2021年北京顺义区顺义区沙岭学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区顺义区沙岭学校九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是
A. 2，5，10，25B. 4，7，4，7
C. 2，12，12，4D. 2，5，25，52

2. 如图，点 At,3 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 α，tanα=32，则 t 的值是
A. 1B. 1.5C. 2D. 3

3. 已知 AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，延长 CD 至点 E，使 DE=CD，那么点 E 的位置是
A. 在 ⊙O 内B. 在 ⊙O 上C. 在 ⊙O 外D. 不能确定

4. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18

5. 把函数 y=x−12+2 的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为
A. y=x2+2B. y=x−12+1
C. y=x−22+2D. y=x−12−3

6. 下列反比例函数中，图象位于第二，第四象限的是
A. y=2xB. y=0.2xC. y=2xD. y=−25x

7. 如果两个相似三角形对应边的比为 1:4，那么它们的周长比是
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16

8. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

9. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，点 D 为边 AC 上一点，连接 BD，作 AH⊥BD，交 BD 的延长线于点 H，过点 C 作 CE∥AH 与 BD 交于点 E，连接 AE 并延长与 BC 交于点 F，现有如下 4 个结论：
① ∠HAD=∠CBD；
② △ADE∽△BFE；
③ CE⋅AH=HD⋅BE；
④若 D 为 AC 中点，则 S△CEFS△BEF=CEBE2．
其中正确结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A2,3 为顶点任作一直角 ∠PAQ，使其两边分别与 x 轴、 y 轴的正半轴交于点 P，Q，连接 PQ，过点 A 作 AH⊥PQ 于点 H，设点 P 的横坐标为 x，AH 的长为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 △ABC∽△AʹBʹCʹ，AB=4，AʹBʹ=6，BC=3，∠C=38∘，则 BʹCʹ= ，∠Cʹ= ．

12. 若正六边形的边长为 3，则其较长的一条对角线长为 ．

13. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦 AB 与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留 π）

14. 二氧化碳 ρkg/m3 关于体积 vm3 的函数关系式如图所示，其函数关系式是 ．

15. 若反比例函数 y=k−2x 的图象经过第一、三象限，则 k 的取值范围是 ．

16. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何?”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中（如图所示），不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深 ED=1 寸，锯道长 AB=1 尺（1 尺 =10 寸）．则这根圆柱形木材的底面直径是 寸．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算
（1）2sin30∘−12+tan60∘．
（2）sin260∘+∣tan45∘−2∣−2cs45∘．

18. 已知：如图，在 △ABC 中，D 是 AC 上一点，E 是 AB 上一点，且 ∠AED=∠C．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若 AB=6，AD=4，AC=5，求 AE 的长．

19. 画出函数 y=x2+4x+3 的图象，并指出函数图象的特征．

20. 如图，正方形网格中（每个小正方形的边长都为 1 个单位），在平面直角坐标系内，△OBC 的顶点 B，C 分别为 B0,−4，C2,−4．
（1）画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后的 △OB1C1；
（2）在（1）的条件下，求出旋转过程中点 C 所经过的路径长（结果保留 π）．

21. 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 的两个顶点在反比例函数 y=k1x 的图象上，点 B 在反比例函数 y=k2x 的图象上，AB 与 x 轴平行，BC=2，点 A 的坐标为 1,3．
（1）求 C 点的坐标．
（2）求点 B 所在函数图象的解析式．

22. 如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离，现测得 AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120∘，请计算 A，B 两个凉亭之间的距离．

23. 若抛物线 y=x2−2x+m−1 与 x 轴有交点，求 m 的取值范围．

24. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，tanA=33，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，CD=3，求 AB 的长．

25. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AC 为弦，点 D 在 ⊙O 外，∠BCD=∠A，OD 交 ⊙O 于点 E．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线．
（2）若 CD=4，AC=2.7，cs∠BCD=920，求 DE 的长．

26. 已知函数 y1=x2−m+2x+2m+3，y2=nx+k−2n（m，n，k 为常数且 n≠0）．
（1）若函数 y1 的图象经过点 A2,5，B−1,3 两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．
（2）若函数 y1，y2 的图象始终经过同一定点 M．
①求点 M 的坐标和 k 的值．
②若 m≤2，当 −1≤x≤2 时，总有 y1≤y2，求 m+n 的取值范围．

27. 已知：抛物线 y1=x2+bx+3 与 x 轴分别交于点 A−3,0，Bm,0．将 y1 向右平移 4 个单位得到 y2．
（1）求 b 的值；
（2）求抛物线 y2 的表达式；
（3）抛物线 y2 与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于点 E 、 F （点 E 在点 F 的左侧 ），记抛物线在 D 、 F 之间的部分为图象 G （包含 D 、 F 两点 ），若直线 y=kx+k−1 与图象 G 有一个公共点，请结合函数图象，求直线 y=kx+k−1 与抛物线 y2 的对称轴交点的纵坐标 t 的值或取值范围．

