2019-2020学年北京顺义区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京顺义区九上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2019 年 6 月 5 日 12 时 06 分，长征十一号运载火箭在我国黄海海域成功实施首次海上发射，以“一箭七星”方式，将七颗卫星送入约 600000 米高度的圆轨道，填补了我国运载火箭海上发射空白，将 600000 用科学记数法表示应为
A. 0.6×106B. 6×106C. 6×105D. 600×103

2. 下列多边形中，内角和是外角和的 2 倍的是
A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形

3. 如图，AD，BC 相交于点 O，由下列条件不能判定 △AOB 与 △DOC 相似的是
A. AB∥CDB. ∠A=∠DC. OAOD=OBOCD. OAOD=ABCD

4. 【例 2 】关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是
A. 将 y=−2x2+1 的图象向下平移 3 个单位得到 y=−2x2−2 的图象
B. 将 y=−2x−12 的图象向左平移 3 个单位得到 y=−2x+22 的图象
C. 将 y=−2x2 的图象沿 x 轴翻折得到 y=2x2 的图象
D. 将 y=−2x−12+1 的图象沿 y 轴翻折得到 y=−2x+12−1 的图象

5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=60∘，则 sinA+csB 的值为
A. 14B. 3C. 1+32D. 34

6. 已知直线 l 及直线 l 外一点 P，如图，
（1）在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A，B 两点；
（2）连接 PA，以点 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q；
（3）作直线 PQ，连接 BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A. AP=BQB. PQ∥AB
C. ∠ABP=∠PBQD. ∠APQ+∠ABQ=180∘

7. 如图，在正方形网格上有 5 个三角形（三角形的顶点均在格点上）．① △ABC，② △ADE，③ △AEF，④ △AFH，⑤ △AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是
A. ②④B. ②⑤C. ③④D. ④⑤

8. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 1,0，且对称轴为直线 x=−1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：① abc<0；② 2a+b=0；③ 9a−3b+c=0；④若 m>n>0，则 x=m−1 时的函数值小于 x=n−1 时的函数值．其中正确结论的序号是
A. ①③B. ②④C. ②③D. ③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 m2m+6 有意义，则 m 的取值范围是 ．

10. 若一个反比例函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）

11. 如图，⊙O 的直径 AB=10，弦 CD⊥AB 于点 E，若 BE=2，则 CD 的长为 ．

12. 如图，分别以线段 BD 的端点 B，D 为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于 A，C 两点，连接 AB，AD，CB，CD．若 AB=2，BD=23，则四边形 ABCD 的面积为 ．

13. 小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端，如果此时小明与镜子的距离是 2 m，镜子与建筑物的距离是 20 m．他的眼睛距地面 1.5 m，那么该建筑物的高是 ．

14. 已知，如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在抛物线 y=x2−4x+6 上运动，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，以 AC 为对角线作正方形 ABCD，则正方形的边长 AB 的最小值是 ．

15. 在 △ABC 中，∠A=30∘，AB=23，AC=6，则 BC 的长为 ．

16. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形内切圆的直径是 步．”

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin30∘−1−3−cs45∘+12．

18. 解不等式组：2x+4>0,9−4x−1>1.

19. 先化简，再求值：
3x+23x−2−5xx−1−2x+12，其中 x=−3．

20. 如图，矩形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上的一点，且 AB2=AE⋅DE．求证：BE⊥CE．

21. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 30∘ 方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东 45∘ 方向上的 B 处．
（1）问 B 处距离灯塔 P 有多远?（结果精确到 0.1 海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线 PB 上，距离灯塔 150 海里的点 O 处．圆形暗礁区域的半径为 60 海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达 B 处是否有触礁的危险?如果海伦从 B 处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险?并说明理由．（参考数据：2≈1414,3≈1.732 ）

22. 如图，在等腰三角形 ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，D 是 BC 边上的一个动点（不与 B，C 重合），在 AC 边上取一点 E，使 ∠ADE=45∘．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）设 BD=x，AE=y．
①求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围．
②求 y 的最小值．

23. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘．BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，交 △ABC 的外接圆于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F．请补全图形后完成下面的问题：
（1）求证：EF 是 △ABC 外接圆的切线．
（2）若 BC=5，sin∠ABC=1213，求 EF 的长．

24. 如图，A 是 BC 上一动点，D 是弦 BC 上一定点，连接 AB，AC，AD．设线段 AB 的长是 x cm，线段 AC 的长是 y1 cm，线段 AD 的长是 y2 cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化的关系进行了探究．
下面是小腾的研究过程，请补充完整．
（1）对于点 A 在 BC 上不同位置，画图、测量，得到了 y1，y2 的长度与 x 的几组值：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置
请直接写出上表中的 m 值是 ．
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后表中各组数据所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象．
（3）结合函数图象，解决问题：
①当 AC=AD 时，AB 的长度约为 cm．
②当 AC=2AD 时，AB 的长度约为 cm．

25. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A0,2，正方形 OABC 的顶点 B 在函数 y=kxk≠0,x<0 的图象上，直线 l:y=−x+b 与函数 y=kxk≠0,x<0 的图象交于点 D，与 x 轴交于点 E．
（1）求 k 的值．
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当一次函数 y=−x+b 的图象经过点 A 时，直接写出 △DCE 内的整点的坐标．
②若 △DCE 内的整点个数恰有 6 个，结合图象，求 b 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=1mx2+nx−m 与 y 轴交于点 A，将点 A 向左平移 3 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上．
（1）求点 B 的坐标（用含 m 的式子表示）．
（2）求抛物线的对称轴．
（3）已知点 P−1,−m，Q−3,1．若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 m 的取值范围．

27. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上运动，从点 A 出发向点 D 运动，到达 D 点停止运动，作射线 CE，并将射线 CE 绕着点 C 逆时针旋转 45∘，旋转后的射线与 AB 边交于点 F，连接 EF．

（1）依题意补全图形．
（2）猜想线段 DE，EF，BF 的数量关系并证明．
（3）过点 C 作 CG⊥EF，垂足为点 G，若正方形 ABCD 的边长是 4，请直接写出点 G 运动的路线．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P 和点 P1 关于 x 轴对称，点 P1 和点 P2 关于直线 l 对称，则称点 P2 是点 P 关于 x 轴，直线 l 的二次对称点．
（1）如图 1，点 A0,−1．
①若点 B 是点 A 关于 x 轴，直线 l:x=2 的二次对称点，则点 B 的坐标为 ．
②点 C−4,1 是点 A 关于 x 轴，直线 l2:x=a 的二次对称点，则 a 的值为 ．
③点 D−1,0 是点 A 关于 x 轴，直线 l3 的二次对称点，则直线 l3 的表达式为 ．
（2）如图 2，⊙O 的半径为 2，若 ⊙O 上存在点 M，使得点 Mʹ 是点 M 关于 x 轴，直线 l4:x=b 的二次对称点，且点 Mʹ 在射线 y=3xx≥0 上，b 的取值范围是 ．
（3）E0,t 是 y 轴上的动点，⊙E 的半径为 2，若 ⊙E 上存在点 N，使得点 Nʹ 是点 N 关于 x 轴，直线 l5:y=33x 的二次对称点，且点 Nʹ 在 x 轴上，求 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】600000 用科学记数法表示应为 6×105．
2. A【解析】根据题意，得 n−2⋅180=720，解得：n=6．
3. D【解析】A选项：
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
故A能证明 △AOB∽△DOC；
B选项：
∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
故B能证明 △AOB∽△DOC；
C选项：
∵OAOD=OBOC，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
故C能证明 △AOB∽△DOC；
D选项：
由 OAOD=ABCD 无法证明 △AOB 与 △DOC 相似．
4. D【解析】A、将 y=−2x2+1 的图象向下平移 3 个单位得到 y=−2x2−2 的图象，故A选项不符合题意；
B、将 y=−2x−12 的图象向左平移 3 个单位得到 y=−2x+22 的图象，故B选项不符合题意；
C、将 y=−2x2 的图象沿 x 轴翻折得到 y=2x2 的图象，故C选项不符合题意；
D、将 y=−2x−12+1 的图象沿 y 轴翻折得到 y=−2x+12+1 的图象，故D选项符合题意．
故选：D．
5. B
【解析】∵∠C=90∘，∠A=60∘，
∴∠B=180∘−∠C−∠A=30∘，
∴sinA+csB=sin60∘+cs30∘=32+32=3.
故选B．
6. C【解析】依题意可得 AP=BQ，故A正确；
∴AP=BQ，
∴∠ABP=∠BPQ，
∴AB∥PQ，故B正确；
由圆内接四边形可知，
∠APQ+∠ABQ=180∘，故D正确；
只有选项C中结论无法由已知推理得到．
7. A【解析】设格点正方形边长为 1，
∴AB=2，BC=2，AC=10，AD=1，DE=2，AE=5，EF=1，AF=22，FH=2，AH=25，HG=22，AG=6，
∵ABAD=21=2，BCDE=22=2，ACAE=105=2，
∴ABAD=BCDE=ACAE，
∴△ABC∽△ADE，
∵ABEF=2，BCAE=25=255，ACAF=1022=52，
∴ABEF≠BCAE≠ACAF，
