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初中数学北师大版八年级下册第三章 图形的平移与旋转综合与测试习题
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这是一份初中数学北师大版八年级下册第三章 图形的平移与旋转综合与测试习题，共86页。
图形的平移与旋转2016-2020年成都数学八年级下学期常规版期末汇编
1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
2. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3. △ABC 在平面直角坐标系中如图：
(1) 画出将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1，并写出 A1 点的坐标．
(2) 画出 △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 △AA1A2 的面积．
4. 在下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
5. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，三角形 ABC 的三个頂点都在格点上．
(1) 画出三角形 ABC 向上平移 4 个单位后的三角形 A1B1C1（点 A，B，C 的对应点为点 A1，B1，C1）；
(2) 画出三角形 A1B1C1 向左平移 5 个单位后的三角形 A2B2C2（点 A1，B1，C1 的对应点为点 A2，B2，C2）；
(3) 分别连接 AA1，A1A2，AA2，并直接写出三角形 AA1A2 的面积为 平方单位．
6. 在直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形中，中心对称图形有
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
7. 如图，已知在 △ABC 中，AB=3，AC=2，∠A=45∘，将这个三角形绕点 B 旋转，使点 A 落在射线 AC 上的点 A1 处，点 C 落在点 C1 处，那么 AC1= ．
8. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A． B． C． D．
9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为 △ABC 内一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，如果 AP=3，那么线段 PPʹ 的长等于 ．
10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A1,3，B2,5，C4,2．（每个方格的边长均为 1 个单位长度）
(1) 将 △ABC 平移，使点 A 移动到点 A1，请画出 △A1B1C1；
(2) 作出 △ABC 关于 O 点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 A2，B2，C2 的坐标；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
11. 如图，BC 为等边 △ABM 的高，AB=52，点 P 为射线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 60∘，得到线段 PD，连接 MD，BD．
(1) 如图①，当点 P 在线段 BC 上时，求证：BP=MD；
(2) 如图②，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，求证：BP=MD；
(3) 若点 P 在线段 BC 的延长线上，且 ∠BDM=30∘ 时，请直接写出线段 AP 的长度．
12. 下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是
A.
正方形
B.
正三角形
C.
正六边形
D.
禁止标志
13. 如图，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，点 B 的对应点是点 E，点 C 的对应点是点 D，若 ∠BAC=35∘，则 ∠CAE 的度数为
A． 90∘ B． 75∘ C． 65∘ D． 85∘
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A−2,3，B−3,1，C−1,2．且 △A1B1C1 与 △ABC 关于原点 O 成中心对称．
(1) 画出 △A1B1C1，并写出 A1 的坐标；
(2) Pa,b 是 △ABC 的边 AC 上一点，△ABC 经平移后点 P 的对应点 Pʹa+3,b+1，请画出平移后的 △A2B2C2．
15. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90∘ 后得到矩形 AMEF（如图 1），连接 BD，MF，若 BD=4 cm，∠ADB=30∘．
(1) 试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2) 把 △BCD 与 △MEF 剪去，将 △ABD 绕点 A 顺时针旋转得 △AB1D1，边 AD1 交 FM 于点 K（如图 2），设旋转角为 β0∘<β<90∘，当 △AFK 为等腰三角形时，求 β 的度数．
(3) 若将 △AFM 沿 AB 方向平移得到 △A2F2M2（如图 3），F2M2 与 AD 交于点 P，A2M2 与 BD 交于点 N，当 NP∥AB 时，求平移的距离．
16. 解答下列问题：
(1) 【问题发现】如图 1，在 Rt△ABC 中．AB=AC=4，∠BAC=90∘，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ；
(2) 【拓展研究】在( 1 )的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，当点 B，E，F 三点共线时，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；
(3) 【问题发现】当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时，求线段 AF 的长．
17. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
18. 如图，将 △ABC 绕点 A 旋转到 △ADE 的位置，使点 D 落到线段 AB 的垂直平分线上，则旋转角的度数为
A． 40∘ B． 50∘ C． 60∘ D． 70∘
19. 如图，三角形 DEF 是由三角形 ABC 通过平移得到，且点 B，E，C，F 在同一条直线上，若 BF=14，EC=6，则 BE 的长度是 ．
20. 将直角边长为 63 cm 的等腰直角 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 15∘ 后，得到 △ABʹCʹ，BʹCʹ 交 AB 于 E，则图中阴影部分 △ACʹE 的面积是 cm2．
21. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 AB 上一点，连接 DE，将直线 DE 绕点 D 逆时针旋转 90∘，交 BC 的延长线于点 F．
(1) 如图 1，求证：DE=DF；
(2) 如图 2，连接 EF，若 D 关于直线 EF 的对称点为 H，连接 CH，过点 H 作 PH⊥CH 交 AB 于点 P，求证：E 是 AP 的中点；
(3) 如图 3，在（2）的条件下，连接 AC 交 EF 于点 G，连接 BG，BH，若 BG=25，AB=6，求线段 PH 的长．
22. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形
23. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点坐标分别是 A−4,1，B−1,1，C−2,3．
(1) 将 △ABC 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度后得到 △A1B1C1，请画出 △A1B1C1；
(2) 将 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到 △A2B2C2，请画出 △A2B2C2；
(3) 直接写出以 C1，B1，B2 为顶点的三角形的形状是 ．
24. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形
25. 下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
26. 已知 △ABC 是等腰三角形．
(1) 如图 1，若 △ABC，△ADE 均是顶角为 42∘ 的等腰三角形，BC，DE 分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
(2) 如图 2，若 △ABC 为等边三角形，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90∘，得到 AD，连接 BD，∠BAC 的平分线交 BD 于点 E，连接 CE．
①求 ∠AED 的度数；
②试探究线段 AE，CE，BD 之间的数量关系，并证明．
27. 如图，点 I 为 △ABC 角平分线交点，AB=8，AC=6，BC=5，将 ∠ACB 平移使其顶点 C 与点 I 重合，则图中阴影部分的周长为 ．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−2,m 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90∘ 后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则 m 的取值范围是 ．
29. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．平行四边形
C．矩形 D．正五边形
30. 如图，将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，其中点 E 与点 C 重合，连接 BD，若 AB=2，则线段 BD 的长为
A． 2 B． 4 C． 3 D． 23
31. 如图，在 4×4 的网格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点 M，N，P，Q 中找一点作为旋转中心．将 △ABC 绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张 4×4 的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有
A．点 M，点 N B．点 M，点 Q C．点 N，点 P D．点 P，点 Q
32. 如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD=AE，连接 DE，现将 △ADE 绕点 A 逆时针旋转一定角度（如图 2），连接 BD，CE．
(1) 求证：△ABD≌△ACE；
(2) 延长 BD 交 CE 于点 F，若 AD⊥BD，BD=6，CF=4，求线段 DF 的长．
33. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
34. △ABC 在平面直角坐标系中如图：
(1) 画出将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1，并写出 A1 点的坐标；
(2) 画出 △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 △AA1A2 的面积．
35. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
36. 如图，已知 ∠ABC=45∘，AB=42，把线段 AB 向右平移 7 个单位得到 AʹBʹ，则四边形 ABBʹAʹ 的面积是 ．
37. 如图，把 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转 35∘ 得到 △ABʹCʹ，BʹCʹ 与 AC 相交于点 D，∠B=60∘，则 ∠ADBʹ 的度数是 ．
38. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
39. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将 △ABC 绕点 B 旋转得到 △AʹBCʹ，且点 C 的对应点 Cʹ 刚好落在 AB 上，连接 AAʹ．则 ∠AAʹCʹ= ．
40. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，ΔABC 的顶点均在格点上，坐标分别为 A2,2，B1,0，C3,1．
(1) 画出 ΔABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1；
(2) 画出将 ΔABC 绕原点 O 顺时针旋转 90∘ 所得的 △A2B2C2；
(3) △ABC 与 △A2B2C2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
41. 已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D．
(1) 如图 1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，连接 AF 交 CD 于点 G．求证：AG=GF；
(2) 如图 2，点 E 是线段 CB 上一点（CE<12CB）．连接 ED，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到 EF，连接 AF 交 CD 于点 G．
①求证：AG=GF；
②若 AC=BC=7，CE=2，求 DG 的长．
42. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
43. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 50∘ 得 △ADE，若 ∠BAC=20∘，则 ∠BAE 的度数是 ．
44. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A4,0，B0,5．将 △BOA 绕点 A 顺时针方向旋转得 △BʹOʹA，若点 B 在 BʹOʹ 的延长线上，则直线 BBʹ 的解析式为 ．
45. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 −23,0，将 x 轴绕点 A 逆时针旋转 30∘ 得直线 l，直线 l 交 y 轴于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 C．
(1) 求直线 BC 的解析式：
(2) 线段 AB，BC 的中点分别是 D，E，点 F 在 x 轴上，且以点 D，E，C，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 F 的坐标．
(3) 在平面直角坐标系内是否存在两个点，使以这两点及点 A，B 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
46. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
47. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转至 △AʹBʹC，使得点 Aʹ 恰好落在 AB 上，则旋转角度为
A． 30∘ B． 60∘ C． 90∘ D． 150∘
48. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网络中，给出了 △ABC 和 △DEF（网点为网格线的交点）．
(1) 将 △ABC 向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度，画出平移后的图形 △A1B2C3；
(2) 画出以点 O 为对称中心，与 △DEF 成中心对称的图形 △D2E2F2；
(3) 求 ∠C+∠E 的度数
49. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △DEC，连接 AD，BE，延长 BE 交 AD 于点 F．
(1) 求证：∠DEF=∠ABF；
(2) 求证：F 为 AD 的中点；
(3) 若 AB=8，AC=10，且 EC⊥BC，求 EF 的长．
50. 如图图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
51. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形是
A．圆 B．平行四边形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
52. 如图，Rt△ABC 沿直线边 AB 所在的直线向下平移得到 △DEF，下列结论中不一定正确的
A． S四边形ADHC=S四边形BEFH B． AD=BD
C． AD=BE D． ∠DEF=90∘
53. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
54. 如图，将等边 △ABC 沿直线 BC 平移到 △DEF，使点 E 与点 C 重合，连接 BD，若 AB=2，则 BD 的长为
A． 23 B． 3 C． 3 D． 25
55. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点分别为 A0,4，B−4,2，C0,2．
(1) 画 △A1B1C1，使它与 △ABC 关于点 C 成中心对称；
(2) 平移 △ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为 −2,4，画出平移后对应的 △A2B2C2；
(3) 若将 △A1B1C1 绕点 P 旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心 P 的坐标．
56. 如图，在 △ABC 中，AC=BC=9，∠C=120∘，D 为 AC 边上一点，且 AD=6，E 是 AB 边上一动点，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 30∘ 得到 DF，若 F 恰好在 BC 边上，则 AE 的长为 ．
57. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG．
(1) 如图 1，若在旋转过程中，点 E 落在对角线 AC 上，AF，EF 分别交 DC 于点 M，N．
①求证：MA=MC；
②求 MN 的长；
(2) 如图 2，在旋转过程中，若直线 AE 经过线段 BG 的中点 P，连接 BE，GE，求 △BEG 的面积．
58. 成都是一个历史悠久的文化名城，以下这些图形都是成都市民熟悉的，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
59. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
60. 如图所示，将一个含 30∘ 角的直角三角板 ABC 绕点 A 逆时针旋转，点 B 的对应点是点 Bʹ，若点 Bʹ，A，C 在同一条直线上，则三角板 ABC 旋转的度数是
A． 60∘ B． 90∘ C． 120∘ D． 150∘
61. 如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60∘ 得到线段 CP′，连接 AP′．若 PA=3，PC=4，PB=5，则四边形 APCPʹ 的面积为 ．
62. 如图，矩形 ABCD 中，AC=2AB，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ．使点 B 的对应点 Bʹ 落在 AC 上，BʹCʹ 交 AD 于点 E，在 BʹCʹ 上取点 F，使 BʹF=AB．
(1) 求证：AE=CʹE；
(2) 求 ∠BFBʹ 的度数；
(3) 若 AB=22，求 BF 的长．
63. 在以下“绿色食品，响应环保，可回收物，节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
64. 如图，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，点 B 的对应点是点 E，点 C 的对应点是点 D，若 ∠BAC=35∘，则 ∠CAE 的度数为
A． 90∘ B． 75∘ C． 65∘ D． 85∘
65. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称，△ABC 与 △DEF 的顶点均在格点上．
(1) 在图中直接画出 O 点的位置；
(2) 若以 O 点为平面直角坐标系的原点，线段 AD 所在的直线为 y 轴，过点 O 垂直 AD 的直线为 x 轴，此时点 B 的坐标为 −2,2，请你在图上建立平面直角坐标系，并回答下列的问题：
将 △ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到 △A1B1C1，请画出 △A1B1C1，并直接写出点 B1 的坐标．
66. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
67. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度．已知 △ABC 在网格冬中的位置如图所示．
(1) 请在网格图中画出 △ABC 向右平移 7 个单位后的图形 △A1B1C1，并直接写出平移过程中线段 BC 扫过的面积．
(2) 请在网格图中画出 △ABC 以 P 为对称中心的图形 △A2B2C2（保留作图痕迹）．
68. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E，正方形 EFGH 绕点 E 旋转，直线 FB 与直线 CH 相交于点 P，若 AB=2，∠DBP=75∘，则 DP2 的值是 ．
69. 如图 1，在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，边 AE 在边 AB 上，AB=2AE=4．将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转 α0∘≤α≤60∘．
(1) 如图 2，当 α>0∘ 时，求证：△DAG≌△BAE；
(2) 在旋转的过程中，设 BE 的延长线交直线 DG 于点 P．
①如果存在某时刻使得 BF=BC，请求出此时 DP 的长；
②若正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转了 60∘，求旋转过程中点 P 运动的路线长．
70. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
71. 如图，△ABC 中，∠C=63∘，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转后，得到 △ABʹCʹ，且 Cʹ 在边 BC 上，则 ∠BʹCʹB 的度数为
A． 45∘ B． 54∘ C． 87∘ D． 70∘
72. 四边形 ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90∘，BE=EF，连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG．
(1) 如图 1，若点 E 在 CB 边的延长线上时，延长线段 EG，CD 相交于点 M，求证：GE=GM，CE=CM．
(2) 将图 1 中的 △BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置时，延长 EG 到 M，使 GE=GM，连接 MD，MC．
①求证：∠EBC=∠MDC；
②判断 EG 与 CG 的关系并证明．
73. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
74. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
75. 我们定义：在 △ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 α0∘<α<180∘ 得到 ABʹ，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 β 得到 ACʹ，连接 BʹCʹ．当 α+β=180∘ 时，我们称 △ABʹCʹ 叫 △ABC 的“旋补三角形”，△ABʹCʹ 的边 BʹCʹ 上的中线 AD 叫做 △ABC 的“旋补中线”．下面各图中，△ABʹCʹ 均是 △ABC 的“旋补三角形”，AD 均是 △ABC 的“旋补中线”．
(1) 如图 1，若 △ABC 为等边三角形，BC=8，则 AD 的长等于 ；
(2) 如图 2，若 ∠BAC=90∘，求证：AD=12BC；
(3) 如图 3，若 △ABC 为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．
76. 利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是
A． B．
C． D．
77. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ 的位置，旋转角为 α（0<α<90∘），若 ∠1=110∘，则 ∠α=
A． 10∘ B． 20∘ C． 25∘ D． 30∘
78. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
79. 如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A−3,5，B−2,1，C−1,3．
(1) 将 △ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1，并写出点 B 的对应点 B1 的坐标．
(2) 将 △ABC 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90∘ 得到 △A2B2C2，画出 △A2B2C2．
80. 已知四边形 ABCD 为矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠CDO=30∘，点 E，F 为矩形边上的两个动点，且 ∠EOF=60∘．
(1) 如图 1，当点 E，F 分别位于 AB，AD 边上时，
①求证：∠DOF=∠AOE．
②若 ∠OEB=75∘，求证：DF=AE．
(2) 如图 2，当点 E，F 同时位于 AB 边上时，若 ∠OFB=75∘，试探究线段 AF 与线段 BE 的数量关系，并说明理由．
81. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
82. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点 A−2,2，B0,5，C0,2．
(1) 将 △ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180∘，得到 △A1B1C，请画出 △A1B1C 的图形．请写出此时 B1 坐标．
(2) 平移 △ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为 −2,−6，请画出平移后对应的 △A2B2C2 的图形．请写出此时 B2 坐标．
(3) 若将 △A1B1C 绕某一点旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
83. 完成下列各题：
(1) 如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，以点 C 为中心，把 △ABC 顺时针旋转 90∘，得到 △A1B1C；再以点 A 为中心，把 △ABC 逆时针旋转 90∘，得到 △AB2C1，连接 A1C1，求证：A1C1∥AC．
(2) 如图②，当 △ABC 是锐角三角形，∠ACB=α（α≠60∘）时，将 △ABC 按照（1）中的方式旋转 α，连接 A1C1，探究 A1C1 与 AC 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明．
(3) 如图③，在图②的基础上，连接 C1C，若 A1C1=37AC，△A1C1C 的面积为 6，求 △C1CA 的面积．
84. 如图，将正方形图案绕中心 O 旋转 180∘ 后，得到的图案是
A． B． C． D．
85. 如图，将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是
A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60∘ D． ∠ACB=60∘
86. 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG．
(1) 求证：EG=CG．
(2) 将图 1 中 △BEF 绕点 B 逆时针旋转 45∘，如图 2 所示，连接 EG，CG．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
87. 如图，△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC，EF 的中点，直线 AG，FC 相交于点 M，若线段 BM 的长为 a，则当 △EFG 绕点 D 旋转时，a 的取值范围是 ．
88. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
89. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=60∘，将 △ABC 沿着点 B 到点 C 的方向平移得到 △DEF，若 AB=6，DH=2，那么图中阴影部分的面积为 ．
90. 在 △ABC 中，AC=2AB=26，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转到 Bʹ 恰好在 BC 上，BʹCʹ 与 AC 交于点 D，连接 CCʹ．
(1) 若 BBʹ=10，求 CCʹ 的长．
(2) 在（1）的条件下，求 △ABBʹ 的面积．
91. 在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ，若 Dʹ 恰好在 BC 上，点 E 为 CʹDʹ 的中点，连接 BE，则 BE= ．
92. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=34x+3 的图象与 x 轴和 y 轴交于 A，B 两点将 △AOB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到 △AʹOBʹ 则直线 AʹBʹ 的解析式是 ．
93. 如图，长方形 ABCD 中 AB=2，BC=4，正方形 AEFG 的边长为 1．正方形 AEFG 绕点 A 旋转的过程中，线段 CF 的长的最小值为 ．
94. 在等腰 Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘
(1) 如图 1，D，E 是等腰 Rt△ABC 斜边 BC 上两动点，且 ∠DAE=45∘，将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 后，得到 △AFC，连接 DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当 BE=3，CE=7 时，求 DE 的长；
(2) 如图 2，点 D 是等腰 Rt△ABC 斜边 BC 所在直线上的一动点，连接 AD，以点 A 为直角顶点作等腰 Rt△ADE，当 BD=3，BC=9 时，求 DE 的长．
95. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，分别以 △ABC 的边 AB，BC，CA 为一边向 △ABC 外作正方形 ABDE，BCMN，CAFG，连接 EF，ND，则图中阴影部分的面积之和等于 ．
96. 如图，A，B，C 三点在正方形网格线的交点处，若将 △ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到 △ACʹBʹ，则 tanBʹ 的值为
A．12 B．13 C．14 D．24
97. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=15，BC=9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 PD，连接 AD，则线段 AD 的最小值是 ．
98. 如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90∘，AC＝15，BC＝9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 PD，连接 AD，则线段 AD 的最小值是 ．
99. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 Dʹ 处，那么 ADʹ 为
A． 6 B． 33 C． 18 D． 32
100. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
101. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A=45∘，AB=4，AD=22，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转 90∘ 至 MNʹ，则 NʹB+NʹC 的最小值是
102. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
103. 如图，△ABC 中，∠C=63∘，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转后，得到 △ABʹCʹ，且 Cʹ 在边 BC 上，则 ∠BʹCʹB 的度数为
A． 45∘ B． 54∘ C． 87∘ D． 70∘
104. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是 1），△ABC 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1) 作出 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90∘，得到的 △AB1C1，点 B1 坐标为 ．
(2) 平移 △ABC，使 B 点对应点 B2 的坐标是 1,2，画出平移后对应的 △A2B2C2，点 C2 的坐标为 ．
(3) 求 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 后，线段 AB 扫过的图形面积．
105. 四边形 ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90∘，BE=EF，连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG．
(1) 如图 1，若点 E 在 CB 边的延长线上时，延长线段 EG，CD 相交于点 M，求证：GE=GM，CE=CM．
(2) 将图 1 中的 △BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置时，延长 EG 到 M，使 GE=GM，连接 MD，MC．
①求证：∠EBC=∠MDC．
②判断 EG 与 CG 的关系并证明．
106. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
107. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标是 −3,−1．
(1) 先将 △ABC 沿 y 轴正方向向上平移 3 个单位长度，再沿 x 轴负方向向左平移 1 个单位长度得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1，点 C1 坐标是 ；
(2) 将 △A1B1C1 绕点 B1 逆时针旋转 90∘，得到 △A2B1C2，画出 △A2B1C2，并写出点 C2 的坐标是 ；
(3) 我们发现点 C，C2 关于某点中心对称，对称中心的坐标是 ．
108. 如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是
A． B．
C． D．
109. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
110. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
(1) 画出将 △ABC 向上平移 3 个单位后得到的 △A1B1C1；
(2) 画出将 △A1B1C1 绕点 C1 按顺时针方向旋转 90∘ 后所得到的 △A2B2C1．
111. 下面四个汽车标志图案中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
112. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A．30∘ B．45∘ C．90∘ D．135∘
113. 如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的小正方形．
(1) 将 △ABC 向右平移 3 个单位长度，画出平移后的 △A1B1C1；
(2) 将 △ABC 绕点 O 旋转 180∘，画出旋转后的 △A2B2C2．
114. 如图，把 Rt△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 Rt△DFC，若直线 DF 垂直平分 AB，垂足为点 E，连接 BF，CE，且 BC=2．下面四个结论：
① BF=22；
② ∠CBF=45∘；
③ ∠CED=30∘；
④ △ECD 的面积为 22+3，
其中正确的结论有 ．
115. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到 △ADE．若 ∠CAE=65∘，∠E=70∘，且 AD⊥BC，∠BAC 的度数为
A．60∘ B．75∘ C．85∘ D．90∘
116. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A．30∘ B．45∘ C．90∘ D．135∘
117. 在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=3，AP=1．将直角尺的顶点放在 P 处，直角尺的两边分别交 AB，BC 于点 E，F，连接 EF（如图 1）．
(1) 当点 E 与点 B 重合时，点 F 恰好与点 C 重合（如图 2），则 PC 的长为 ；
(2) 将直角尺从图 2 中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 和点 A 重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段 EF 的中点所经过的路径（线段）长为 ．
118. 如图，在 △ABC 中，D 是 AC 的中点，过点 A 的直线 l∥BC，将直线 AC 绕点 D 逆时针旋转（旋转角 α<∠ACB），分别交直线 l 于点 F 与 BC 的延长线交于点 E，连接 AE，CF．
(1) 求证：△CDE≌△ADF；
(2) 求证：四边形 AFCE 是平行四边形；
(3) 当 ∠B=22.5∘，AC=BC 时，请探索：是否存在这样的 α 能使四边形 AFCE 成为正方形？请说明理由；若能，求出这时的旋转角 α 的度数和 BC 与 CE 的数量关系．
119. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
120. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到 ∠COD 的位置，则旋转的角度为
A．30∘ B．45∘ C．90∘ D．135∘
答案
1. 【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】
(1) 将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1 如图所示；
A1 点的坐标为 −3,2．
(2) △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2 如图所示．
13．
【解析】
(2) ∵AA1=12+52=26，
AA2=12+52=26，
A1A2=42+62=52，
∴AA1=AA2=22A1A2，
∴△AA1A2 是等腰直角三角形，
∴S△AA1A2=12AA1⋅AA2=12×26×26=13．
4. 【答案】B
【解析】中心对称图形指：沿某点旋转 180∘ 后，仍能与原图形完全重合的几何图形，
故可知B中图形为中心对称图形．
5. 【答案】
(1) 如图所示，△A1B1C1 即为所求．
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
(3) 10
【解析】
(3) △AA1A2 的面积为 12×4×5=10（平方单位）．
6. 【答案】A
【解析】中心对称图形指旋转 180∘ 与原图形一样，
故仅平行四边形是中心对称图形．
7. 【答案】 22
【解析】如图，连接 AC1，
由旋转知，△ABC≌△A1BC1，
∴AB=A1B=3，AC=A1C1=2，
∠CAB=∠C1A1B=45∘，
∴∠CAB=∠CA1B=45∘，
∴△ABA1 为等腰直角三角形，
∠AA1C1=∠CA1B+∠C1A1B=90∘，
在等腰直角三角形 ABA1 中，
AA1=2AB=32，
在 Rt△AA1C1 中，
AC1=AA12+A1C12=322+22=22．
8. 【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
9. 【答案】 32
【解析】 ∵△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，
∴△ABP≌△ACPʹ，
即线段 AB 旋转后到 AC，
∴ 旋转了 90∘，
∴∠PAPʹ=∠BAC=90∘，AP=APʹ=3，
∴PPʹ=32．
10. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；点 A2，B2，C2 的坐标分别为 −1,−3，−2,−5，−4,−2；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 关于点 P 中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为 −2,−1．
11. 【答案】
(1) 如图①，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC−∠CAP，∠MAD=∠PAD−∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(2) 如图②，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘=∠AMB，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP，∠MAD=∠PAD+∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(3) 52
【解析】
(3) ∵BC 为等边 △ABM 的高，
∴∠ABC=30∘，
∵△BAP≌△MAD，
∴∠ABP=∠AMD=30∘，
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=90∘，
∴∠BMD=90∘，
∵∠BDM=30∘，
∴∠DBM=60∘，
∴ 点 D 在 BA 的延长线上，
如图③，
∵∠BDM=30∘，∠BMD=90∘，
∴BD=2BM=102，
∴AD=BD−AB=52，
∵PA=PD=AD，
∴AP=AD=52．
12. 【答案】B
【解析】A．图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
B．图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
C．图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D．图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误．
13. 【答案】D
【解析】因为将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，
所以 ∠BAE=120∘ 且 ∠BAC=35∘，
所以 ∠CAE=85∘．
14. 【答案】
(1) 如图所示，△A1B1C1 即为所求，A1 的坐标为 2,−3．
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
15. 【答案】
(1) 结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：
如图 1，延长 FM 交 BD 于点 N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又 ∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90∘，
∴∠DNM=90∘，
∴BD⊥MF．
(2) 如图 2，
①当 AK=FK 时，∠KAF=∠F=30∘，
则 ∠BAB1=180∘−∠B1AD1−∠KAF=180∘−90∘−30∘=60∘，
即 β=60∘；
②当 AF=FK 时，∠FAK=12180∘−∠F=75∘，
∴∠BAB1=90∘−∠FAK=15∘，
即 β=15∘；
综上所述，β 的度数为 60∘ 或 15∘；
(3) 如图 3，
由题意得矩形 PNA2A．设 A2A=x，则 PN=x，
在 Rt△A2M2F2 中，
∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30∘，
∴A2M2=2，A2F2=23，
∴AF2=23−x．
∵∠PAF2=90∘，∠PF2A=30∘，
∴AP=AF2⋅tan30∘=2−33x，
∴PD=AD−AP=23−2+33x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，
∴△DPN∽△DAB，
∴PNAB=DPDA，
∴x2=23−2+33x23，
解得 x=3−3，即 A2A=3−3，
∴ 平移的距离是 3−3 cm．
16. 【答案】
(1) BE=2AF
(2) 无变化；
如图 2，在 Rt△ABC 中，AB=AC=4，
所以 ∠ABC=∠ACB=45∘，
所以 sin∠ABC=CACB=22，
在正方形 CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45∘，
在 Rt△CEF 中，sin∠FEC=CFCE=22，
所以 CFCE=CACB，
因为 ∠FCE=∠ACB=45∘，
所以 ∠FCE−∠ACE=∠ACB−∠ACE，
所以 ∠FCA=∠ECB，
所以 △ACF∽△BCE，
所以 BEAF=CBCA=22，
所以 BE=2AF，
所以线段 BE 与 AF 的数量关系无变化．
(3) 当点 E 在线段 AF 上时，如图 2，
由 1 知，CF=EF=CD=22，
在 Rt△BCF 中，CF=22，BC=42，
根据勾股定理得，BF=26，
所以 BE=BF−EF=26−22，
由（2）知，BE=2AF，
所以 AF=23−2，
当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，
在 Rt△ABC 中，AB=AC=4，
所以 ∠ABC=∠ACB=45∘，
所以 sin∠ABC=CACB=22，
在正方形 CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45∘，
在 Rt△CEF 中，sin∠FEC=CFCE=22，
所以 CFCE=CACB，
因为 ∠FCE=∠ACB=45∘，
所以 ∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
所以 ∠FCA=∠ECB，
所以 △ACF∽△BCE，
所以 BEAF=CBCA=2，
所以 BE=2AF，
由（1）知，CF=EF=CD=22，
在 Rt△BCF 中 CF=22，BC=42，
根据勾股定理的，BF=26，
所以 BE=BF+EF=26+22，
由（2）知，BE=2AF，
所以 AF=23+2，
即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为 23−2 或 23+2．
【解析】
(1) 在 Rt△ABC 中，AB=AC=4，根据勾股定理得，BC=2AB=42，
点 D 为 BC 的中点，
所以 AD=12BC=22，
因为四边形 CDEF 是正方形，
所以 AF=EF=AD=22，
因为 BE=AB=4，
所以 BE=2AF．
17. 【答案】C
18. 【答案】C
【解析】连接 BD，
∵ 点 D 落到线段 AB 的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∵AD=AB，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠BAD=60∘，
∴ 旋转角的度数为 60∘．
19. 【答案】 4
【解析】 ∵ 三角形 DEF 是由三角形 ABC 通过平移得到，
∴BE=CF，
∵BE+EC+CF=BF，
∴BE+6+BE=14，
∴BE=4．
20. 【答案】 183
【解析】根据旋转性质得 ∠CACʹ=15∘，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45∘，
∴∠CʹAE=∠CAB−∠CACʹ=30∘，
∵ACʹ=AC=63，∠Cʹ=∠C=90∘，
∴CʹE=ACʹ⋅tan30∘=63×33=6，
阴影部分面积为：12×63×6=183cm2．
21. 【答案】
(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90∘=∠BCD，
∵ 将直线 DE 绕点 D 逆时针旋转 90∘，
∴∠EDF=90∘，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，且 AD=CD，∠A=∠DCF=90∘，
∴△ADE≌△CDFSAS，
∴DE=DF．
(2) 如图 2，连接 EH，FH，
∵ 若 D 关于直线 EF 的对称点为 H，
∴EH=DE，FH=DF，且 DE=DF，
∴EH=DE=FH=DF，
∵DE=EH，DF=HF，EF=EF，
∴△DEF≌△HEFSSS
∴∠EHF=∠EDF=90∘，且 PH⊥CH，
∴∠PHE=∠FHC，
∵∠B=∠PHC=90∘，∠BGP=∠CGH，
∴∠BPG=∠HCG，
∴∠EPH=∠HCF，且 EH=HF，∠EHP=∠CHF，
∴△EHP≌△CHFASA，
∴EP=CF，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴AE=EP，
∴ 点 E 是 AP 中点．
(3) 如图 3，连接 PC，EH，FH，过点 E 作 EK∥BC，交 AC 于 K，
∵EK∥BC，
∴∠AKE=∠ACB=45∘=∠EAK，∠AEK=∠ABC=90∘，∠EKG=∠GCF，
∴AE=EK，
∵AE=CF，
∴EK=CF，且 ∠EKG=∠GCF，∠EGK=∠CGF，
∴△EKG≌△FCGAAS，
∴EG=FG，
∵BG=25，
∴EG=FG=BG=25，
∴EF=45，
∵EF2=BE2+BF2，
∴80=6−AE2+6+AE2，
∴AE=2，
∴BP=AB−AE−EP=2，
∴PC=BC2+BP2=36+4=210，
由（2）可知 △EHP≌△CHF，
∴PH=CH，且 PH⊥CH，
∴PC=2PH，
∴PH=25．
22. 【答案】C
【解析】A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是中心对称图形．
23. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；点 A1，B1，C1 的坐标分别为 −3,−2，0,−2，−1,0．
(2) 如图，△A2B2C2 为所作．
(3) 等腰直角三角形
【解析】
(3) ∵C1B12=5，C1B22=5，B1B22=10，
∴C1B12+C1B22=B1B22，C1B1=C1B2，
∴ 以 C1，B1，B2 为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形．
24. 【答案】C
【解析】A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是中心对称图形．
25. 【答案】D
26. 【答案】
(1) ∵△ABC，△ADE 均是顶角为 42∘ 的等腰三角形，BC，DE 分别是底边，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 和 △ACE 中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS．
(2) ① ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
由旋转知，AC=AD，∠CAD=90∘，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAC+∠CAD=150∘，
∴∠D=12180∘−∠BAD=15∘，
∵AE 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=30∘，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=120∘，
∴∠AED=180∘−∠D−∠DAE=45∘；
② BD=2CE+2AE；
证明：如图，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AE 是 ∠BAC 的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE，
∴△BAE≌△CAESAS，
∴BE=CE，
过点 A 作 AF⊥AE 交 DE 于 F，
∴∠EAF=90∘，
由旋转知，∠CAD=90∘，
∴∠CAE=∠DAF，
由①知，∠AED=45∘，
∴∠AFE=45∘=∠AEF，
∴AE=AF，
∴EF=2AE，
∵AC=AD，
∴△ACE≌△ADFSAS，
∴DF=CE，
∴BD=BE+EF+DF=CE+2AE+CE=2CE+2AE．
27. 【答案】 8
【解析】如图，连接 AI，BI，
∵ 点 I 为 △ABC 角平分线交点，
∴IA 和 IB 分别平分 ∠CAB 和 ∠CBA，
∴∠CAI=∠DAI，∠CBI=∠EBI，
∵ 将 ∠ACB 平移，使其顶点与点 I 重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI=∠DIA，∠CBI=∠EIB，
∴∠DAI=∠DIA，∠EBI=∠EIB，
∴DA=DI，EB=EI，
∴DE+DI+EI=DE+DA+EB=AB=8．
即图中阴影部分的周长为 8．
28. 【答案】 2.5≤m≤3
【解析】解：如图，将阴影区域绕着点 O 逆时针旋转 90∘，与直线 x=−2 交于 C，D 两点，则点 A−2,m 在线段 CD 上，
又 ∵ 点 D 的纵坐标为 2.5，点 C 的纵坐标为 3，
∴m 的取值范围是 2.5≤m≤3．
29. 【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
30. 【答案】D
【解析】如图，过点 D 作 DH⊥CF 于 H，
∵ 将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，
∴△DEF 是等边三角形，
∴DF=CF=2，∠DFC=60∘，
∵DH⊥CF，
∴∠FDH=30∘，CH=HF=1，
∴DH=3HF=3，BH=BC+CH=3，
∴BD=BH2+DH2=3+9=23．
31. 【答案】C
【解析】观察图象可知，点 P，点 N 满足条件．
32. 【答案】
(1) 由图 1 可知：∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
又 ∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS．
(2) 如图 3，连接 AF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADF=90∘，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=6，∠AEC=∠ADB=90∘，
∴EF=CE−CF=2，
∵AF=AF，AD=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△ADFHL，
∴DF=EF=2．
33. 【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．
34. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作，A1 点的坐标为 −3,2；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；
△AA1A2 的面积 =12×262=13．
35. 【答案】C
【解析】A，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
36. 【答案】 28
【解析】作 AD⊥BC 于 D，
∵∠ABC=45∘，AB=42，
∴AD=22AB=22×42=4，
∵ 线段 AB 向右平移 7 个单位得到 AʹBʹ，
∴ 四边形 ABBʹAʹ 是平行四边形，BBʹ=7，
∴ 四边形 ABBʹAʹ 的面积是 7×4=28．
37. 【答案】 65°
【解析】 ∵Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转 35∘ 得到 △ABʹCʹ，
∴∠BABʹ=35∘，∠Bʹ=∠B=60∘，∠BAC=90∘，
∴∠BʹAD=90∘−35∘=55∘，
∴∠ADBʹ=180∘−60∘−55∘=65∘．
38. 【答案】B
【解析】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
39. 【答案】 15°
【解析】根据旋转可知：
∠AʹBC=∠ABC=30∘，AʹB=AB，
∴∠BAʹA=∠BAAʹ=12180∘−30∘=75∘，
∵∠BAʹC=∠BAC=60∘，
∴∠AAʹCʹ=∠BAʹA−∠BAʹC=75∘−60∘=15∘．
40. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 成中心对称图形，对称中心的坐标为 −12,−12．
41. 【答案】
(1) ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，
∴∠FCD=90∘，CF=CD，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D，
∴AD=BD，CF∥AD，
∴CD=AD=BD，
∴CF=AD，
又 ∵∠AGD=∠CGF，
∴△ADG≌△FCGAAS，
∴AG=GF．
(2) ①过点 E 作 EM⊥CB 交 CD 于点 M，连接 MF，
由（1）知 D 为 AB 的中点，
∴∠DCB=45∘，CD=AD，
∴△CEM 为等腰直角三角形，
∴CE=ME，
又 ∵∠CEM=∠DEF=90∘，DE=EF，
∴∠CED=∠MEF，
∴△CED≌△MEFSAS，
∴CD=MF，∠MEF=∠ECD=45∘，
∴AD=MF，∠CMF=90∘，
又 ∵∠ADG=90∘，
∴∠ADG=∠FMG，
∵∠MGF=∠AGD，
∴△ADG≌△FMGAAS，
∴AG=GF．
② ∵∠ACB=90∘，AC=BC=7，
∴AB=AC2+BC2=72，
∴CD=12AB=722，
∵CE=2，CE=ME，
∴CM=CE2+ME2=22+22=22，
∴DM=CD−CM=722−22=322，
又 ∵△ADG≌△FMG，
∴DG=MG=12DM=342．
42. 【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确：
C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误；
43. 【答案】 30°
【解析】由题意可得，∠CAE=50∘，
∵∠BAC=20∘，
∴∠BAE=∠CAE−∠BAC=50∘−20∘=30∘．
44. 【答案】 y=−940+5
【解析】连接 OOʹ 交 AB 于 M，
∵△BOA 绕点 A 按顺时针方向旋转得 △BʹOʹA，
∴△BOA≌△BʹOʹA，
∴AB=ABʹ，OA=AOʹ，
∵ 点 B 在 BʹOʹ 的延长线上，AOʹ⊥BC，
∴BOʹ=BʹOʹ=OB，
∵OA=AOʹ，BO=BʹOʹ=BOʹ，
∴OOʹ⊥AB，
设直线 AB 解析式为 y=kx+b，
把 A 与 B 坐标代入得：4k+b=0,b=5,
解得：k=−54,b=5.
