 ax2+2x−3=0，解得 a=1．
将 a=1 代入方程 ax2+2x−3=0，解方程得 x1=1，x2=−3．
∴ 方程的另一个根为 x=−3．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴CB=CD．
又 ∵BE⊥CD 于点 E，DF⊥BC 于点 F，
∴∠BEC=∠DFC=90∘．
∵∠C=∠C，
∴△BEC≌△DFC．
∴EC=FC．
∴BF=DE．
（2） 设 AD=2a．
∵∠A=45∘，
∴△DEG 和 △BEC 都是等腰直角三角形．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴DGAD=DGBC=DECE．
可求出 CE=a，DE=2−1a．
∴DGAD=2−1．
22. （1） 将点 A4,1 代入 y=mx，得 m=4．
∴ 反比例函数解析式为 y=4x．
∵BE⊥y 轴，AD⊥y 轴，
∴∠CEB=∠CDA=90∘．
∴△CDA∽△CEB．
∴CDCE=ADBE．
∵CDCE=14，
∴BE=4AD．
∵A1,4，
∴AD=1．
∴BE=4．
∴xB=4．
∴yB=4x=1．
∴B4,1．
将 A1,4，B4,1 代入 y=kx+b，
得 k+b=4,4k+b=1, 解得 k=−1,b=5.
∴ 一次函数的解析式为 y=−x+5．
（2） 当 MN 长度最大时，点 M 的坐标为 2,2．
23. （1） 如图，连接 OB，则 OP=OB．
∴∠OBP=∠OPB=∠CPA．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC．
而 OA⊥l，即 ∠OAC=90∘．
∴∠ACB+∠CPA=90∘．
即 ∠ABP+∠OBP=90∘．
∴∠ABO=90∘，
∴OB⊥AB，故 AB 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵tan∠ACB=12，
∴ 在 Rt△ACP 中，设 AP=x，AC=2x．
∵OA=5，
∴OP=5−x．
∴OB=5−x．
∵AB=AC，
∴AB=2x．
∵∠ABO=90∘，
由勾股定理，得 OB2+AB2=OA2．
即 5−x2+2x2=52，解得 x=2．
∴AP=2．
∴OB=OP=3．
∴AB=AC=4．
∴CP=25．
过 O 作 OD⊥PB 于 D．
在 △ODP 和 △CAP 中，
∵∠OPD=∠CPA，∠ODP=∠CAP=90∘，
∴△ODP∽△CAP．
∴PDPA=OPCP=ODCA．
∴PD=OP⋅PACP=355．
∴BP=2PD=655．
24. （1） 6
（2） 2；3.8
（3） ①②
25. （1） AP；PQ；AQ
（2） 如图所示．
（3） 3.07
26. （1） y=ax2−2ax−1=ax−12−a−1．
∴ 抛物线顶点坐标为 1,−a−1．
（2） 当 a=12 时，画出直线 y=12x 和抛物线 y=12x2−x−1 围成的封闭区域 W．
∴ 区域 W 内的所有整点坐标分别为 1,0，2,0，1,−1，3,1．
（3） ① a>0，
当 a=12 时，区域 W 内的所有整点有 4 个；
当 a>12 时，区域 W 内的所有整点多于 3 个；
当 13当 a=13 时，区域 W 内的所有整点有 3 个；
当 0② a<0，
当 −1≤a<0 时，区域 W 内的所有整点有 0 个；
当 a<−32 时，区域 W 内的所有整点多于 3 个．
∴ 区域 W 内有 3 个整点，a 的取值范围是 −32≤a<−1．
综上，a 的取值范围是 a=13 或 −32≤a<−1．
27. （1） 补全图形如图 1 所示．
（2） 如图 2，连接 BM．
∵ 点 D 与点 E 关于 AM 所在的直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，
∠D=∠ABF=90∘，
又 ∵DM=BF，
∴△ADM≌△ABF，
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．
∴∠FAB=∠MAE，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE=∠MAB．
∴△FAE≌△MABSAS．
∴EF=BM．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD=AB=3．
∵DM=1，
∴CM=2．
∴ 在 Rt△BCM 中，BM=CM2+BC2=13，
∴EF=13．
（3） 当点 M 在 CD 边上运动时，若使 △AEF 为等腰三角形，则 tan∠DAM=1或12．
28. （1） ①如图（答案不唯一）．
中线弧 CD 所在圆的半径 r 的最小值为 12；
②当中线弧 CD 所在圆与 AC，AB 都相切时，中线弧 CD 的弧长 l 最大．
如图，此时中线弧 CD 所在圆的圆心在 BC 上，半径为 33．
∴ 最大弧长 l=120360×2π33=239π．
（2） △ABC 的中弧线 CD 所在圆的圆心 P 在 CD 的垂直平分线上．
如图，若中弧线 CD 在 CD 下方，
当中弧线 CD 所在圆与 BC 相切时，可得圆心 P 的坐标为 0,5．
∴△ABC 的中弧线 CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标 t≥5；
如图，若中弧线 CD 在 CD 上方，
当中弧线 CD 所在圆与 AC 相切时，可得圆心 P 的坐标为 52,−52．
∴△ABC 的中弧线 CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标 t≤−52．
综上，△ABC 的中弧线 CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标 t 的取值范围为 t≥5 或 t≤−52．