28. 已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 B，它与反比例函数 y=4x 的图象在第一象限内交于点 A，直线 l 经过点 A，且与 x 轴交于点 C，若 △ABC 的面积为 6，求直线 l 的解析式．

29. 如图，已知 △ABC．
（1）画出 △A1B1C1，使 △A1B1C1 和 △ABC 关于直线 MN 成轴对称；
（2）画出 △A2B2C2，使 △A2B2C2 和 △ABC 关于直线 PQ 成轴对称；
（3）△A1B1C1 与 △A2B2C2 成轴对称吗?若成轴对称，请在图上画出对称轴；若不成轴对称，说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. B
4. C
5. C
【解析】把函数 y=x−12+2 的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为 y=x−1−12+2=x−22+2，故选：C．
6. D【解析】A，B，C中反比例函数的比例系数均大于 0，图象均位于第一，第三象限，不符合题意；D中，k=−25<0，图象位于第二，第四象限，符合题意．
7. B
8. A【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
9. B【解析】∵AH⊥BD，
∴∠AHD=90∘，
∵∠BCD=90∘，∠ADH=∠BDC，
∴∠HAD=∠CBD，故①正确；要使 △ADE∽△BFE，需 ∠CAF=∠CBD，经分析知需 △CAF≌△CBD，即需 CD=CF，而由已知条件无法得出 CD=CF，故②错误；
∵∠HAD=∠CBE，∠AHD=∠BEC=90∘，
∴△AHD∽△BEC，
∴AH:BE=DH:CE，
∴CE⋅AH=HD⋅BE，故③正确；易知 △CED∽△BEC，
∴CEBE=DECE，
∴CE2=DE⋅BE，
∴CEBE2=DE⋅BEBE2=DEBE，
∵EF 与 CD 不平行，
∴DEBE≠CFBF，
而 S△CEFS△BEF=CFBF，
∴S△CEFS△BEF≠CEBE2，所以④错误．
10. D
【解析】设 Q0,q．AB⊥y 轴，垂足为 B，AC⊥x 轴，垂足为 C，
通过证明 △ABQ∽△ACP 得到：ABAC=BQCP=23，
①当 x≥2，则 23=3−qx−2，
化简可得，
q=13−2x3，
∵ S△APQ=12×2+x×3−123−q×2−12x×q，S△APQ=12×x2+q2×y，
∴ 12×2+x×3−123−q×2−12x×q=12×x2+q2×y，
整理，得 yx2+q2=3−qx+2q，
则 y9x2+4x2−52x+1699=2x2−8x+263，
∴ y=213x2−4x+13=21313x−22+9，
∴ 当 x=2 时，y 有最小值．
②当 0≤x<2，则 23=q−32−x，
化简可得，q=13−2x3，
同理，y=213x2−4x+13=21313x−22+9
则在 0≤x<2 范围内，y 随 x 的增大而减小．
综上所述，只有D选项符合题意．
第二部分
11. 4.5，38∘
12. 6．
【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，
由正六边形性质可知，△AOB，△COD 为两个边长相等的等边三角形，
∴AD=2AB=6．
13. 16π
【解析】S阴影=πR2−πr2=πR2−r2=π×42=16π.
14. ρ=9.9v
15. k>2
16. 26
【解析】由题意可知 OE⊥AB，
因为 OE 为 ⊙O 的半径，
所以 AD=BD=12AB=12 尺 =5 寸，
设半径 OA=r 寸，则 OE=r 寸，
因为 ED=1 寸，
所以 OD=r−1 寸，则在 Rt△OAD 中，根据勾股定理可得 r−12+52=r2，解得 r=13，
所以这根圆柱形木材的底面直径为 13×2=26 寸．
第三部分
17. （1） 原式= 2×12−23+3，
= 1−3．
（2） 原式= 322+∣1−2∣−2×22，
= −14．
18. （1） ∵∠AED=∠C，∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB．
（2） ∵△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB，
∵AB=6，AD=4，AC=5，
∴AE5=46，
∴AE=103．
19. 如图所示：
抛物线 y=x2+4x+3=x+22−1，它的开口向上，对称轴是直线 x=−2，顶点坐标是 −2,−1；
沿着 x 轴正方向看，在 x<−2 的抛物线部分下降，在 x>−2 的抛物线部分上升．
20. （1） 如图所示：△OB1C1，即为所求．
（2） 旋转过程中点 C 所经过分路径长为：90π×25180=5π．
21. （1） 把点 A1,3 代入反比例函数 y=k1x 得 k1=1×3=3，