∴ 直线 AB 解析式为 y=−54x+5，
∴ 直线 OOʹ 解析式为 y=45x，
联立得：y=−54x+5,y=45,
解得：x=10041,y=8041, 即 M10041,8041
∵M 为线段 OOʹ 的中点，
∴Oʹ20041,16041，
设直线 BʹOʹ 解析式为 y=mx+n，
把 B 与 Oʹ 坐标代入得：20041m+n=16041,n=5,
解得：m=−940，n=4，
则直线 CD 解析式为 y=−940x+5．
45. 【答案】
(1) 如图 1，
因为点 A 的坐标为 −23,0，
所以 OA=23，
由旋转得：∠BAO=30∘，
Rt△ABO 中，
所以 OB=2，AB=4，
所以 B0,2，
因为 AB⊥BC，
所以 ∠ABC=90∘，
所以 BC=433，AC=2BC=833，
所以 OC=833−23=233，
所以 C233,0，
设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，
则 233k+b=0,b=2 解得：k=−3,b=2.
所以直线 BC 的解析式为：y=−3x+2．
(2) 分两种情况：
①如图 2，四边形 DECF 是平行四边形，
因为 A−23,0，B0,2，
所以 AB 的中点 D−3,1，
同理得 BC 的中点 E33,1，
因为 C233,0，
所以 F−233,0；
②如图 3，四幼形 DEFC 是平行四边形，
同理得：F23,0；
综上，点 F 的坐标为 −233,0 或 23,0．
(3) −2−23,23，−2,2+23 或 2,2−23，2−23,−23 或 1−3,1−3，−1−3,1+3．
【解析】
(3) 在平面直角坐标系内存在两个点，使以这两点及点 A，B 为顶点的四边形是正方形，有两种情况：
①如图 4，
AB 为边，存在正方形 ABNM 和正方形 ABPQ，
过 M 作 MG⊥x 轴于 G，
因为 ∠MAB=90∘=∠MAG+∠BAO=∠BAO+∠ABO，
所以 ∠ABO=∠MAG，
因为 ∠AGM=∠AOB=90∘，AM=AB，
所以 △MGA≌△AOBAAS，
所以 MG=AO=23，AG=OB=2，
所以 M−2−23,23，
同理得 N−2,2+23，P2,2−23，Q2−23,−23，
②如图 5，
AB 为正方形的对角线，过点 P 作 MN∥x 轴交 y 轴于 N，过 A 作 AM⊥MN 于 M，
因为 AB=4，四边形 APBQ 是正方形，
所以 AP=BP=22，
因为 ∠AMP=∠BNP=90∘，∠PAM=∠BPN，
所以 △AMP≌△PNBAAS，
所以 PN=AM=ON，
设 PN=m，则 BN=2+m，
Rt△BPN 中，由勾股定理得：PB2=PN2+BN2，
所以 222=m2+2+m2，
所以 m+12=3，
解得：m1=3−1，m2=−3−1（舍），
所以 P1−3,1−3，
同理得：Q−1−3,1+3；
综上，这两点的坐标为 −2−23,23，−2,2+23 或 2,2−23，2−23,−23 或 1−3,1−3，−1−3,1+3．
46. 【答案】A
【解析】A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．
47. 【答案】B
【解析】 ∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠A=90∘−30∘=60∘，
∴△ABC 绕点 C 顺时针旋转至 △AʹBʹC 时点 Aʹ 恰好落在 AB 上，
∴AC=AʹC，
∴△AʹAC 是等边三角形，
∴∠ACAʹ=60∘，
∴ 旋转角为 60∘．
48. 【答案】
(1) 如图，△A1B2C3 为所作；
(2) 如图，△D2E2F2 为所作；
(3) ∵△ABC 平移后的图形 △A1B2C3，
∴∠C=∠A1C3B2，
∵△DEF 关于点 O 成中心对称的图形为 △D2E2F2，
∴∠E=∠D2E2F2，
∴∠C+∠E=∠A1C3B2+∠D2E2F2=∠A1C3F2，
连接 A1F2，如图，
A1F2=12+22=5，A1C3=12+22=5，F2C3=12+32=10，
∴A1F22+A1C32=F2C32，
∴△A1F2C3 为等腰直角三角形，∠F2A1C3=90∘，
∴∠A1C3F2=45∘，
∴∠C+∠E 的度数为 45∘．
49. 【答案】
(1) 如图 1 中，
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC=∠CED=90∘，
∴∠DEF+∠CEB=90∘，∠ABF+∠CBE=90∘，
∴∠DEF=∠ABF．
(2) 如图 1 中，作 AN⊥BF 于 N，DM⊥BF 交 BF 的延长线于 M．
∵∠ABN=∠DEM，∠ANB=∠M=90∘，AB=DE，
∴△ANB≌△DMEAAS，
∴AN=DM，
∵∠ANF=∠M=90∘，∠AFN=∠DFM，AN=DM，
∴△AFN≌△DFMAAS，
∴AF=FD．
(3) 如图 1 中，作 AN⊥BF 于 N，DM⊥BF 交 BF 的延长线于 M．
在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=90∘，AC=10，AB=8，
∴BC=EC=102−82=6，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=∠ACD=90∘，
∵AC=CD=10，
∴AD=102，
∴DF=AF=52，
∵∠MED=∠CEB=45∘，
∴EM=MD=42，
在 Rt△DFM 中，FM=DF2−DM2=32，
∴EF=EM−FM=2．
50. 【答案】B
【解析】A.不是中心称图形，不合题意；
B.是中心称图形，符合题意；
C.不是中心称图形，不合题意；
D.不是中心称图形，不合题意．
51. 【答案】A
【解析】第一个图形圆是中心对称图形，也是轴对称图形；
第二个图形平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
第三个图形等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；
第四个图形等腰直角三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；
故选：A．
52. 【答案】B
【解析】 ∵Rt△ABC 沿直线边 AB 所在的直线向下平移得到 △DEF，
∴AD=BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠ABC=90∘，S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ADHC=S四边形BEFH．
53. 【答案】B
54. 【答案】A
【解析】由平移得：△ABC≌△DEF，
∵△ABC 是等边三角形，且 AB=2，
∴BC=EF=DF=2，∠DEF=60∘，
∴∠CBD=∠CDB=30∘，
∵∠CDF=60∘，
∴∠BDF=90∘，
Rt△BDF 中，∠DBF=30∘，
∴BD=23．
55. 【答案】
(1) △A1B1C1 即为所求．
(2) △A2B2C2 即为所求．
(3) P−1,2．
56. 【答案】 3+43
【解析】如图，延长 DC 到 G，使 DG=AE，连接 FG，
∵AC=BC，∠C=120∘，
∴∠A=30∘，∠FCG=60∘，
∵∠A+∠1=∠EDF+∠2，
又 ∵∠EDF=30∘，
∴∠1=∠2，
在 △EDA 和 △DFG 中，
AE=GD,∠1=∠2,ED=DF,
∴△EDA≌△DFGSAS
∴AD=GF=6，∠A=∠G=30∘，
∵∠G+∠FCG=90∘，
∴∠CFG=90∘，
设 CF=x，则 CG=2x，
由 CF2+FG2=CG2 得：x2+62=2x2，
解得 x1=23，x2=−23（不合题意舍去），
∴CG=43，
∴AE=DG=3+43．
57. 【答案】
(1) ① ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
由旋转的性质得：∠FAE=∠BAC，
∴∠DCA=∠FAE，
∴MA=MC；
②设 MA=MC=x，则 DM=8−x，
在 Rt△ADM 中，62+8−x2=x2，
解得：x=254，
在 Rt△AEF 中，AF=AE2+EF2=82+62=10，
∴MF=AF−AM=154，
∵∠AEF=∠CEN=90∘，
∴∠MCA+∠CNE=∠MAC+∠AEF=90∘，
又 ∵∠MCA=∠MAC，
∴∠AFE=∠CNE=∠MNF，
∴MN=MF=154．
(2) 分情况讨论：
①如图 2 所示：过点 B 作 BH⊥AE 于 H，
则 ∠GAP=∠BHP=90∘，
在 △HBP 和 △AGP 中，
∠GAP=∠BHP,∠APG=∠HPA,GP=BP,
∴△HBP≌△AGPAAS，
∴AP=HP，BH=AG=6，
在 Rt△ABH 中，AH=AB2−BH2=82−62=27，
∴AP=12AH=7，
∴PE=AE−AP=8−7，
∴△BEG 的面积 =2△GPE 的面积 =2×12×6×8−7=48−67；
②如图 3 所示：
同①得：AH=27，AP=7，
∴PE=8+7，
∴△BEG 的面积 =2△GPE 的面积 =2×12×6×8+7=48+67．
综上所述，△BEG 的面积为 48−67 或 48+67．
58. 【答案】C
【解析】 A 、 B 、 D 中的图形都不是中心对称图形，
C 中图形是中心对称图形．
59. 【答案】B
【解析】A、不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误．
60. 【答案】D
【解析】旋转角是 ∠BABʹ=180∘−30∘=150∘．
61. 【答案】 6+43
【解析】连接 PPʹ，如图，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC，
∵ 线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60∘ 得到线段 CPʹ，
∴CP=CPʹ=4，∠PCPʹ=60∘，
∴△PCPʹ 为等边三角形，
∴PPʹ=PC=4，
∵∠ACP+∠BCP=60∘，∠ACP+∠ACPʹ=60∘ ,
∴∠BCP=∠ACPʹ，且 AC=BC，CP=CPʹ，
∴△BCP≌△ACPʹSAS，
∴APʹ=PB=5，
在 △APPʹ 中，
∵PPʹ2=42=16，AP2=32=9，APʹ2=52=25，
∴PPʹ2+AP2=APʹ2，
∴△APPʹ 为直角三角形，∠APPʹ=90∘，
∴S四边形APCPʹ=S△APPʹ+S△PCPʹ=12AP×PPʹ+34×PPʹ2=6+43．
62. 【答案】
(1) ∵ 在 Rt△ABC 中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠ACʹBʹ=30∘，∠BAC=60∘，
由旋转可得：ABʹ=AB，∠BʹACʹ=∠BAC=60∘，
∴∠EACʹ=∠ACʹBʹ=30∘，
∴AE=CʹE．
(2) 由（1）得到 △ABBʹ 为等边三角形，
∴∠ABʹB=60∘，即 ∠BBʹF=∠ABʹB+∠ABʹF=150∘，
∵BBʹ=BʹF，
∴∠FBBʹ=∠BʹFB=15∘．
(3) 连接 AF，过 A 作 AM⊥BF，
可得 △ABʹF 是等腰直角三角形，△ABʹB 为等边三角形，
∴∠AFBʹ=45∘，∠BBʹF=150∘，
∵BBʹ=BʹF，
∴∠BʹFB=∠BʹBF=15∘，
∴∠AFM=30∘，∠ABF=45∘，
在 Rt△AMF 中，AM=BM=AB⋅cos∠ABM=22×22=2，
在 Rt△AMF 中，MF=3AM=23，
则 BF=2+23．
63. 【答案】B
64. 【答案】D
【解析】 ∵ 将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，
∴∠BAE=120∘ 且 ∠BAC=35∘，
∴∠CAE=85∘．
65. 【答案】
(1) 如图，点 O 为所作；
(2) 如图，△A1B1C1，为所作，点 B1 的坐标为 2,0．
66. 【答案】B
67. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作，
线段 BC 扫过的面积 =7×4=28．
(2) 如图，△A2B2C2 为所作．
68. 【答案】 5+23
【解析】如图，设 EF 交 AB 于 M，EH 交 BC 于 N，PF 交 EH 于 O，作 PT⊥AD 于 T 交 BC 于 R．
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AC⊥BD，AE=EB，∠EAM=∠EBN=45∘，
因为四边形 EFGH 是正方形，
所以 ∠MEN=∠AEB=90∘，
所以 ∠AEM=∠BEN，
所以 △AEM≌△BENASA，
所以 AM=BN，EM=EN，∠AME=∠BNE，
因为 AB=BC，EF=EH，
所以 FM=NH，BM=CN，
因为 ∠FMB=∠AME，∠CNH=∠BNE，
所以 ∠FMB=∠CNH，
所以 △FMB≌△HNCSAS，
所以 ∠MFB=∠NHC，
因为 ∠EFO+∠EOF=90∘，∠EOF=∠POH，
所以 ∠POH+∠PHO=90，
所以 ∠OPH=∠BPC=90∘，
因为 ∠DBP=75∘，∠DBC=45∘，
所以 ∠CBP=30∘，
因为 BC=AB=2，
所以 PB=BC⋅cos30∘=3，PR=12PB=32，RC=PR⋅tan30∘=12，
因为 ∠RTD=∠TDC=∠DCR=90∘，
所以四边形 TDCR 是矩形，
所以 TD=CR=12，TR=CD=AB=2，
在 Rt△PDT 中，
PD2=DT2+PT2=122+2+322=5+23，
故答案为 5+23．
69. 【答案】
(1) 在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90∘，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠DAG+∠EAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠DAG，
在 △DAG 和 △BAE 中，
AD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE,
∴△DAG≌△BAESAS；
∴BE=DG．
(2) ① ∵AB=2AE=4，
∴AE=2，
由勾股定理得，AF=2AE=22，
∵BF=BC=4，
∴AB=BF=4，
∴△ABF 是等边三角形，
∵AE=EF，
∴ 直线 BE 是 AF 的垂直平分线，
设 BE 的延长线交 AF 于点 O，交 AD 于点 H，如图 3 所示：
则 OE=OA=AE2=22=2，
∴OB=AB2−OA2=42−22=14，
∵cos∠ABO=OBAB=144，cos∠ABH=ABBH=4BH，
∴4BH=144，
∴BH=8147，
AH=BH2−AB2=81472−42=477，
∴DH=AD−AH=4−477，
∵∠DHP=∠BHA，∠BAH=∠DPH=90∘，
∴△BAH∽△DPH，
∴ABDP=BHDH，即：4DP=81474−477，
∴DP=14−2；
② ∵△DAG≌△BAE，
∴∠ABE=∠ADG，
∵∠BPD=∠BAD=90∘，
∴ 点 P 的运动轨迹为以 BD 为直径的 AP，
BD=2AB=42，
∵ 正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转了 60∘，
∴∠BAE=60∘，
∵AB=2AE，
∴∠BEA=90∘，∠ABE=30∘，
∴B，E，F 三点共线，
同理 D，F，G 三点共线，
∴P 与 F 重合，
∴∠ABP=30∘，
∴AP 所对的圆心角为 60∘，
∴ 旋转过程中点 P 运动的路线长为：60×π×42360=22π3．
70. 【答案】B
【解析】A，是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B，是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C，不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D，是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
71. 【答案】B
【解析】 ∵ 将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转后，得到 △ABʹCʹ，
∴ACʹ=AC，∠C=∠ACʹBʹ=63∘，
∴∠C=∠ACʹC=63∘，
∴∠ACʹB=180∘−63∘=117∘，
∵∠ACʹC=∠ACʹBʹ=63∘，
∴∠BʹCʹB=∠ACʹB−∠ACʹBʹ=117∘−63∘=54∘．
72. 【答案】
(1) 如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90∘，BC=CD，
∵∠CEF=90∘，
∴∠CEF+∠ECM=180∘，
∴EF∥CD，
∴∠FEG=∠M，
又 ∵G 为 DF 中点，
∴DG=FG
∵∠FGE=∠DGM，
∴△FGE≌△DGMAAS，
∴EG=GM，EF=DM，
∵EF=BE，
∴EF=DM=BE，
∵CB=CD，
∴BE+BC=CD+DM，
∴CE=CM．
(2) 延长 MD，BE 交于点 N，连接 EC，
① ∵EG=MG，DG=FG，∠EGF=∠MGD，
∴△EFG≌△MDGSAS，
∴∠EFG=∠MDG，
∴EF∥DM，
∴∠END=∠BEF=90∘=∠BCD，
∴∠CBN+∠NDC=∠CDM+∠NDC=180∘，
∴∠CBE=∠CDM．
②结论：CG=EG，CG⊥EG．
理由：
∵△EFG≌△MDG，
∴EF=DM=EB，
又 ∵BC=DC，∠CBE=∠CDM，
∴△CBE≌△CDMSAS，
∴EC=MC，且 ∠BCE=∠DCM，
∴∠ECM=∠BCD=90∘，
∵G 为 EM 中点，
∴CG=EG，CG⊥EG．
73. 【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
74. 【答案】D
【解析】A，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
75. 【答案】
(1) 4
(2) 如图 2 中，
∵AB 绕点 A 旋转得到 ABʹ，AC 绕点 A 旋转得到 ACʹ，
∴ABʹ=AB，ACʹ=AC，
∵∠BAC=90∘，α+β=180∘，∠BʹACʹ=360∘−α+β−∠BAC，
∴∠BʹACʹ=360∘−180∘−90∘=90∘，
∴∠BAC=∠BʹACʹ，
∴△BAC≌△BʹACʹSAS
∴BC=BʹCʹ，
∵AD 是 △ABʹCʹ 边 BʹCʹ 上的中线，∠BʹACʹ=90∘．
∴AD=12BʹCʹ．
∴AD=12BC．
(3) 结论 AD=12BC 成立．
理由：如图 3 中，延长 AD 到 Aʹ，使得 AD=DAʹ，连接 BʹAʹ，CʹAʹ．
∴AD=12AAʹ，
∵BʹD=DCʹ，AD=DAʹ，
∴ 四边形 ABʹAʹCʹ 是平行四边形，
∴ACʹ=BʹAʹ=AC，
∵∠BAC+∠BʹACʹ=360∘−180∘=180∘，∠BʹACʹ+∠ABʹM=180∘，
∴∠BAC=∠ABʹAʹ，
∵AB=ABʹ，
∴△BAC≌△ABʹAʹSAS，
∴BC=AAʹ，
∴AD=12BC．
【解析】
(1) 如图 1 中，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=ABʹ=ACʹ，
∵DBʹ=DCʹ，
∴AD⊥BʹCʹ，
∵∠BAC=60∘，∠BAC+∠BʹACʹ=180∘，
∴∠BʹACʹ=120∘，
∴∠Bʹ=∠Cʹ=30∘，
∴AD=12ABʹ=12BC=4，
76. 【答案】A
77. 【答案】B
【解析】方法一：
如图所示：
∵∠B=∠Dʹ=90∘，
∴∠2+∠DʹAB=180∘．
∴∠DʹAB=180∘−∠2=180∘−110∘=70∘．
∵∠α=∠DADʹ，
∴∠α=90∘−∠DʹAB=90∘−70∘=20∘．
方法二：
经分析可知旋转角 ∠α=∠DADʹ=∠BABʹ，
由 ∠1+∠BADʹ+∠B+∠Dʹ=360∘ 且 ∠B=∠Dʹ=90∘，
可得 ∠BADʹ=360∘−90∘−90∘−110∘=70∘，
∴∠α=90∘−∠BADʹ=90∘−70∘=20∘．
78. 【答案】D
79. 【答案】
(1) 由图可知点的对应点 B1 的坐标为 2,−4．
(2)
80. 【答案】
(1) ① ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠CDA=90∘，
∵∠CDO=30∘，
∴∠ODA=∠CDA−∠CDO=90∘−30∘=60∘，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD=60∘，
∴∠DOF+∠AOF=60∘，
∵∠EOF=60∘，
∴∠AOE+∠AOF=60∘，
∴∠DOF=∠AOE．
②在 OF 上截取 OH，使 OH=OE，
在 △OEA 和 △OHD 中，
∵OA=OD,∠AOE=∠DOH,OE=OH,
∴△OEA≌△OHDSAS，
∴AE=DH．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴CD∥AB，OB=OA，
∵∠CDO=30∘，
∴∠OBA=∠CDO=30∘，
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=30∘，
∵∠OEB=75∘，
∴∠OEA=180∘−∠OEB=180∘−75∘=105∘．
∵△OEA≌△OHD，
∴∠OEA=∠OHD=105∘，∠OAB=∠ODH=30∘．
∵∠ODF=60∘，
∴∠HDF=∠ODF−∠ODH=60∘−30∘=30∘．
在 △DHF 中，
∠DFH=180∘−∠HDF−∠DHF=180∘−30∘−180∘−∠OHD=180∘−30∘−180∘−105∘=75∘.