∴△ABC 与 △AEF 不相似，
∵ABFH=22，BCAF=222=22，ACAH=1025=22，
∴ABFH=BCAF=ACAH，
∴△ABC∽△HFA，
∵ABHG=222=12，BCAH=225=55，ACAG=106，
∴ABHG≠BCAH≠ACAG，
∴△ABC 与 △AHG 不相似，
∴ 与 △ABC 相似的是② △ADE，④ △AFH．
8. D【解析】∵ 抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∵ 对称轴为直线 x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∴abc>0，故①错误；
∵2a=b，
∴2a−b=0，故②错误；
∵ 对称轴为直线 x=−1，与 x 轴一个交点 1,0，
∴ 另一个交点为 −3,0，
把 −3,0 代入 y=ax2+bx+c 中，
得 9a−3b+c=0，故③正确；
∵m>n>0，
∴m−1>n−1>−1，
∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线 x=−1，
∴x>−1，时，y 随 x 增大而减小，
∴x=m−1 时函数值小于 x=n−1 时的函数值，故④正确．
综上③④正确．
第二部分
9. m≠−3
【解析】因为若分式 m2m+6 有意义，
所以 2m+6≠0，
解的：m≠−3．
故答案为：m≠−3．
10. y=1x（答案不唯一）
【解析】∵ 反比例函数图象的每支上，y 随 x 的增大而减小．
∴k>0，只要答案中 k>0 都是正确的，例如：y=1x．
11. 8
【解析】连接 OC，
在 Rt△OCE 中，OC=12×10=5
根据勾股定理，得：CE=OC2−OE2=52−32=4，
再根据垂径定理，得 CD=2CE=8．
12. 23
【解析】
由作图可知 AC 是线段 BD 的中垂线，
∵AB=AD=BC=CD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形，
∵AB=2，BD=23，
∴S菱形ABCD=12×AB×BD=12×2×23=23.
故答案为 23．
13. 15 m
【解析】由题意得，CD=2 m，ED=1.5 m，AC=20 m，∠ECF=∠BCF，
∴∠ECD=∠BCA，
∴△EDC∽△BAC，
∴EDBA=DCAC，
∴1.5BA=220，
∴AB=15 m，即建筑物高度为 15 m．
14. 2
【解析】∵ y=x2−4x+6=x−22+2，
∴ 抛物线的顶点坐标为 2,2，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ BD=AC，
∴ AC⊥x 轴，
∴ AC 的长等于点 A 的纵坐标，
当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 2，
∴ 对角线 AC 的最小值为 2，
则由勾股定理得：
AB2+BC2=AC2，
2AB2=AC2，
AB2=222=2，
∴ AB=2，
故答案为：2．
15. 23
【解析】过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
因为 ∠A=30∘，∠ADB=90∘，AB=23，
所以 BD=12AB=3，
所以 AD=3BD=3，
所以 AC=6，
所以 CD=AC−AD=3，
所以 AD=CD=3，
所以 BD⊥AC，
所以 BC=AB=23，
故答案为 23 .
16. 6
【解析】根据勾股定理得：斜边为 82+152=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 r=8+15−172=3（步），即直径为 6 步．
第三部分
17. 原式=2×12−3−1−22+22=1−3+1=2−3.
18. −2【解析】解不等式 2x+4>0 得，x>−2，
解不等式 9−4x−1>1 得，
9−4x+4>1，
x<3，
故原不等式组的解集为：−219. 原式=9x2−4−5x2+5x−4x2−4x−1=x−5,
当 x=−3 时，原式=−3−5=−8．
20. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠D=90∘，AB=CD．
∵AB2=AE⋅DE，
∴ABAE=DEAB，
∴ABAE=DECD，
∴△ABE∽△DEC．
∴∠1=∠2，
∵∠A=90∘，
∴∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠3=90∘，
∴∠BEC=180∘−∠2+∠3=90∘，
∴BE⊥CE．
21. （1） 过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,
依题意可知，PA=100，∠APD=60∘，∠BPD=45∘，
∴∠A=30∘，
∴PD=50，
在 △PBD 中，BD=PD=50，
∴PB=502≈70.7≈71．
答：B 处距离灯塔 P 约 71 海里．
（2） 依题意知：OP=150，OB=150−71=79>60，