∴ 过 A 点与 C 点的反比例函数解析式为 y=3x，
∵AB 与 x 轴平行，
∴B 点的纵坐标为 3，
∵BC 平行 y 轴，BC=2，
∴C 点的纵坐标为 1，
把 y=1 代入 y=3x 得 x=3，
∴C 点坐标为 3,1．
（2） 把 B3,3 代入反比例函数 y=k2x 得 k2=3×3=9，
∴ 点 B 所在函数图象的解析式为 y=9x．
22.
如图所示，过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．
∵∠CAB=120∘，
∴∠CAD=60∘．
∵cs∠CAD=ADAC，
∴AD=AC⋅cs∠CAD=30×cs60∘=15m，
∴CD=AC2−AD2=302−152=153m，
∴BD=BC2−CD2=702−1532=65m，
∴AB=BD−AD=65−15=50m．
答：A 、 B 两个凉亭之间的距离为 50 m．
23. m≤2．
24. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，tanA=33，
所以 ∠A=30∘，
所以 ∠ABC=60∘．
因为 BD 是 ∠ABC 的平分线，
所以 ∠CBD=∠ABD=30∘．
又因为 CD=3，
所以 BC=CDtan30∘=3．
在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，
所以 AB=BCsin30∘=6．
答：AB 的长为 6．
25. （1） 如图，连接 OC．
∵AB 为 ⊙O 的直径，AC 为弦，
∴∠ACB=90∘，∠1+∠2=90∘．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A．
∵∠BCD=∠A，
∴∠2=∠BCD，
∴∠1+∠BCD=90∘，
∴∠OCD=90∘，
∴CD⊥OC，
∵OC 为 ⊙O 的半径，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵∠BCD=∠A，cs∠BCD=920，
∴csA=cs∠BCD=920，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2.7，csA=920，
∴AB=ACcsA=2.7÷920=6，
∴OC=OE=AB2=3，
在 Rt△OCD 中，∠OCD=90∘，OC=3，CD=4，
∴OD=OC2+CD2=32+42=5，
∴DE=OD−OE=5−3=2．
26. （1） 对于函数 y1=x2−m+2x+2m+3，当 x=2 时，y=3，
∴ 点 A 不在抛物线上，
把 B−1,3 代入 y1=x2−m+2x+2m+3，
得到 3=1+3m+5，解得 m=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−x+1．
（2） ① ∵ 函数 y1 经过定点 2,3，
对于函数 y2=nx+k−2n，当 x=2 时，y2=k，
∴ 当 k=3 时，两个函数过定点 M2,3．
② ∵m≤2，
∴ 抛物线的对称轴 x=m+22≤2，
∴ 抛物线的对称轴在定点 M2,3 的左侧，
由题意当 1+m+2+2m+3≤−n+3−2n 时，
满足当 −1≤x≤2 时，总有 y1≤y2，
∴3m+3n≤−3，
∴m+n≤−1．
27. （1） 把 A−3,0 代入 y1=x2+bx+3
∴b=4
∴y1 的表达式为：y1=x2+4x+3
（2） 将 y1 变形得：y1=x+22−1
据题意 y2=x+2−42−1=x−22−1
∴ 抛物线 y2 的表达式为 y=x2−4x+3
（3） y2=x2−4x+3 的对称轴 x=2
∴ 顶点 2,−1
∵ 直线 y=kx+k−1 过定点 −1,−1
当直线 y=kx+k−1 与图象 G 有一个公共点时
t=−1
当直线过 F3,0 时，直线 y=14x−34
把 x=2 代入 y=14x−34
∴y=−14
当直线过 D0,3 时，直线 y=4x+3
把 x=2 代入 y=4x+3
∴y=11
即 t=11
∴ 结合图象可知 t=−1 或 −1428. 由题意可得 B−3,0．
联立方程组 y=x+3,y=4x,
解得 x1=1,y1=4, x1=−4,y1=−1.
因为点 A 在第一象限，
所以 A1,4．
设点 Cc,0，则 BC=∣c+3∣．
S△ABC=12BC⋅h=12∣c+3∣×4=6，
解得 c=0或−6．即 C0,0或−6,0．
当 C0,0 时，直线 l 的解析式为 y=4x；
当 C−6,0 时，设直线 l 的解析式为 y=kx+b，
则 k+b=4,−6k+b=0, 解得 k=47,b=247,
所以直线 l 的解析式为 y=47x+247．
29. （1） △A1B1C1 如图所示．
（2） △A2B2C2 如图所示．
（3） △A1B1C1 与 △A2B2C2 不成轴对称，
因为找不到使 △A1B1C1 与 △A2B2C2 对称的直线．