∵∠OHD=105∘，
∴∠DHF=180∘−∠OHD=180∘−105∘=75∘，
∴∠DFH=∠DHF，
∴DH=DF．
∵DH=AE，
∴DF=AE．
(2) 把 △BOE 绕点 O 逆时针旋转 ∠BOA 得到 △AOG，再连接 FG．
∴△BOE≌△AOG，
∴∠OBE=∠OAG．
∵∠OBE=∠OAB=30∘，
∴∠OAG=30∘，
∴∠FAG=30∘+30∘=60∘．
∵∠OBE=∠OAB=30∘，
∴∠BOA=180∘−∠OBE−∠OAB=180∘−30∘−30∘=120∘．
∵△BOE≌△AOG，
∴∠BOE=∠AOG，OE=OG，AG=BE，
∴∠EOG=∠BOA=120∘，
∵∠EOF=60∘，
∴∠GOF=120∘−60∘=60∘．
在 △EOF 和 △GOF 中，
∵OE=OG,∠EOF=∠GOF,OF=OF,
∴△EOF≌△GOFSAS，
∴∠EFO=∠GFO，
∵∠EFO=75∘，
∴∠GFO=75∘，
∴∠AFG=180∘−∠EFO−∠GFO=180∘−75∘−75∘=30∘．
∵∠FAG=60∘，
∴∠AGF=180∘−60∘−30∘=90∘，
∴△AFG 是直角三角形．
∵∠AFG=30∘，
∴AF=2AG．
∵AG=BE，
∴AF=2BE．
81. 【答案】D
【解析】D既是轴对称图形，又是中心对称图形．
82. 【答案】
(1) 如图所示，△A1B1C 即为所求．
B10,−1．
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
B20,−3．
(3) 旋转中心坐标 0,−2．
【解析】
(3) B1B2 的中点为 0,−2，则旋转中心的坐标为 0,−2．
83. 【答案】
(1) 由旋转性质可知，
△ACB≌△A1CB1，△ACB≌△AC1B2，∠CAC1=90∘，
∴AC=A1C，AC=AC1，
∴A1C=AC1．
∵∠ACB=90∘，∠CAC1=90∘，
∴∠ACB+∠CAC1=180∘，
∴A1C∥AC1，
∴ 四边形 ACA1C1 是平行四边形，
∴A1C1∥AC．
(2) 由旋转性质可知，
△ACB≌△A1CB1，△ACB≌△AC1B2，∠CAC1=∠ACB=α，
∴AC=A1C=AC1，
过 A1 作 A1D⊥AC 于 D，过 C1 作 C1E⊥AC 于 E，
∴∠A1DC=∠C1EA=90∘，
在 △A1DC 和 △C1EA 中，
∠A1DC=∠C1EA,∠A1CD=∠C1AE,A1C=C1A,
∴△A1DC≌△C1EA，
∴A1D=EC1．
∵A1D⊥AC，C1E⊥AC，
∴A1D⊥C1E，
∴ 四边形 A1C1ED 是平行四边形，
∴DE∥A1C1．
∵D，E 在 AC 上，
∴AC∥A1C1．
(3) ∵AC∥A1C1，
∴ 设两平行线间距离为 h，
∴S△A1C1C=12A1C1⋅h，S△C1CA=12AC⋅h，
∴S△A1C1CS△C1CA=A1C1AC．
∵A1C1=37AC，S△A1C1C=6，
∴6S△C1CA=37ACAC，
∴S△C1CA=14，
∴△C1CA 面积是 14．
84. 【答案】C
【解析】根据旋转的性质可知，将正方形图案绕中心 O 旋转 180∘ 后，得到的图形是C选项所示图形．
故选C．
85. 【答案】A
【解析】 ∵ 将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，
∴AB 平行且等于 CD，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形，
当 AB=BC 时，
平行四边形 ABCD 是菱形．
86. 【答案】
(1) ∵G 为 DF 中点，∠FED=∠FCD=90∘，
∴EG=12DF，CG=12DF，
∴EG=CG．
(2) 成立，证明：
延长 EG 和 AD 延长线交于点 H，连接 CE，CH，
∵EF∥DH，
∴∠FEG=∠DHG，
在 △FEG 和 △DHG 中，
∠FEG=∠DHG,∠EGF=∠HGD,FG=DG,
∴△FEG≌△DHGAAS，
∴EF=DH，EG=GH，
又 ∵EF=BE，
∴DH=BE，
在 △EBC 和 △HDC 中，
EB=HD,∠EBC=∠HDC,BC=DC,
∴△EBC≌△HDCSAS，
∴EC=CH，∠BCE=∠DCH，
∵∠BCE+∠ECD=90∘，
∴∠ECH=∠ECD+∠DCH=90∘，
∴△ECH 为等腰直角三角形，
∵GE=GH，
∴GC=12EH=EG．
87. 【答案】 3−1≤a≤3+1
【解析】 AC 的中点 O，连接 AD，DG，BO，OM，
如图，
∵△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC，EF 的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90∘−∠CDG=∠FDC，DADC=DGDF，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF，
∴A，D，C，M 四点共圆，
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即 BM≥BO−OM，
当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，
此时，BO=BC2−OC2=22−12=3，OM=12AC=1，
则 BM=BO−OM=3−1，
根据两点之间线段最短可得：BO+OM≥BM，
当 M 在线段 BO 延长线与该圆的交点处时，线段 BM 最长，
此时，BO=BC2−CO2=3，OM=12AC=1，
则 BM=BO+OM=3+1，
∴3−1≤a≤3+1．
88. 【答案】B
【解析】A，C，D不是中心对称图形．
89. 【答案】 103
【解析】连接 AD，
∵△DEF 是由 △ABC 平移得到，
∴∠A=∠EDF=60∘，∠B=∠DEF=90∘，AD∥CF 且 AD=CF，
∴ 四边形 ADFC 是平行四边形，
∴∠DAC=∠ACB=30∘，∠ADE=∠DEF=90∘，
在 Rt△ADH 中，DH=2，
∴AD=23，
S阴影=S平行四边形ADFC−S△ADH=CF×AB−12DH⋅AD=23×6−12×2×23=123−23=103.
90. 【答案】
(1) 由题可知，
△ABC≌△AʹBʹCʹ，
∴AB=ABʹ，AC=ACʹ，∠CAB=∠CʹAʹBʹ，
∴∠CAB−∠CABʹ=∠CʹAʹBʹ−∠CABʹ，
∴∠BABʹ=∠CACʹ，
∵ABAC=ABʹACʹ，
∴△ABBʹ∽△ACCʹ，
∴ABAC=BBʹCCʹ，
∵AC=2AB=26，BBʹ=10，
∴AB2AB=10CCʹ，
∴CCʹ=20．
(2) 过 A 作 AD⊥BBʹ，
∴BD=BʹD=12BBʹ=5，
∵2AB=26，
∴AB=13，
在 Rt△ADB 中，AB2=AD2+DB2，
∴AD=AB2−BD2=132−52=12，
∴S△ABBʹ=12BBʹ⋅AD=12×10×12=60．
91. 【答案】 13−23
【解析】过 E 作 EH⊥BC 于 H，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90∘，
∵ 将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ，Dʹ 恰好落在 BC 上，
∴ADʹ=AD=4，
∵AB=2，
∴∠ADʹB=30∘，BDʹ=23，
∴∠BDʹC=60∘，
∵E 点为 CʹDʹ 的中点，
∴DʹE=12CʹDʹ=12CD=12AB=1，
∵DʹH⊥BDʹ，
∴∠DʹEH=30∘，
∴DʹH=12DʹE=12，BH=23−12，
∴EH=32，
在 Rt△BHE 中，
BE2=BH2+EH2=23−122+322=12−23+1=13−23.
∴BE=13−23．
92. 【答案】 y=−43x+4
【解析】根据 y=34x+3，解得点坐标 A−4,0，B0,3，即 OA=4，OB=3，
所以 OAʹ=OA=4，OBʹ=OB=3，
所以 Aʹ0,4，Bʹ3,0，
设直线 AʹBʹ 的解析式为 y=kx+b，
所以 3k+b=0,b=4,
解得 k=−43,b=4,
所以直线 AʹBʹ 的解析式是 y=−43x+4．
故答案为：y=−43x+4．
93. 【答案】 25−2
【解析】如图，连接 AF，CF，AC，
∵ 长方形 ABCD 中 AB=2，BC=4，正方形 AEFG 的边长为 1，
∴AC=25，AF=2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC−AF，
∴ 当点 A，F，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为 25−2．
94. 【答案】
(1) ①如图 1 中，
∵△BAE≌△CAF，
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，
∵∠BAC=90∘，∠EAD=45∘，
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45∘，
∴∠DAE=∠DAF，
∵DA=DA，AE=AF，
∴△AED≌△AFDSAS．
②如图 1 中，设 DE=x，则 CD=9−x．
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∵∠ABE=∠ACF=45∘，
∴∠DCF=90∘，
∵△AED≌△AFDSAS，
∴DE=DF=x，
在 Rt△DCF 中，
∵DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，
∴x2=7−x2+32，
∴x=297，
∴DE=297．
(2) ①当点 E 在线段 BC 上时，如图 2 中，连接 BE．
∵∠BAC=∠EAD=90∘，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AE=AD，AB=AC，
∴△EAB≌△ADCSAS，
∴∠ABE=∠C=∠ABC=45∘，EB=CD=6，
∴∠EBD=90∘，
∴DE2=BE2+BD2=62+32=45，
∴DE=35．
②当点 D 在 CB 的延长线上时，如图 3 中，连接 BE．
同法可证 △DBE 是直角三角形，EB=CD=12，DB=3，
∴DE2=EB2+BD2=144+9=153，
∴DE=317．
综上所述，DE 的值为 35 或 317．
95. 【答案】 48
【解析】如图将 △FAE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到 △KAB．
∵∠FAC=∠EAB=90∘，
∴∠FAE+∠CAB=180∘，
∵∠FAE=∠KAB，
∴∠KAB+∠CAB=180∘，
∴C，A，K 共线，
∵AF=AK=AC，
∴S△ABK=S△ABC=S△AFE，
同理可证 S△BDN=S△ABC，
∴S△AEF+S△BDN=2⋅S△ABC=2×12×6×8=48．
96. 【答案】B
【解析】过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．根据旋转性质可知，∠Bʹ=∠ABC．
在 Rt△BCD 中，tan∠ABC=CDBD=13，
所以 tanBʹ=tan∠ABC=13
97. 【答案】 32
【解析】如图，过点 D 作 DE⊥AC 于 E，
∵ 将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 PD，
∴DP=BP，∠DPB=90∘，
∴∠DPE+∠BPC=90∘，且 ∠BPC+∠PBC=90∘，
∴∠DPE=∠PBC，且 DP=BP，∠DEP=∠C=90∘，
∴△DEP≌△PCBAAS，
∴DE=CP，EP=BC=9，
∵AE+PC=AC−EP=6，
∴AE+DE=6，
∵AD2=AE2+DE2，
∴AD2=AE2+6−AE2，
∴AD2=2AE−32+18，
当 AE=3 时，AD 有最小值为 32，
故答案为 32．
98. 【答案】 32
99. 【答案】B
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD=3，∠C=90∘，
∴BD=CD2+BC2=32+32=32，
在 Rt△ABDʹ 中，BDʹ=BD=32，AB=3，∠ABDʹ=90∘，
∴ADʹ=AB2+BDʹ2=32+322=33．
100. 【答案】D
【解析】轴对称图形是沿某条直线翻折后两部分能完全重合的平面图形；
中心对称图形是沿某点旋转 180∘ 后能与原图形完全重合的平面图形．
A选项：是中心对称图形而非轴对称图形，故A错误；
B选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B错误；
C选项：是中心对称图形而非轴对称图形，故C错误；
D选项：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确．
故选D．
101. 【答案】 210
【解析】 ∵∠A=45∘，过 D 作 DE⊥AB 于 E，则 ∠AED=90∘，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
∵M 为 AD 中点，
∴△AME≌△DME，
∴ 恒有 Nʹ 落在 DE 上 Nʹ 处，
∴ 本题的问题变成了在 DE 上的一点，使该点到 B 点和 C 点的距离之和最小，
∵A，B 关于 E 点对称，
∴ 当 A，Nʹ，C 共线时，BNʹ+CNʹ 最小，
∴BNʹ+CNʹ=AC=22+62=210．
102. 【答案】B
103. 【答案】B
【解析】 ∵△ABʹCʹ 为 △ABC 旋转得到，
∴AC=ACʹ，
∴∠ACʹC=63∘，
又 ∵∠ACʹBʹ=63∘，
∴∠BʹCʹB=180∘−63∘−63∘=54∘．
104. 【答案】
(1) −2,−3
(2) 3,3
(3) 由题意可知 AB 扫过的面积为扇形 ABBʹ 的面积，
S=14π⋅AB2，其中 AB=32+12=10，
∴S=14π⋅10=52π，可知扫到的扇形面积为 52π．
【解析】
(1) 由题意可知，△AB1C1 由 △ABC 旋转而得，
故由小方格可算得 AC=5，即 AC=C1A=5，
△ACC1 为等腰 Rt 三角形，
∴CC1=5×2=10，
∴ 可知点 C1−3,−1，
△ABB1 也为等腰直角三角形，
∴B1 坐标为 −2,−3．
(2) 由题意可知 △A2B2C2 是由 △ABC 平移得到，
由 B21,2 可知首先把 △ABC 向右平移 5 个单位，
再向上平移 1 个单位即可，得到 △A2B2C2，
∴ 原 C−2,2 向右平移 5 个单位 Cʹ3,2，
向上平移 1 个单位 C23,3，即 C23,3．
105. 【答案】
(1) ∵∠FEB=∠MCE=90∘，
∴EF∥MC，
∴∠FEM=∠M，又 ∠FGE=∠MGD，FG=DG，
∴△FGE≌△MGD，
∴EG=GM，MD=EB，
又 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴BC=DC，
∴BC+BE=CD+DM，即 CE=CM．
(2) ① ∵EG=MG，DG=GF，
∠DGM=∠EGF，
∴△DGM≌△FGE，
可得：DM=EF=BE，DM∥EF，
延长 EF 交 DC 于 H，∠MDC=∠DHE，
又 ∵∠BEF=∠HCB=90∘，
∴∠DHE=∠EBC，
∴∠EBC=∠MDC，
又 ∵DC=BC，
∴△DMC≌△BEC，
∴∠EBC=∠MDC．
② ∵∠ECB=∠DCM，
∴∠BCE+∠DCE=∠DCM+∠DCE=90∘，
∵G 为 EM 中点，GE=GM，
∴CG⊥EM 并且 CG=EG．
106. 【答案】C
107. 【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) 略
108. 【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
109. 【答案】C
110. 【答案】
(1) 如图 1 所示：△A1B1C1 是所求的三角形．
(2) 如图 2 所示：△A2B2C1 为所求作的三角形．
111. 【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
112. 【答案】C
113. 【答案】
(1) △A1B1C1 如图所示：
(2) △A2B2C2 如图所示．
114. 【答案】①②④
【解析】∵ 把 Rt△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 Rt△DFC，
∴CF=CB=2，∠BCF=90∘，
∴△CBF 为等腰直角三角形，
∴BF=2BC=22，∠CBF=45∘，
∴ ①②正确；
∵ 直线 DF 垂直平分 AB，
∴FA=FB，BE=AE，
∴∠A=∠ABF，
而 ∠BFC=∠A+∠ABF=45∘，
∴∠A=22.5∘，
∵CE 为斜边 AB 上的中线，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠A=22.5∘，
∴∠CEF=180∘−90∘−2×22.5∘=45∘，
∴ ③错误；
作 EH⊥BD 于 H，如图，
∵ 把 Rt△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 Rt△DFC，
∴CD=CA=2+22，
∵ 点 E 为 AB 的中点，
∴EH=12AC=2+1，
∴△ECD的面积=12⋅2+1⋅2+3=22+3，
∴ ④正确．
115. 【答案】C
【解析】根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65∘，∠C=∠E=70∘．
如图，设 AD⊥BC 于点 F．
则 ∠AFB=90∘，
∴ 在 Rt△ABF 中，∠B=90∘−∠BAD=25∘，
∴ 在 △ABC 中，∠ BAC=180∘−∠B−∠C=180∘−25∘−70∘=85∘，即 ∠BAC 的度数为 85∘．
116. 【答案】C
【解析】如图，设小方格的边长为 1，
得，OC=22+22=22，AO=22+22=22，AC=4，
∵OC2+AO2=222+222=16，AC2=42=16，
∴△AOC 是直角三角形，
∴∠AOC=90∘．
117. 【答案】
(1) 23
(2) 3
【解析】
(1) 如图 2，
在矩形 ABCD 中，∠A=∠D=90∘，
∵AP=1，AB=3，
∴PB=12+32=2，
∵∠ABP+∠APB=90∘，∠BPC=90∘，
∴∠APB+∠DPC=90∘，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP:CD=PB:CP，即 1:3=2:PC，
∴PC=23．
(2) 设线段 EF 的中点为 O，连接 OP，OB，如图 1，
在 Rt△EPF 中，OP=12EF，
在 Rt△EBF 中，OB=12EF，
∴OP=OB，
∴O 点在线段 BP 的垂直平分线上，如图 2
当点 E 与点 B 重合时，点 F 与点 C 重合时，EF 的中点为 BC 的中点 O，
当点 E 与点 A 重合时，EF 的中点为 PB 的中点 O，
∴OOʹ 为 △PBC 的中位线，
∴OOʹ=12PC=3，
∴ 线段 EF 的中点经过的路线长为 3．
118. 【答案】
(1) ∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在 △AFD 和 △CED 中，
∠2=∠1,∠4=∠3,CD=AD,
∴△CDE≌△ADFAAS．
(2) ∵△CDE≌△ADF，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形．
(3) 当旋转角 α=90∘ 时，四边形 AFCE 是正方形，这时 BC=2CE，理由如下：
∵ 由（2）知，四边形 AFCE 是平行四边形，
∴ 当 α=90∘ 时，平行四边形 AFCE 是菱形，
又 AC=BC，
∴∠BAC=∠B=22.5∘，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=22.5∘+22.5∘=45∘，
∴△CED 是等腰直角三角形，则 CD=ED，
∵ 四边形 AFCE 是平行四边形，
∴AC=2CD，EF=2ED，
∴AC=EF，
∴ 菱形 AFCE 是正方形，
∴AE=CE，
在 Rt△ACE 中由勾股定理：AC=AE2+CE2=2CE，
∵AC=BC，
∴BC=2CE．
119. 【答案】A
120. 【答案】C
图形的平移与旋转2016-2020年成都数学八年级下学期常规版期末汇编
1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
2. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3. △ABC 在平面直角坐标系中如图：
(1) 画出将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1，并写出 A1 点的坐标．
(2) 画出 △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 △AA1A2 的面积．
4. 在下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
5. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，三角形 ABC 的三个頂点都在格点上．
(1) 画出三角形 ABC 向上平移 4 个单位后的三角形 A1B1C1（点 A，B，C 的对应点为点 A1，B1，C1）；
(2) 画出三角形 A1B1C1 向左平移 5 个单位后的三角形 A2B2C2（点 A1，B1，C1 的对应点为点 A2，B2，C2）；
(3) 分别连接 AA1，A1A2，AA2，并直接写出三角形 AA1A2 的面积为 平方单位．
6. 在直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形中，中心对称图形有
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
7. 如图，已知在 △ABC 中，AB=3，AC=2，∠A=45∘，将这个三角形绕点 B 旋转，使点 A 落在射线 AC 上的点 A1 处，点 C 落在点 C1 处，那么 AC1= ．
8. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A． B． C． D．
9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为 △ABC 内一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，如果 AP=3，那么线段 PPʹ 的长等于 ．
10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A1,3，B2,5，C4,2．（每个方格的边长均为 1 个单位长度）