∴ 海轮到达 B 处没有触礁的危险．
海伦从 B 处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
22. （1） ∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠C=45∘，
∵∠ADC=∠B+∠1=45∘+∠1，∠ADC=∠ADE+∠2=45∘+∠2，
∴∠1=∠2，
∴△ABD∽△DCE．
（2） ① ∵△ABD∽△DCE，
∴BDCE=ABDC，
∵AB=AC=2，BD=x，AE=y，
∴BC=22，DC=22−x，CE=2−y．
∴x2−y=222−x，
∴y=12x2−2x+20② ∵y=12x−22+1，
∴y 的最小值是 1．
23. （1） 补全图形如图所示：
∵△ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的外接圆圆心 O 是斜边 AB 的中点．
连接 OE，
∴OE=OB．
∴∠2=∠3．
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∴OE∥BF．
∵EF⊥BF，
∴EF⊥OE．
∴EF 是 △ABC 外接圆的切线．
（2） 在 Rt△ABC 中，BC=5，sin∠ABC=1213，
∴ACAB=1213．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=12．
∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90∘，
∴ 四边形 CFEH 是矩形．
∴EF=HC，∠EHC=90∘．
∴FF=HC=12AC=6．
24. （1） 5.5
【解析】∵ 当 x=0 时，y1=8，y2=2.5，
∴BD=2.5，BC=8，
∴CD=BC−BD=8−2.5=5.5，
∴ 当 x=8 时，y1=0，y2=5.5，
∴m=5.5．
（2） 如图所示：
（3） ① 5.7；② 4.2
【解析】①当 AC=AD 时，AB 的长度约为 5.7 cm．
②当 AC=2AD 时，AB 的长度约为 4.2 cm．
25. （1） 依题意知：B−2,2，所以反比例函数解析式为 y=−4x，所以 k 的值为 −4．
（2） ① △DCE 的整点的坐标为 −1,1，−1,2，0,1．
②当 b=2 时，△DCE 内有个 3 整点，
当 b=3 时，△DCE 内有 6 个整点，
所以 b 的取值范围是 226. （1） 依题意得：A0,−m，
∴B−3,−m．
（2） ∵ 点 A，B 关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为 x=−32．
（3） 当 m>0 时，点 A0,−m 在 y 轴负半轴，
此时，点 P，Q 位于抛物线内部（如图 1），
∴，抛物线与线段 PQ 无交点，
当 m<0 时，点 A0,−m 在 y 轴正半轴，
当 AQ 与 x 轴平行，即 A0,1 时（如图 2），
抛物线与线段 PQ 恰有一个交点 Q−3,1，
此时，m=−1，
当 m>−1 时（如图 3），
结合图象，抛物线与线段 PQ 无交点，
当 −1结合图象，抛物线与线段 PQ 恰有一个交点，
综上，m 的取值范围是 −1≤m<0．
27. （1） 补全图形如图 1．
（2） 延长 AD 到点 H，使 DH=BF，连接 CH（如图 2），
易证 △CDH≌△CBF，
∴CH=CF，∠DCH=∠BCF，
∵∠ECF=45∘，
∴∠ECH=∠ECD+∠DCH=∠ECD+∠BCF=45∘，
∵∠ECH=∠ECF=45∘，
又 ∵CE=CE，
∴△ECH≌△ECF，
∴EH=EF，
∴EF=DE+BF．
（3） ∵△ECH≌△ECF，
∴∠CEH=∠CEF，
∵CD⊥EH，CG⊥EF，
∴CG=CD=4，
∴ 点 G 在以 C 为圆心，4 为半径的圆上移动，
当点 E 从点 A 出发向点 D 运动到达点 D 过程中，点 G 从点 B 出发沿 BD 运动到点 D．
∴ 点 G 运动的轨迹为 90π×4180=2π．
点 G 运动的路线长为 2π．
28. （1） 4,1；−2；y=−x
【解析】①点 B 的坐标为 4,1．
② a 的值为 −2．
③直线 l3 的表达式为 y=−x．
（2） −1≤b≤233
【解析】如图 2，设 ⊙O 与 x 轴的两个交点为 M1−2,0，M32,0，
与射线 y=3xx≥0 的交点为 M4，
则 M4 的坐标为 1,3，M4 关于 x 轴的对称点为 M2，
当点 M 在 M1 的位置时，b=−1，
当点 M 在 M2 的位置时，b=1，
当点 M 在 M3 的位置时，b=1，
当点 M 在劣弧 M1M2 上时（如图 3），−1≤b≤1，
当点 M 在劣弧 M2M3 上时（如图 4），b 的值比 1 大，
当到劣弧 M2M3 的中点时，达到最大值（如图 5），最大值为 233．
综上，b 的取值范围是 −1≤b≤233．
（3） ∵x 轴和直线 y=3x 关于直线 y=33x 对称，
直线 y=3x 和直线 y=−3x 关于 x 轴对称，
∴⊙E 只要与直线 y=3x 和 y=−3x 有交点即可，
∴t 的取值范围是：−4≤t≤4．