(1) 将 △ABC 平移，使点 A 移动到点 A1，请画出 △A1B1C1；
(2) 作出 △ABC 关于 O 点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 A2，B2，C2 的坐标；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
11. 如图，BC 为等边 △ABM 的高，AB=52，点 P 为射线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 60∘，得到线段 PD，连接 MD，BD．
(1) 如图①，当点 P 在线段 BC 上时，求证：BP=MD；
(2) 如图②，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，求证：BP=MD；
(3) 若点 P 在线段 BC 的延长线上，且 ∠BDM=30∘ 时，请直接写出线段 AP 的长度．
12. 下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是
A.
正方形
B.
正三角形
C.
正六边形
D.
禁止标志
13. 如图，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，点 B 的对应点是点 E，点 C 的对应点是点 D，若 ∠BAC=35∘，则 ∠CAE 的度数为
A． 90∘ B． 75∘ C． 65∘ D． 85∘
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A−2,3，B−3,1，C−1,2．且 △A1B1C1 与 △ABC 关于原点 O 成中心对称．
(1) 画出 △A1B1C1，并写出 A1 的坐标；
(2) Pa,b 是 △ABC 的边 AC 上一点，△ABC 经平移后点 P 的对应点 Pʹa+3,b+1，请画出平移后的 △A2B2C2．
15. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90∘ 后得到矩形 AMEF（如图 1），连接 BD，MF，若 BD=4 cm，∠ADB=30∘．
(1) 试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2) 把 △BCD 与 △MEF 剪去，将 △ABD 绕点 A 顺时针旋转得 △AB1D1，边 AD1 交 FM 于点 K（如图 2），设旋转角为 β0∘<β<90∘，当 △AFK 为等腰三角形时，求 β 的度数．
(3) 若将 △AFM 沿 AB 方向平移得到 △A2F2M2（如图 3），F2M2 与 AD 交于点 P，A2M2 与 BD 交于点 N，当 NP∥AB 时，求平移的距离．
16. 解答下列问题：
(1) 【问题发现】如图 1，在 Rt△ABC 中．AB=AC=4，∠BAC=90∘，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ；
(2) 【拓展研究】在( 1 )的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，当点 B，E，F 三点共线时，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；
(3) 【问题发现】当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时，求线段 AF 的长．
17. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
18. 如图，将 △ABC 绕点 A 旋转到 △ADE 的位置，使点 D 落到线段 AB 的垂直平分线上，则旋转角的度数为
A． 40∘ B． 50∘ C． 60∘ D． 70∘
19. 如图，三角形 DEF 是由三角形 ABC 通过平移得到，且点 B，E，C，F 在同一条直线上，若 BF=14，EC=6，则 BE 的长度是 ．
20. 将直角边长为 63 cm 的等腰直角 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 15∘ 后，得到 △ABʹCʹ，BʹCʹ 交 AB 于 E，则图中阴影部分 △ACʹE 的面积是 cm2．
21. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 AB 上一点，连接 DE，将直线 DE 绕点 D 逆时针旋转 90∘，交 BC 的延长线于点 F．
(1) 如图 1，求证：DE=DF；
(2) 如图 2，连接 EF，若 D 关于直线 EF 的对称点为 H，连接 CH，过点 H 作 PH⊥CH 交 AB 于点 P，求证：E 是 AP 的中点；
(3) 如图 3，在（2）的条件下，连接 AC 交 EF 于点 G，连接 BG，BH，若 BG=25，AB=6，求线段 PH 的长．
22. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形
23. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点坐标分别是 A−4,1，B−1,1，C−2,3．
(1) 将 △ABC 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度后得到 △A1B1C1，请画出 △A1B1C1；
(2) 将 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到 △A2B2C2，请画出 △A2B2C2；
(3) 直接写出以 C1，B1，B2 为顶点的三角形的形状是 ．
24. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形
25. 下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
26. 已知 △ABC 是等腰三角形．
(1) 如图 1，若 △ABC，△ADE 均是顶角为 42∘ 的等腰三角形，BC，DE 分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
(2) 如图 2，若 △ABC 为等边三角形，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90∘，得到 AD，连接 BD，∠BAC 的平分线交 BD 于点 E，连接 CE．
①求 ∠AED 的度数；
②试探究线段 AE，CE，BD 之间的数量关系，并证明．
27. 如图，点 I 为 △ABC 角平分线交点，AB=8，AC=6，BC=5，将 ∠ACB 平移使其顶点 C 与点 I 重合，则图中阴影部分的周长为 ．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−2,m 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90∘ 后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则 m 的取值范围是 ．
29. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．平行四边形
C．矩形 D．正五边形
30. 如图，将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，其中点 E 与点 C 重合，连接 BD，若 AB=2，则线段 BD 的长为
A． 2 B． 4 C． 3 D． 23
31. 如图，在 4×4 的网格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点 M，N，P，Q 中找一点作为旋转中心．将 △ABC 绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张 4×4 的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有
A．点 M，点 N B．点 M，点 Q C．点 N，点 P D．点 P，点 Q
32. 如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD=AE，连接 DE，现将 △ADE 绕点 A 逆时针旋转一定角度（如图 2），连接 BD，CE．
(1) 求证：△ABD≌△ACE；
(2) 延长 BD 交 CE 于点 F，若 AD⊥BD，BD=6，CF=4，求线段 DF 的长．
33. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
34. △ABC 在平面直角坐标系中如图：
(1) 画出将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1，并写出 A1 点的坐标；
(2) 画出 △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 △AA1A2 的面积．
35. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
36. 如图，已知 ∠ABC=45∘，AB=42，把线段 AB 向右平移 7 个单位得到 AʹBʹ，则四边形 ABBʹAʹ 的面积是 ．
37. 如图，把 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转 35∘ 得到 △ABʹCʹ，BʹCʹ 与 AC 相交于点 D，∠B=60∘，则 ∠ADBʹ 的度数是 ．
38. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
39. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将 △ABC 绕点 B 旋转得到 △AʹBCʹ，且点 C 的对应点 Cʹ 刚好落在 AB 上，连接 AAʹ．则 ∠AAʹCʹ= ．
40. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，ΔABC 的顶点均在格点上，坐标分别为 A2,2，B1,0，C3,1．
(1) 画出 ΔABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1；
(2) 画出将 ΔABC 绕原点 O 顺时针旋转 90∘ 所得的 △A2B2C2；
(3) △ABC 与 △A2B2C2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
41. 已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D．
(1) 如图 1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，连接 AF 交 CD 于点 G．求证：AG=GF；
(2) 如图 2，点 E 是线段 CB 上一点（CE<12CB）．连接 ED，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到 EF，连接 AF 交 CD 于点 G．
①求证：AG=GF；
②若 AC=BC=7，CE=2，求 DG 的长．
42. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
43. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 50∘ 得 △ADE，若 ∠BAC=20∘，则 ∠BAE 的度数是 ．
44. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A4,0，B0,5．将 △BOA 绕点 A 顺时针方向旋转得 △BʹOʹA，若点 B 在 BʹOʹ 的延长线上，则直线 BBʹ 的解析式为 ．
45. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 −23,0，将 x 轴绕点 A 逆时针旋转 30∘ 得直线 l，直线 l 交 y 轴于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 C．
(1) 求直线 BC 的解析式：
(2) 线段 AB，BC 的中点分别是 D，E，点 F 在 x 轴上，且以点 D，E，C，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 F 的坐标．
(3) 在平面直角坐标系内是否存在两个点，使以这两点及点 A，B 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
46. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
47. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转至 △AʹBʹC，使得点 Aʹ 恰好落在 AB 上，则旋转角度为
A． 30∘ B． 60∘ C． 90∘ D． 150∘
48. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网络中，给出了 △ABC 和 △DEF（网点为网格线的交点）．
(1) 将 △ABC 向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度，画出平移后的图形 △A1B2C3；
(2) 画出以点 O 为对称中心，与 △DEF 成中心对称的图形 △D2E2F2；
(3) 求 ∠C+∠E 的度数
49. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △DEC，连接 AD，BE，延长 BE 交 AD 于点 F．
(1) 求证：∠DEF=∠ABF；
(2) 求证：F 为 AD 的中点；
(3) 若 AB=8，AC=10，且 EC⊥BC，求 EF 的长．
50. 如图图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
51. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形是
A．圆 B．平行四边形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
52. 如图，Rt△ABC 沿直线边 AB 所在的直线向下平移得到 △DEF，下列结论中不一定正确的
A． S四边形ADHC=S四边形BEFH B． AD=BD
C． AD=BE D． ∠DEF=90∘
53. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
54. 如图，将等边 △ABC 沿直线 BC 平移到 △DEF，使点 E 与点 C 重合，连接 BD，若 AB=2，则 BD 的长为
A． 23 B． 3 C． 3 D． 25
55. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点分别为 A0,4，B−4,2，C0,2．
(1) 画 △A1B1C1，使它与 △ABC 关于点 C 成中心对称；
(2) 平移 △ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为 −2,4，画出平移后对应的 △A2B2C2；
(3) 若将 △A1B1C1 绕点 P 旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心 P 的坐标．
56. 如图，在 △ABC 中，AC=BC=9，∠C=120∘，D 为 AC 边上一点，且 AD=6，E 是 AB 边上一动点，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 30∘ 得到 DF，若 F 恰好在 BC 边上，则 AE 的长为 ．
57. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG．
(1) 如图 1，若在旋转过程中，点 E 落在对角线 AC 上，AF，EF 分别交 DC 于点 M，N．
①求证：MA=MC；
②求 MN 的长；
(2) 如图 2，在旋转过程中，若直线 AE 经过线段 BG 的中点 P，连接 BE，GE，求 △BEG 的面积．
58. 成都是一个历史悠久的文化名城，以下这些图形都是成都市民熟悉的，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
59. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
60. 如图所示，将一个含 30∘ 角的直角三角板 ABC 绕点 A 逆时针旋转，点 B 的对应点是点 Bʹ，若点 Bʹ，A，C 在同一条直线上，则三角板 ABC 旋转的度数是
A． 60∘ B． 90∘ C． 120∘ D． 150∘
61. 如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60∘ 得到线段 CP′，连接 AP′．若 PA=3，PC=4，PB=5，则四边形 APCPʹ 的面积为 ．
62. 如图，矩形 ABCD 中，AC=2AB，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ．使点 B 的对应点 Bʹ 落在 AC 上，BʹCʹ 交 AD 于点 E，在 BʹCʹ 上取点 F，使 BʹF=AB．
(1) 求证：AE=CʹE；
(2) 求 ∠BFBʹ 的度数；
(3) 若 AB=22，求 BF 的长．
63. 在以下“绿色食品，响应环保，可回收物，节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
64. 如图，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，点 B 的对应点是点 E，点 C 的对应点是点 D，若 ∠BAC=35∘，则 ∠CAE 的度数为
A． 90∘ B． 75∘ C． 65∘ D． 85∘
65. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 与 △DEF 关于点 O 成中心对称，△ABC 与 △DEF 的顶点均在格点上．
(1) 在图中直接画出 O 点的位置；
(2) 若以 O 点为平面直角坐标系的原点，线段 AD 所在的直线为 y 轴，过点 O 垂直 AD 的直线为 x 轴，此时点 B 的坐标为 −2,2，请你在图上建立平面直角坐标系，并回答下列的问题：
将 △ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到 △A1B1C1，请画出 △A1B1C1，并直接写出点 B1 的坐标．
66. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
67. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度．已知 △ABC 在网格冬中的位置如图所示．
(1) 请在网格图中画出 △ABC 向右平移 7 个单位后的图形 △A1B1C1，并直接写出平移过程中线段 BC 扫过的面积．
(2) 请在网格图中画出 △ABC 以 P 为对称中心的图形 △A2B2C2（保留作图痕迹）．
68. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E，正方形 EFGH 绕点 E 旋转，直线 FB 与直线 CH 相交于点 P，若 AB=2，∠DBP=75∘，则 DP2 的值是 ．
69. 如图 1，在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，边 AE 在边 AB 上，AB=2AE=4．将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转 α0∘≤α≤60∘．
(1) 如图 2，当 α>0∘ 时，求证：△DAG≌△BAE；
(2) 在旋转的过程中，设 BE 的延长线交直线 DG 于点 P．
①如果存在某时刻使得 BF=BC，请求出此时 DP 的长；
②若正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转了 60∘，求旋转过程中点 P 运动的路线长．
70. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
71. 如图，△ABC 中，∠C=63∘，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转后，得到 △ABʹCʹ，且 Cʹ 在边 BC 上，则 ∠BʹCʹB 的度数为
A． 45∘ B． 54∘ C． 87∘ D． 70∘
72. 四边形 ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90∘，BE=EF，连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG．
(1) 如图 1，若点 E 在 CB 边的延长线上时，延长线段 EG，CD 相交于点 M，求证：GE=GM，CE=CM．
(2) 将图 1 中的 △BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置时，延长 EG 到 M，使 GE=GM，连接 MD，MC．
①求证：∠EBC=∠MDC；
②判断 EG 与 CG 的关系并证明．
73. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
74. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
75. 我们定义：在 △ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 α0∘<α<180∘ 得到 ABʹ，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 β 得到 ACʹ，连接 BʹCʹ．当 α+β=180∘ 时，我们称 △ABʹCʹ 叫 △ABC 的“旋补三角形”，△ABʹCʹ 的边 BʹCʹ 上的中线 AD 叫做 △ABC 的“旋补中线”．下面各图中，△ABʹCʹ 均是 △ABC 的“旋补三角形”，AD 均是 △ABC 的“旋补中线”．
(1) 如图 1，若 △ABC 为等边三角形，BC=8，则 AD 的长等于 ；
(2) 如图 2，若 ∠BAC=90∘，求证：AD=12BC；
(3) 如图 3，若 △ABC 为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．
76. 利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是
A． B．
C． D．
77. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ 的位置，旋转角为 α（0<α<90∘），若 ∠1=110∘，则 ∠α=
A． 10∘ B． 20∘ C． 25∘ D． 30∘
78. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
79. 如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A−3,5，B−2,1，C−1,3．
(1) 将 △ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1，并写出点 B 的对应点 B1 的坐标．
(2) 将 △ABC 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90∘ 得到 △A2B2C2，画出 △A2B2C2．
80. 已知四边形 ABCD 为矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠CDO=30∘，点 E，F 为矩形边上的两个动点，且 ∠EOF=60∘．
(1) 如图 1，当点 E，F 分别位于 AB，AD 边上时，
①求证：∠DOF=∠AOE．
②若 ∠OEB=75∘，求证：DF=AE．
(2) 如图 2，当点 E，F 同时位于 AB 边上时，若 ∠OFB=75∘，试探究线段 AF 与线段 BE 的数量关系，并说明理由．
81. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
82. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点 A−2,2，B0,5，C0,2．
(1) 将 △ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180∘，得到 △A1B1C，请画出 △A1B1C 的图形．请写出此时 B1 坐标．
(2) 平移 △ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为 −2,−6，请画出平移后对应的 △A2B2C2 的图形．请写出此时 B2 坐标．
(3) 若将 △A1B1C 绕某一点旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
83. 完成下列各题：
(1) 如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，以点 C 为中心，把 △ABC 顺时针旋转 90∘，得到 △A1B1C；再以点 A 为中心，把 △ABC 逆时针旋转 90∘，得到 △AB2C1，连接 A1C1，求证：A1C1∥AC．
(2) 如图②，当 △ABC 是锐角三角形，∠ACB=α（α≠60∘）时，将 △ABC 按照（1）中的方式旋转 α，连接 A1C1，探究 A1C1 与 AC 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明．
(3) 如图③，在图②的基础上，连接 C1C，若 A1C1=37AC，△A1C1C 的面积为 6，求 △C1CA 的面积．
84. 如图，将正方形图案绕中心 O 旋转 180∘ 后，得到的图案是
A． B． C． D．
85. 如图，将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是
A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60∘ D． ∠ACB=60∘
86. 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG．
(1) 求证：EG=CG．
(2) 将图 1 中 △BEF 绕点 B 逆时针旋转 45∘，如图 2 所示，连接 EG，CG．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
87. 如图，△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC，EF 的中点，直线 AG，FC 相交于点 M，若线段 BM 的长为 a，则当 △EFG 绕点 D 旋转时，a 的取值范围是 ．
88. 下列图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
89. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=60∘，将 △ABC 沿着点 B 到点 C 的方向平移得到 △DEF，若 AB=6，DH=2，那么图中阴影部分的面积为 ．
90. 在 △ABC 中，AC=2AB=26，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转到 Bʹ 恰好在 BC 上，BʹCʹ 与 AC 交于点 D，连接 CCʹ．
(1) 若 BBʹ=10，求 CCʹ 的长．
(2) 在（1）的条件下，求 △ABBʹ 的面积．
91. 在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ，若 Dʹ 恰好在 BC 上，点 E 为 CʹDʹ 的中点，连接 BE，则 BE= ．
92. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=34x+3 的图象与 x 轴和 y 轴交于 A，B 两点将 △AOB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到 △AʹOBʹ 则直线 AʹBʹ 的解析式是 ．
93. 如图，长方形 ABCD 中 AB=2，BC=4，正方形 AEFG 的边长为 1．正方形 AEFG 绕点 A 旋转的过程中，线段 CF 的长的最小值为 ．
94. 在等腰 Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘
(1) 如图 1，D，E 是等腰 Rt△ABC 斜边 BC 上两动点，且 ∠DAE=45∘，将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 后，得到 △AFC，连接 DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当 BE=3，CE=7 时，求 DE 的长；
(2) 如图 2，点 D 是等腰 Rt△ABC 斜边 BC 所在直线上的一动点，连接 AD，以点 A 为直角顶点作等腰 Rt△ADE，当 BD=3，BC=9 时，求 DE 的长．
95. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，分别以 △ABC 的边 AB，BC，CA 为一边向 △ABC 外作正方形 ABDE，BCMN，CAFG，连接 EF，ND，则图中阴影部分的面积之和等于 ．
96. 如图，A，B，C 三点在正方形网格线的交点处，若将 △ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到 △ACʹBʹ，则 tanBʹ 的值为
A．12 B．13 C．14 D．24
97. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=15，BC=9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 PD，连接 AD，则线段 AD 的最小值是 ．
98. 如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90∘，AC＝15，BC＝9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 PD，连接 AD，则线段 AD 的最小值是 ．
99. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 Dʹ 处，那么 ADʹ 为
A． 6 B． 33 C． 18 D． 32
100. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
101. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A=45∘，AB=4，AD=22，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转 90∘ 至 MNʹ，则 NʹB+NʹC 的最小值是
102. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
103. 如图，△ABC 中，∠C=63∘，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转后，得到 △ABʹCʹ，且 Cʹ 在边 BC 上，则 ∠BʹCʹB 的度数为
A． 45∘ B． 54∘ C． 87∘ D． 70∘
104. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是 1），△ABC 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1) 作出 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90∘，得到的 △AB1C1，点 B1 坐标为 ．
(2) 平移 △ABC，使 B 点对应点 B2 的坐标是 1,2，画出平移后对应的 △A2B2C2，点 C2 的坐标为 ．
(3) 求 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 后，线段 AB 扫过的图形面积．
105. 四边形 ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90∘，BE=EF，连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG．
(1) 如图 1，若点 E 在 CB 边的延长线上时，延长线段 EG，CD 相交于点 M，求证：GE=GM，CE=CM．
(2) 将图 1 中的 △BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置时，延长 EG 到 M，使 GE=GM，连接 MD，MC．
①求证：∠EBC=∠MDC．
②判断 EG 与 CG 的关系并证明．
106. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
107. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标是 −3,−1．
(1) 先将 △ABC 沿 y 轴正方向向上平移 3 个单位长度，再沿 x 轴负方向向左平移 1 个单位长度得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1，点 C1 坐标是 ；
(2) 将 △A1B1C1 绕点 B1 逆时针旋转 90∘，得到 △A2B1C2，画出 △A2B1C2，并写出点 C2 的坐标是 ；
(3) 我们发现点 C，C2 关于某点中心对称，对称中心的坐标是 ．
108. 如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是
A． B．
C． D．
109. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
110. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
(1) 画出将 △ABC 向上平移 3 个单位后得到的 △A1B1C1；
(2) 画出将 △A1B1C1 绕点 C1 按顺时针方向旋转 90∘ 后所得到的 △A2B2C1．
111. 下面四个汽车标志图案中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
112. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A．30∘ B．45∘ C．90∘ D．135∘
113. 如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的小正方形．
(1) 将 △ABC 向右平移 3 个单位长度，画出平移后的 △A1B1C1；
(2) 将 △ABC 绕点 O 旋转 180∘，画出旋转后的 △A2B2C2．
114. 如图，把 Rt△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 Rt△DFC，若直线 DF 垂直平分 AB，垂足为点 E，连接 BF，CE，且 BC=2．下面四个结论：
① BF=22；
② ∠CBF=45∘；
③ ∠CED=30∘；
④ △ECD 的面积为 22+3，
其中正确的结论有 ．
115. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到 △ADE．若 ∠CAE=65∘，∠E=70∘，且 AD⊥BC，∠BAC 的度数为
A．60∘ B．75∘ C．85∘ D．90∘
116. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A．30∘ B．45∘ C．90∘ D．135∘
117. 在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=3，AP=1．将直角尺的顶点放在 P 处，直角尺的两边分别交 AB，BC 于点 E，F，连接 EF（如图 1）．
(1) 当点 E 与点 B 重合时，点 F 恰好与点 C 重合（如图 2），则 PC 的长为 ；
(2) 将直角尺从图 2 中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 和点 A 重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段 EF 的中点所经过的路径（线段）长为 ．
118. 如图，在 △ABC 中，D 是 AC 的中点，过点 A 的直线 l∥BC，将直线 AC 绕点 D 逆时针旋转（旋转角 α<∠ACB），分别交直线 l 于点 F 与 BC 的延长线交于点 E，连接 AE，CF．
(1) 求证：△CDE≌△ADF；
(2) 求证：四边形 AFCE 是平行四边形；
(3) 当 ∠B=22.5∘，AC=BC 时，请探索：是否存在这样的 α 能使四边形 AFCE 成为正方形？请说明理由；若能，求出这时的旋转角 α 的度数和 BC 与 CE 的数量关系．
119. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
120. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到 ∠COD 的位置，则旋转的角度为
A．30∘ B．45∘ C．90∘ D．135∘
答案
1. 【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】
(1) 将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1 如图所示；
A1 点的坐标为 −3,2．
(2) △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2 如图所示．
13．
【解析】
(2) ∵AA1=12+52=26，
AA2=12+52=26，
A1A2=42+62=52，
∴AA1=AA2=22A1A2，
∴△AA1A2 是等腰直角三角形，
∴S△AA1A2=12AA1⋅AA2=12×26×26=13．
4. 【答案】B
【解析】中心对称图形指：沿某点旋转 180∘ 后，仍能与原图形完全重合的几何图形，
故可知B中图形为中心对称图形．
5. 【答案】
(1) 如图所示，△A1B1C1 即为所求．
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
(3) 10
【解析】
(3) △AA1A2 的面积为 12×4×5=10（平方单位）．
6. 【答案】A
【解析】中心对称图形指旋转 180∘ 与原图形一样，
故仅平行四边形是中心对称图形．
7. 【答案】 22
【解析】如图，连接 AC1，
由旋转知，△ABC≌△A1BC1，
∴AB=A1B=3，AC=A1C1=2，
∠CAB=∠C1A1B=45∘，
∴∠CAB=∠CA1B=45∘，
∴△ABA1 为等腰直角三角形，
∠AA1C1=∠CA1B+∠C1A1B=90∘，
在等腰直角三角形 ABA1 中，
AA1=2AB=32，
在 Rt△AA1C1 中，
AC1=AA12+A1C12=322+22=22．
8. 【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
9. 【答案】 32
【解析】 ∵△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，
∴△ABP≌△ACPʹ，
即线段 AB 旋转后到 AC，
∴ 旋转了 90∘，
∴∠PAPʹ=∠BAC=90∘，AP=APʹ=3，
∴PPʹ=32．
10. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；点 A2，B2，C2 的坐标分别为 −1,−3，−2,−5，−4,−2；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 关于点 P 中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为 −2,−1．
11. 【答案】
(1) 如图①，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC−∠CAP，∠MAD=∠PAD−∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(2) 如图②，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘=∠AMB，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP，∠MAD=∠PAD+∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(3) 52
【解析】
(3) ∵BC 为等边 △ABM 的高，
∴∠ABC=30∘，
∵△BAP≌△MAD，
∴∠ABP=∠AMD=30∘，
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=90∘，
∴∠BMD=90∘，
∵∠BDM=30∘，
∴∠DBM=60∘，
∴ 点 D 在 BA 的延长线上，
如图③，
∵∠BDM=30∘，∠BMD=90∘，
∴BD=2BM=102，
∴AD=BD−AB=52，
∵PA=PD=AD，
∴AP=AD=52．
12. 【答案】B
【解析】A．图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
B．图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
C．图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D．图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误．
13. 【答案】D
【解析】因为将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，
所以 ∠BAE=120∘ 且 ∠BAC=35∘，
所以 ∠CAE=85∘．
14. 【答案】
(1) 如图所示，△A1B1C1 即为所求，A1 的坐标为 2,−3．
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
15. 【答案】
(1) 结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：
如图 1，延长 FM 交 BD 于点 N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又 ∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90∘，
∴∠DNM=90∘，
∴BD⊥MF．
(2) 如图 2，
①当 AK=FK 时，∠KAF=∠F=30∘，
则 ∠BAB1=180∘−∠B1AD1−∠KAF=180∘−90∘−30∘=60∘，
即 β=60∘；
②当 AF=FK 时，∠FAK=12180∘−∠F=75∘，
∴∠BAB1=90∘−∠FAK=15∘，
即 β=15∘；
综上所述，β 的度数为 60∘ 或 15∘；
(3) 如图 3，
由题意得矩形 PNA2A．设 A2A=x，则 PN=x，
在 Rt△A2M2F2 中，
∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30∘，
∴A2M2=2，A2F2=23，
∴AF2=23−x．
∵∠PAF2=90∘，∠PF2A=30∘，
∴AP=AF2⋅tan30∘=2−33x，
∴PD=AD−AP=23−2+33x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，
∴△DPN∽△DAB，
∴PNAB=DPDA，
∴x2=23−2+33x23，
解得 x=3−3，即 A2A=3−3，
∴ 平移的距离是 3−3 cm．
16. 【答案】
(1) BE=2AF
(2) 无变化；
如图 2，在 Rt△ABC 中，AB=AC=4，
所以 ∠ABC=∠ACB=45∘，
所以 sin∠ABC=CACB=22，
在正方形 CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45∘，
在 Rt△CEF 中，sin∠FEC=CFCE=22，
所以 CFCE=CACB，
因为 ∠FCE=∠ACB=45∘，
所以 ∠FCE−∠ACE=∠ACB−∠ACE，
所以 ∠FCA=∠ECB，
所以 △ACF∽△BCE，
所以 BEAF=CBCA=22，
所以 BE=2AF，
所以线段 BE 与 AF 的数量关系无变化．
(3) 当点 E 在线段 AF 上时，如图 2，
由 1 知，CF=EF=CD=22，
在 Rt△BCF 中，CF=22，BC=42，
根据勾股定理得，BF=26，
所以 BE=BF−EF=26−22，
由（2）知，BE=2AF，
所以 AF=23−2，
当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，
在 Rt△ABC 中，AB=AC=4，
所以 ∠ABC=∠ACB=45∘，
所以 sin∠ABC=CACB=22，
在正方形 CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45∘，
在 Rt△CEF 中，sin∠FEC=CFCE=22，
所以 CFCE=CACB，
因为 ∠FCE=∠ACB=45∘，
所以 ∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
所以 ∠FCA=∠ECB，
所以 △ACF∽△BCE，
所以 BEAF=CBCA=2，
所以 BE=2AF，
由（1）知，CF=EF=CD=22，
在 Rt△BCF 中 CF=22，BC=42，
根据勾股定理的，BF=26，
所以 BE=BF+EF=26+22，
由（2）知，BE=2AF，
所以 AF=23+2，
即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为 23−2 或 23+2．
【解析】
(1) 在 Rt△ABC 中，AB=AC=4，根据勾股定理得，BC=2AB=42，
点 D 为 BC 的中点，
所以 AD=12BC=22，
因为四边形 CDEF 是正方形，
所以 AF=EF=AD=22，
因为 BE=AB=4，
所以 BE=2AF．
17. 【答案】C
18. 【答案】C
【解析】连接 BD，
∵ 点 D 落到线段 AB 的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∵AD=AB，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠BAD=60∘，
∴ 旋转角的度数为 60∘．
19. 【答案】 4
【解析】 ∵ 三角形 DEF 是由三角形 ABC 通过平移得到，
∴BE=CF，
∵BE+EC+CF=BF，
∴BE+6+BE=14，
∴BE=4．
20. 【答案】 183
【解析】根据旋转性质得 ∠CACʹ=15∘，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45∘，
∴∠CʹAE=∠CAB−∠CACʹ=30∘，
∵ACʹ=AC=63，∠Cʹ=∠C=90∘，
∴CʹE=ACʹ⋅tan30∘=63×33=6，
阴影部分面积为：12×63×6=183cm2．
21. 【答案】
(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90∘=∠BCD，
∵ 将直线 DE 绕点 D 逆时针旋转 90∘，
∴∠EDF=90∘，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，且 AD=CD，∠A=∠DCF=90∘，
∴△ADE≌△CDFSAS，
∴DE=DF．
(2) 如图 2，连接 EH，FH，
∵ 若 D 关于直线 EF 的对称点为 H，
∴EH=DE，FH=DF，且 DE=DF，
∴EH=DE=FH=DF，
∵DE=EH，DF=HF，EF=EF，
∴△DEF≌△HEFSSS
∴∠EHF=∠EDF=90∘，且 PH⊥CH，
∴∠PHE=∠FHC，
∵∠B=∠PHC=90∘，∠BGP=∠CGH，
∴∠BPG=∠HCG，
∴∠EPH=∠HCF，且 EH=HF，∠EHP=∠CHF，
∴△EHP≌△CHFASA，
∴EP=CF，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴AE=EP，
∴ 点 E 是 AP 中点．
(3) 如图 3，连接 PC，EH，FH，过点 E 作 EK∥BC，交 AC 于 K，
∵EK∥BC，
∴∠AKE=∠ACB=45∘=∠EAK，∠AEK=∠ABC=90∘，∠EKG=∠GCF，
∴AE=EK，
∵AE=CF，
∴EK=CF，且 ∠EKG=∠GCF，∠EGK=∠CGF，
∴△EKG≌△FCGAAS，
∴EG=FG，
∵BG=25，
∴EG=FG=BG=25，
∴EF=45，
∵EF2=BE2+BF2，
∴80=6−AE2+6+AE2，
∴AE=2，
∴BP=AB−AE−EP=2，
∴PC=BC2+BP2=36+4=210，
由（2）可知 △EHP≌△CHF，
∴PH=CH，且 PH⊥CH，
∴PC=2PH，
∴PH=25．
22. 【答案】C
【解析】A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是中心对称图形．
23. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；点 A1，B1，C1 的坐标分别为 −3,−2，0,−2，−1,0．
(2) 如图，△A2B2C2 为所作．
(3) 等腰直角三角形
【解析】
(3) ∵C1B12=5，C1B22=5，B1B22=10，
∴C1B12+C1B22=B1B22，C1B1=C1B2，
∴ 以 C1，B1，B2 为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形．
24. 【答案】C
【解析】A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是中心对称图形．
25. 【答案】D
26. 【答案】
(1) ∵△ABC，△ADE 均是顶角为 42∘ 的等腰三角形，BC，DE 分别是底边，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 和 △ACE 中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS．
(2) ① ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
由旋转知，AC=AD，∠CAD=90∘，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAC+∠CAD=150∘，
∴∠D=12180∘−∠BAD=15∘，
∵AE 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=30∘，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=120∘，
∴∠AED=180∘−∠D−∠DAE=45∘；
② BD=2CE+2AE；
证明：如图，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AE 是 ∠BAC 的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE，
∴△BAE≌△CAESAS，
∴BE=CE，
过点 A 作 AF⊥AE 交 DE 于 F，
∴∠EAF=90∘，
由旋转知，∠CAD=90∘，
∴∠CAE=∠DAF，
由①知，∠AED=45∘，
∴∠AFE=45∘=∠AEF，
∴AE=AF，
∴EF=2AE，
∵AC=AD，
∴△ACE≌△ADFSAS，
∴DF=CE，
∴BD=BE+EF+DF=CE+2AE+CE=2CE+2AE．
27. 【答案】 8
【解析】如图，连接 AI，BI，
∵ 点 I 为 △ABC 角平分线交点，
∴IA 和 IB 分别平分 ∠CAB 和 ∠CBA，
∴∠CAI=∠DAI，∠CBI=∠EBI，
∵ 将 ∠ACB 平移，使其顶点与点 I 重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI=∠DIA，∠CBI=∠EIB，
∴∠DAI=∠DIA，∠EBI=∠EIB，
∴DA=DI，EB=EI，
∴DE+DI+EI=DE+DA+EB=AB=8．
即图中阴影部分的周长为 8．
28. 【答案】 2.5≤m≤3
【解析】解：如图，将阴影区域绕着点 O 逆时针旋转 90∘，与直线 x=−2 交于 C，D 两点，则点 A−2,m 在线段 CD 上，
又 ∵ 点 D 的纵坐标为 2.5，点 C 的纵坐标为 3，
∴m 的取值范围是 2.5≤m≤3．
29. 【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
30. 【答案】D
【解析】如图，过点 D 作 DH⊥CF 于 H，
∵ 将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，
∴△DEF 是等边三角形，
∴DF=CF=2，∠DFC=60∘，
∵DH⊥CF，
∴∠FDH=30∘，CH=HF=1，
∴DH=3HF=3，BH=BC+CH=3，
∴BD=BH2+DH2=3+9=23．
31. 【答案】C
【解析】观察图象可知，点 P，点 N 满足条件．
32. 【答案】
(1) 由图 1 可知：∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
又 ∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS．
(2) 如图 3，连接 AF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADF=90∘，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=6，∠AEC=∠ADB=90∘，
∴EF=CE−CF=2，
∵AF=AF，AD=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△ADFHL，
∴DF=EF=2．
33. 【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．
34. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作，A1 点的坐标为 −3,2；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；
△AA1A2 的面积 =12×262=13．
35. 【答案】C
【解析】A，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
36. 【答案】 28
【解析】作 AD⊥BC 于 D，
∵∠ABC=45∘，AB=42，
∴AD=22AB=22×42=4，
∵ 线段 AB 向右平移 7 个单位得到 AʹBʹ，
∴ 四边形 ABBʹAʹ 是平行四边形，BBʹ=7，
∴ 四边形 ABBʹAʹ 的面积是 7×4=28．
37. 【答案】 65°
【解析】 ∵Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转 35∘ 得到 △ABʹCʹ，
∴∠BABʹ=35∘，∠Bʹ=∠B=60∘，∠BAC=90∘，
∴∠BʹAD=90∘−35∘=55∘，
∴∠ADBʹ=180∘−60∘−55∘=65∘．
38. 【答案】B
【解析】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
39. 【答案】 15°
【解析】根据旋转可知：
∠AʹBC=∠ABC=30∘，AʹB=AB，
∴∠BAʹA=∠BAAʹ=12180∘−30∘=75∘，
∵∠BAʹC=∠BAC=60∘，
∴∠AAʹCʹ=∠BAʹA−∠BAʹC=75∘−60∘=15∘．
40. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 成中心对称图形，对称中心的坐标为 −12,−12．
41. 【答案】
(1) ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，
∴∠FCD=90∘，CF=CD，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D，
∴AD=BD，CF∥AD，
∴CD=AD=BD，
∴CF=AD，
又 ∵∠AGD=∠CGF，
∴△ADG≌△FCGAAS，
∴AG=GF．
(2) ①过点 E 作 EM⊥CB 交 CD 于点 M，连接 MF，
由（1）知 D 为 AB 的中点，
∴∠DCB=45∘，CD=AD，
∴△CEM 为等腰直角三角形，
∴CE=ME，
又 ∵∠CEM=∠DEF=90∘，DE=EF，
∴∠CED=∠MEF，
∴△CED≌△MEFSAS，
∴CD=MF，∠MEF=∠ECD=45∘，
∴AD=MF，∠CMF=90∘，
又 ∵∠ADG=90∘，
∴∠ADG=∠FMG，
∵∠MGF=∠AGD，
∴△ADG≌△FMGAAS，
∴AG=GF．
② ∵∠ACB=90∘，AC=BC=7，
∴AB=AC2+BC2=72，
∴CD=12AB=722，
∵CE=2，CE=ME，
∴CM=CE2+ME2=22+22=22，
∴DM=CD−CM=722−22=322，
又 ∵△ADG≌△FMG，
∴DG=MG=12DM=342．
42. 【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确：
C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误；
43. 【答案】 30°
【解析】由题意可得，∠CAE=50∘，
∵∠BAC=20∘，
∴∠BAE=∠CAE−∠BAC=50∘−20∘=30∘．
44. 【答案】 y=−940+5
【解析】连接 OOʹ 交 AB 于 M，
∵△BOA 绕点 A 按顺时针方向旋转得 △BʹOʹA，
∴△BOA≌△BʹOʹA，
∴AB=ABʹ，OA=AOʹ，
∵ 点 B 在 BʹOʹ 的延长线上，AOʹ⊥BC，
∴BOʹ=BʹOʹ=OB，
∵OA=AOʹ，BO=BʹOʹ=BOʹ，
∴OOʹ⊥AB，
设直线 AB 解析式为 y=kx+b，
把 A 与 B 坐标代入得：4k+b=0,b=5,
解得：k=−54,b=5.
∴ 直线 AB 解析式为 y=−54x+5，
∴ 直线 OOʹ 解析式为 y=45x，
联立得：y=−54x+5,y=45,
解得：x=10041,y=8041, 即 M10041,8041
∵M 为线段 OOʹ 的中点，
∴Oʹ20041,16041，
设直线 BʹOʹ 解析式为 y=mx+n，
把 B 与 Oʹ 坐标代入得：20041m+n=16041,n=5,
解得：m=−940，n=4，
则直线 CD 解析式为 y=−940x+5．
45. 【答案】
(1) 如图 1，
因为点 A 的坐标为 −23,0，
所以 OA=23，
由旋转得：∠BAO=30∘，
Rt△ABO 中，
所以 OB=2，AB=4，
所以 B0,2，
因为 AB⊥BC，
所以 ∠ABC=90∘，
所以 BC=433，AC=2BC=833，
所以 OC=833−23=233，
所以 C233,0，
设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，
则 233k+b=0,b=2 解得：k=−3,b=2.
所以直线 BC 的解析式为：y=−3x+2．
(2) 分两种情况：
①如图 2，四边形 DECF 是平行四边形，
因为 A−23,0，B0,2，
所以 AB 的中点 D−3,1，
同理得 BC 的中点 E33,1，
因为 C233,0，
所以 F−233,0；
②如图 3，四幼形 DEFC 是平行四边形，
同理得：F23,0；
综上，点 F 的坐标为 −233,0 或 23,0．
(3) −2−23,23，−2,2+23 或 2,2−23，2−23,−23 或 1−3,1−3，−1−3,1+3．
【解析】
(3) 在平面直角坐标系内存在两个点，使以这两点及点 A，B 为顶点的四边形是正方形，有两种情况：
①如图 4，
AB 为边，存在正方形 ABNM 和正方形 ABPQ，
过 M 作 MG⊥x 轴于 G，
因为 ∠MAB=90∘=∠MAG+∠BAO=∠BAO+∠ABO，
所以 ∠ABO=∠MAG，
因为 ∠AGM=∠AOB=90∘，AM=AB，
所以 △MGA≌△AOBAAS，
所以 MG=AO=23，AG=OB=2，
所以 M−2−23,23，
同理得 N−2,2+23，P2,2−23，Q2−23,−23，
②如图 5，
AB 为正方形的对角线，过点 P 作 MN∥x 轴交 y 轴于 N，过 A 作 AM⊥MN 于 M，
因为 AB=4，四边形 APBQ 是正方形，
所以 AP=BP=22，
因为 ∠AMP=∠BNP=90∘，∠PAM=∠BPN，
所以 △AMP≌△PNBAAS，
所以 PN=AM=ON，
设 PN=m，则 BN=2+m，
Rt△BPN 中，由勾股定理得：PB2=PN2+BN2，
所以 222=m2+2+m2，
所以 m+12=3，
解得：m1=3−1，m2=−3−1（舍），
所以 P1−3,1−3，
同理得：Q−1−3,1+3；
综上，这两点的坐标为 −2−23,23，−2,2+23 或 2,2−23，2−23,−23 或 1−3,1−3，−1−3,1+3．
46. 【答案】A
【解析】A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．
47. 【答案】B
【解析】 ∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠A=90∘−30∘=60∘，
∴△ABC 绕点 C 顺时针旋转至 △AʹBʹC 时点 Aʹ 恰好落在 AB 上，
∴AC=AʹC，
∴△AʹAC 是等边三角形，
∴∠ACAʹ=60∘，
∴ 旋转角为 60∘．
48. 【答案】
(1) 如图，△A1B2C3 为所作；
(2) 如图，△D2E2F2 为所作；
(3) ∵△ABC 平移后的图形 △A1B2C3，
∴∠C=∠A1C3B2，
∵△DEF 关于点 O 成中心对称的图形为 △D2E2F2，
∴∠E=∠D2E2F2，
∴∠C+∠E=∠A1C3B2+∠D2E2F2=∠A1C3F2，
连接 A1F2，如图，
A1F2=12+22=5，A1C3=12+22=5，F2C3=12+32=10，
∴A1F22+A1C32=F2C32，
∴△A1F2C3 为等腰直角三角形，∠F2A1C3=90∘，
∴∠A1C3F2=45∘，
∴∠C+∠E 的度数为 45∘．
49. 【答案】
(1) 如图 1 中，
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC=∠CED=90∘，
∴∠DEF+∠CEB=90∘，∠ABF+∠CBE=90∘，
∴∠DEF=∠ABF．
(2) 如图 1 中，作 AN⊥BF 于 N，DM⊥BF 交 BF 的延长线于 M．
∵∠ABN=∠DEM，∠ANB=∠M=90∘，AB=DE，
∴△ANB≌△DMEAAS，
∴AN=DM，
∵∠ANF=∠M=90∘，∠AFN=∠DFM，AN=DM，
∴△AFN≌△DFMAAS，
∴AF=FD．
(3) 如图 1 中，作 AN⊥BF 于 N，DM⊥BF 交 BF 的延长线于 M．
在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=90∘，AC=10，AB=8，
∴BC=EC=102−82=6，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=∠ACD=90∘，
∵AC=CD=10，
∴AD=102，
∴DF=AF=52，
∵∠MED=∠CEB=45∘，
∴EM=MD=42，
在 Rt△DFM 中，FM=DF2−DM2=32，
∴EF=EM−FM=2．
50. 【答案】B
【解析】A.不是中心称图形，不合题意；
B.是中心称图形，符合题意；
C.不是中心称图形，不合题意；
D.不是中心称图形，不合题意．
51. 【答案】A
【解析】第一个图形圆是中心对称图形，也是轴对称图形；
第二个图形平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
第三个图形等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；
第四个图形等腰直角三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；
故选：A．
52. 【答案】B
【解析】 ∵Rt△ABC 沿直线边 AB 所在的直线向下平移得到 △DEF，
∴AD=BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠ABC=90∘，S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ADHC=S四边形BEFH．
53. 【答案】B
54. 【答案】A
【解析】由平移得：△ABC≌△DEF，
∵△ABC 是等边三角形，且 AB=2，
∴BC=EF=DF=2，∠DEF=60∘，
∴∠CBD=∠CDB=30∘，
∵∠CDF=60∘，
∴∠BDF=90∘，
Rt△BDF 中，∠DBF=30∘，
∴BD=23．
55. 【答案】
(1) △A1B1C1 即为所求．
(2) △A2B2C2 即为所求．
(3) P−1,2．
56. 【答案】 3+43
【解析】如图，延长 DC 到 G，使 DG=AE，连接 FG，
∵AC=BC，∠C=120∘，
∴∠A=30∘，∠FCG=60∘，
∵∠A+∠1=∠EDF+∠2，
又 ∵∠EDF=30∘，
∴∠1=∠2，
在 △EDA 和 △DFG 中，
AE=GD,∠1=∠2,ED=DF,
∴△EDA≌△DFGSAS
∴AD=GF=6，∠A=∠G=30∘，
∵∠G+∠FCG=90∘，
∴∠CFG=90∘，
设 CF=x，则 CG=2x，
由 CF2+FG2=CG2 得：x2+62=2x2，
解得 x1=23，x2=−23（不合题意舍去），
∴CG=43，
∴AE=DG=3+43．
57. 【答案】
(1) ① ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
由旋转的性质得：∠FAE=∠BAC，
∴∠DCA=∠FAE，
∴MA=MC；
②设 MA=MC=x，则 DM=8−x，
在 Rt△ADM 中，62+8−x2=x2，
解得：x=254，
在 Rt△AEF 中，AF=AE2+EF2=82+62=10，
∴MF=AF−AM=154，
∵∠AEF=∠CEN=90∘，
∴∠MCA+∠CNE=∠MAC+∠AEF=90∘，
又 ∵∠MCA=∠MAC，
∴∠AFE=∠CNE=∠MNF，
∴MN=MF=154．
(2) 分情况讨论：
①如图 2 所示：过点 B 作 BH⊥AE 于 H，
则 ∠GAP=∠BHP=90∘，
在 △HBP 和 △AGP 中，
∠GAP=∠BHP,∠APG=∠HPA,GP=BP,
∴△HBP≌△AGPAAS，
∴AP=HP，BH=AG=6，
在 Rt△ABH 中，AH=AB2−BH2=82−62=27，
∴AP=12AH=7，
∴PE=AE−AP=8−7，
∴△BEG 的面积 =2△GPE 的面积 =2×12×6×8−7=48−67；
②如图 3 所示：
同①得：AH=27，AP=7，
∴PE=8+7，
∴△BEG 的面积 =2△GPE 的面积 =2×12×6×8+7=48+67．
综上所述，△BEG 的面积为 48−67 或 48+67．
58. 【答案】C
【解析】 A 、 B 、 D 中的图形都不是中心对称图形，
C 中图形是中心对称图形．
59. 【答案】B
【解析】A、不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误．
60. 【答案】D
【解析】旋转角是 ∠BABʹ=180∘−30∘=150∘．
61. 【答案】 6+43
【解析】连接 PPʹ，如图，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC，
∵ 线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60∘ 得到线段 CPʹ，
∴CP=CPʹ=4，∠PCPʹ=60∘，
∴△PCPʹ 为等边三角形，
∴PPʹ=PC=4，
∵∠ACP+∠BCP=60∘，∠ACP+∠ACPʹ=60∘ ,
∴∠BCP=∠ACPʹ，且 AC=BC，CP=CPʹ，
∴△BCP≌△ACPʹSAS，
∴APʹ=PB=5，
在 △APPʹ 中，
∵PPʹ2=42=16，AP2=32=9，APʹ2=52=25，
∴PPʹ2+AP2=APʹ2，
∴△APPʹ 为直角三角形，∠APPʹ=90∘，
∴S四边形APCPʹ=S△APPʹ+S△PCPʹ=12AP×PPʹ+34×PPʹ2=6+43．
62. 【答案】
(1) ∵ 在 Rt△ABC 中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠ACʹBʹ=30∘，∠BAC=60∘，
由旋转可得：ABʹ=AB，∠BʹACʹ=∠BAC=60∘，
∴∠EACʹ=∠ACʹBʹ=30∘，
∴AE=CʹE．
(2) 由（1）得到 △ABBʹ 为等边三角形，
∴∠ABʹB=60∘，即 ∠BBʹF=∠ABʹB+∠ABʹF=150∘，
∵BBʹ=BʹF，
∴∠FBBʹ=∠BʹFB=15∘．
(3) 连接 AF，过 A 作 AM⊥BF，
可得 △ABʹF 是等腰直角三角形，△ABʹB 为等边三角形，
∴∠AFBʹ=45∘，∠BBʹF=150∘，
∵BBʹ=BʹF，
∴∠BʹFB=∠BʹBF=15∘，
∴∠AFM=30∘，∠ABF=45∘，
在 Rt△AMF 中，AM=BM=AB⋅cos∠ABM=22×22=2，
在 Rt△AMF 中，MF=3AM=23，
则 BF=2+23．
63. 【答案】B
64. 【答案】D
【解析】 ∵ 将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120∘ 得到 △ADE，
∴∠BAE=120∘ 且 ∠BAC=35∘，
∴∠CAE=85∘．
65. 【答案】
(1) 如图，点 O 为所作；
(2) 如图，△A1B1C1，为所作，点 B1 的坐标为 2,0．
66. 【答案】B
67. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作，
线段 BC 扫过的面积 =7×4=28．
(2) 如图，△A2B2C2 为所作．
68. 【答案】 5+23
【解析】如图，设 EF 交 AB 于 M，EH 交 BC 于 N，PF 交 EH 于 O，作 PT⊥AD 于 T 交 BC 于 R．
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AC⊥BD，AE=EB，∠EAM=∠EBN=45∘，
因为四边形 EFGH 是正方形，
所以 ∠MEN=∠AEB=90∘，
所以 ∠AEM=∠BEN，
所以 △AEM≌△BENASA，
所以 AM=BN，EM=EN，∠AME=∠BNE，
因为 AB=BC，EF=EH，
所以 FM=NH，BM=CN，
因为 ∠FMB=∠AME，∠CNH=∠BNE，
所以 ∠FMB=∠CNH，
所以 △FMB≌△HNCSAS，
所以 ∠MFB=∠NHC，
因为 ∠EFO+∠EOF=90∘，∠EOF=∠POH，
所以 ∠POH+∠PHO=90，
所以 ∠OPH=∠BPC=90∘，
因为 ∠DBP=75∘，∠DBC=45∘，
所以 ∠CBP=30∘，
因为 BC=AB=2，
所以 PB=BC⋅cos30∘=3，PR=12PB=32，RC=PR⋅tan30∘=12，
因为 ∠RTD=∠TDC=∠DCR=90∘，
所以四边形 TDCR 是矩形，
所以 TD=CR=12，TR=CD=AB=2，
在 Rt△PDT 中，
PD2=DT2+PT2=122+2+322=5+23，
故答案为 5+23．
69. 【答案】
(1) 在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90∘，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠DAG+∠EAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠DAG，
在 △DAG 和 △BAE 中，
AD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE,
∴△DAG≌△BAESAS；
∴BE=DG．
(2) ① ∵AB=2AE=4，
∴AE=2，
由勾股定理得，AF=2AE=22，
∵BF=BC=4，
∴AB=BF=4，
∴△ABF 是等边三角形，
∵AE=EF，
∴ 直线 BE 是 AF 的垂直平分线，
设 BE 的延长线交 AF 于点 O，交 AD 于点 H，如图 3 所示：
则 OE=OA=AE2=22=2，
∴OB=AB2−OA2=42−22=14，
∵cos∠ABO=OBAB=144，cos∠ABH=ABBH=4BH，
∴4BH=144，
∴BH=8147，
AH=BH2−AB2=81472−42=477，
∴DH=AD−AH=4−477，
∵∠DHP=∠BHA，∠BAH=∠DPH=90∘，
∴△BAH∽△DPH，
∴ABDP=BHDH，即：4DP=81474−477，
∴DP=14−2；
② ∵△DAG≌△BAE，
∴∠ABE=∠ADG，
∵∠BPD=∠BAD=90∘，
∴ 点 P 的运动轨迹为以 BD 为直径的 AP，
BD=2AB=42，
∵ 正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转了 60∘，
∴∠BAE=60∘，
∵AB=2AE，
∴∠BEA=90∘，∠ABE=30∘，
∴B，E，F 三点共线，
同理 D，F，G 三点共线，
∴P 与 F 重合，
∴∠ABP=30∘，
∴AP 所对的圆心角为 60∘，
∴ 旋转过程中点 P 运动的路线长为：60×π×42360=22π3．
70. 【答案】B
【解析】A，是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B，是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C，不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D，是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
71. 【答案】B
【解析】 ∵ 将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转后，得到 △ABʹCʹ，
∴ACʹ=AC，∠C=∠ACʹBʹ=63∘，
∴∠C=∠ACʹC=63∘，
∴∠ACʹB=180∘−63∘=117∘，
∵∠ACʹC=∠ACʹBʹ=63∘，
∴∠BʹCʹB=∠ACʹB−∠ACʹBʹ=117∘−63∘=54∘．
72. 【答案】
(1) 如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90∘，BC=CD，
∵∠CEF=90∘，
∴∠CEF+∠ECM=180∘，
∴EF∥CD，
∴∠FEG=∠M，
又 ∵G 为 DF 中点，
∴DG=FG
∵∠FGE=∠DGM，
∴△FGE≌△DGMAAS，
∴EG=GM，EF=DM，
∵EF=BE，
∴EF=DM=BE，
∵CB=CD，
∴BE+BC=CD+DM，
∴CE=CM．
(2) 延长 MD，BE 交于点 N，连接 EC，
① ∵EG=MG，DG=FG，∠EGF=∠MGD，
∴△EFG≌△MDGSAS，
∴∠EFG=∠MDG，
∴EF∥DM，
∴∠END=∠BEF=90∘=∠BCD，
∴∠CBN+∠NDC=∠CDM+∠NDC=180∘，
∴∠CBE=∠CDM．
②结论：CG=EG，CG⊥EG．
理由：
∵△EFG≌△MDG，
∴EF=DM=EB，
又 ∵BC=DC，∠CBE=∠CDM，
∴△CBE≌△CDMSAS，
∴EC=MC，且 ∠BCE=∠DCM，
∴∠ECM=∠BCD=90∘，
∵G 为 EM 中点，
∴CG=EG，CG⊥EG．
73. 【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
74. 【答案】D
【解析】A，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
75. 【答案】
(1) 4
(2) 如图 2 中，
∵AB 绕点 A 旋转得到 ABʹ，AC 绕点 A 旋转得到 ACʹ，
∴ABʹ=AB，ACʹ=AC，
∵∠BAC=90∘，α+β=180∘，∠BʹACʹ=360∘−α+β−∠BAC，
∴∠BʹACʹ=360∘−180∘−90∘=90∘，
∴∠BAC=∠BʹACʹ，
∴△BAC≌△BʹACʹSAS
∴BC=BʹCʹ，
∵AD 是 △ABʹCʹ 边 BʹCʹ 上的中线，∠BʹACʹ=90∘．
∴AD=12BʹCʹ．
∴AD=12BC．
(3) 结论 AD=12BC 成立．
理由：如图 3 中，延长 AD 到 Aʹ，使得 AD=DAʹ，连接 BʹAʹ，CʹAʹ．
∴AD=12AAʹ，
∵BʹD=DCʹ，AD=DAʹ，
∴ 四边形 ABʹAʹCʹ 是平行四边形，
∴ACʹ=BʹAʹ=AC，
∵∠BAC+∠BʹACʹ=360∘−180∘=180∘，∠BʹACʹ+∠ABʹM=180∘，
∴∠BAC=∠ABʹAʹ，
∵AB=ABʹ，
∴△BAC≌△ABʹAʹSAS，
∴BC=AAʹ，
∴AD=12BC．
【解析】
(1) 如图 1 中，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=ABʹ=ACʹ，
∵DBʹ=DCʹ，
∴AD⊥BʹCʹ，
∵∠BAC=60∘，∠BAC+∠BʹACʹ=180∘，
∴∠BʹACʹ=120∘，
∴∠Bʹ=∠Cʹ=30∘，
∴AD=12ABʹ=12BC=4，
76. 【答案】A
77. 【答案】B
【解析】方法一：
如图所示：
∵∠B=∠Dʹ=90∘，
∴∠2+∠DʹAB=180∘．
∴∠DʹAB=180∘−∠2=180∘−110∘=70∘．
∵∠α=∠DADʹ，
∴∠α=90∘−∠DʹAB=90∘−70∘=20∘．
方法二：
经分析可知旋转角 ∠α=∠DADʹ=∠BABʹ，
由 ∠1+∠BADʹ+∠B+∠Dʹ=360∘ 且 ∠B=∠Dʹ=90∘，
可得 ∠BADʹ=360∘−90∘−90∘−110∘=70∘，
∴∠α=90∘−∠BADʹ=90∘−70∘=20∘．
78. 【答案】D
79. 【答案】
(1) 由图可知点的对应点 B1 的坐标为 2,−4．
(2)
80. 【答案】
(1) ① ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠CDA=90∘，
∵∠CDO=30∘，
∴∠ODA=∠CDA−∠CDO=90∘−30∘=60∘，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD=60∘，
∴∠DOF+∠AOF=60∘，
∵∠EOF=60∘，
∴∠AOE+∠AOF=60∘，
∴∠DOF=∠AOE．
②在 OF 上截取 OH，使 OH=OE，
在 △OEA 和 △OHD 中，
∵OA=OD,∠AOE=∠DOH,OE=OH,
∴△OEA≌△OHDSAS，
∴AE=DH．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴CD∥AB，OB=OA，
∵∠CDO=30∘，
∴∠OBA=∠CDO=30∘，
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=30∘，
∵∠OEB=75∘，
∴∠OEA=180∘−∠OEB=180∘−75∘=105∘．
∵△OEA≌△OHD，
∴∠OEA=∠OHD=105∘，∠OAB=∠ODH=30∘．
∵∠ODF=60∘，
∴∠HDF=∠ODF−∠ODH=60∘−30∘=30∘．
在 △DHF 中，
∠DFH=180∘−∠HDF−∠DHF=180∘−30∘−180∘−∠OHD=180∘−30∘−180∘−105∘=75∘.
∵∠OHD=105∘，
∴∠DHF=180∘−∠OHD=180∘−105∘=75∘，
∴∠DFH=∠DHF，
∴DH=DF．
∵DH=AE，
∴DF=AE．
(2) 把 △BOE 绕点 O 逆时针旋转 ∠BOA 得到 △AOG，再连接 FG．
∴△BOE≌△AOG，
∴∠OBE=∠OAG．
∵∠OBE=∠OAB=30∘，
∴∠OAG=30∘，
∴∠FAG=30∘+30∘=60∘．
∵∠OBE=∠OAB=30∘，
∴∠BOA=180∘−∠OBE−∠OAB=180∘−30∘−30∘=120∘．
∵△BOE≌△AOG，
∴∠BOE=∠AOG，OE=OG，AG=BE，
∴∠EOG=∠BOA=120∘，
∵∠EOF=60∘，
∴∠GOF=120∘−60∘=60∘．
在 △EOF 和 △GOF 中，
∵OE=OG,∠EOF=∠GOF,OF=OF,
∴△EOF≌△GOFSAS，
∴∠EFO=∠GFO，
∵∠EFO=75∘，
∴∠GFO=75∘，
∴∠AFG=180∘−∠EFO−∠GFO=180∘−75∘−75∘=30∘．
∵∠FAG=60∘，
∴∠AGF=180∘−60∘−30∘=90∘，
∴△AFG 是直角三角形．
∵∠AFG=30∘，
∴AF=2AG．
∵AG=BE，
∴AF=2BE．
81. 【答案】D
【解析】D既是轴对称图形，又是中心对称图形．
82. 【答案】
(1) 如图所示，△A1B1C 即为所求．
B10,−1．
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求．
B20,−3．
(3) 旋转中心坐标 0,−2．
【解析】
(3) B1B2 的中点为 0,−2，则旋转中心的坐标为 0,−2．
83. 【答案】
(1) 由旋转性质可知，
△ACB≌△A1CB1，△ACB≌△AC1B2，∠CAC1=90∘，
∴AC=A1C，AC=AC1，
∴A1C=AC1．
∵∠ACB=90∘，∠CAC1=90∘，
∴∠ACB+∠CAC1=180∘，
∴A1C∥AC1，
∴ 四边形 ACA1C1 是平行四边形，
∴A1C1∥AC．
(2) 由旋转性质可知，
△ACB≌△A1CB1，△ACB≌△AC1B2，∠CAC1=∠ACB=α，
∴AC=A1C=AC1，
过 A1 作 A1D⊥AC 于 D，过 C1 作 C1E⊥AC 于 E，
∴∠A1DC=∠C1EA=90∘，
在 △A1DC 和 △C1EA 中，
∠A1DC=∠C1EA,∠A1CD=∠C1AE,A1C=C1A,
∴△A1DC≌△C1EA，
∴A1D=EC1．
∵A1D⊥AC，C1E⊥AC，
∴A1D⊥C1E，
∴ 四边形 A1C1ED 是平行四边形，
∴DE∥A1C1．
∵D，E 在 AC 上，
∴AC∥A1C1．
(3) ∵AC∥A1C1，
∴ 设两平行线间距离为 h，
∴S△A1C1C=12A1C1⋅h，S△C1CA=12AC⋅h，
∴S△A1C1CS△C1CA=A1C1AC．
∵A1C1=37AC，S△A1C1C=6，
∴6S△C1CA=37ACAC，
∴S△C1CA=14，
∴△C1CA 面积是 14．
84. 【答案】C
【解析】根据旋转的性质可知，将正方形图案绕中心 O 旋转 180∘ 后，得到的图形是C选项所示图形．
故选C．
85. 【答案】A
【解析】 ∵ 将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，
∴AB 平行且等于 CD，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形，
当 AB=BC 时，
平行四边形 ABCD 是菱形．
86. 【答案】
(1) ∵G 为 DF 中点，∠FED=∠FCD=90∘，
∴EG=12DF，CG=12DF，
∴EG=CG．
(2) 成立，证明：
延长 EG 和 AD 延长线交于点 H，连接 CE，CH，
∵EF∥DH，
∴∠FEG=∠DHG，
在 △FEG 和 △DHG 中，
∠FEG=∠DHG,∠EGF=∠HGD,FG=DG,
∴△FEG≌△DHGAAS，
∴EF=DH，EG=GH，
又 ∵EF=BE，
∴DH=BE，
在 △EBC 和 △HDC 中，
EB=HD,∠EBC=∠HDC,BC=DC,
∴△EBC≌△HDCSAS，
∴EC=CH，∠BCE=∠DCH，
∵∠BCE+∠ECD=90∘，
∴∠ECH=∠ECD+∠DCH=90∘，
∴△ECH 为等腰直角三角形，
∵GE=GH，
∴GC=12EH=EG．
87. 【答案】 3−1≤a≤3+1
【解析】 AC 的中点 O，连接 AD，DG，BO，OM，
如图，
∵△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC，EF 的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90∘−∠CDG=∠FDC，DADC=DGDF，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF，
∴A，D，C，M 四点共圆，
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即 BM≥BO−OM，
当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，
此时，BO=BC2−OC2=22−12=3，OM=12AC=1，
则 BM=BO−OM=3−1，
根据两点之间线段最短可得：BO+OM≥BM，
当 M 在线段 BO 延长线与该圆的交点处时，线段 BM 最长，
此时，BO=BC2−CO2=3，OM=12AC=1，
则 BM=BO+OM=3+1，
∴3−1≤a≤3+1．
88. 【答案】B
【解析】A，C，D不是中心对称图形．
89. 【答案】 103
【解析】连接 AD，
∵△DEF 是由 △ABC 平移得到，
∴∠A=∠EDF=60∘，∠B=∠DEF=90∘，AD∥CF 且 AD=CF，
∴ 四边形 ADFC 是平行四边形，
∴∠DAC=∠ACB=30∘，∠ADE=∠DEF=90∘，
在 Rt△ADH 中，DH=2，
∴AD=23，
S阴影=S平行四边形ADFC−S△ADH=CF×AB−12DH⋅AD=23×6−12×2×23=123−23=103.
90. 【答案】
(1) 由题可知，
△ABC≌△AʹBʹCʹ，
∴AB=ABʹ，AC=ACʹ，∠CAB=∠CʹAʹBʹ，
∴∠CAB−∠CABʹ=∠CʹAʹBʹ−∠CABʹ，
∴∠BABʹ=∠CACʹ，
∵ABAC=ABʹACʹ，
∴△ABBʹ∽△ACCʹ，
∴ABAC=BBʹCCʹ，
∵AC=2AB=26，BBʹ=10，
∴AB2AB=10CCʹ，
∴CCʹ=20．
(2) 过 A 作 AD⊥BBʹ，
∴BD=BʹD=12BBʹ=5，
∵2AB=26，
∴AB=13，
在 Rt△ADB 中，AB2=AD2+DB2，
∴AD=AB2−BD2=132−52=12，
∴S△ABBʹ=12BBʹ⋅AD=12×10×12=60．
91. 【答案】 13−23
【解析】过 E 作 EH⊥BC 于 H，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90∘，
∵ 将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ABʹCʹDʹ，Dʹ 恰好落在 BC 上，
∴ADʹ=AD=4，
∵AB=2，
∴∠ADʹB=30∘，BDʹ=23，
∴∠BDʹC=60∘，
∵E 点为 CʹDʹ 的中点，
∴DʹE=12CʹDʹ=12CD=12AB=1，
∵DʹH⊥BDʹ，
∴∠DʹEH=30∘，
∴DʹH=12DʹE=12，BH=23−12，
∴EH=32，
在 Rt△BHE 中，
BE2=BH2+EH2=23−122+322=12−23+1=13−23.
∴BE=13−23．
92. 【答案】 y=−43x+4
【解析】根据 y=34x+3，解得点坐标 A−4,0，B0,3，即 OA=4，OB=3，
所以 OAʹ=OA=4，OBʹ=OB=3，
所以 Aʹ0,4，Bʹ3,0，
设直线 AʹBʹ 的解析式为 y=kx+b，
所以 3k+b=0,b=4,
解得 k=−43,b=4,
所以直线 AʹBʹ 的解析式是 y=−43x+4．
故答案为：y=−43x+4．
93. 【答案】 25−2
【解析】如图，连接 AF，CF，AC，
∵ 长方形 ABCD 中 AB=2，BC=4，正方形 AEFG 的边长为 1，
∴AC=25，AF=2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC−AF，
∴ 当点 A，F，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为 25−2．
94. 【答案】
(1) ①如图 1 中，
∵△BAE≌△CAF，
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，
∵∠BAC=90∘，∠EAD=45∘，
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45∘，
∴∠DAE=∠DAF，
∵DA=DA，AE=AF，
∴△AED≌△AFDSAS．
②如图 1 中，设 DE=x，则 CD=9−x．
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∵∠ABE=∠ACF=45∘，
∴∠DCF=90∘，
∵△AED≌△AFDSAS，
∴DE=DF=x，
在 Rt△DCF 中，
∵DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，
∴x2=7−x2+32，
∴x=297，
∴DE=297．
(2) ①当点 E 在线段 BC 上时，如图 2 中，连接 BE．
∵∠BAC=∠EAD=90∘，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AE=AD，AB=AC，
∴△EAB≌△ADCSAS，
∴∠ABE=∠C=∠ABC=45∘，EB=CD=6，
∴∠EBD=90∘，
∴DE2=BE2+BD2=62+32=45，
∴DE=35．
②当点 D 在 CB 的延长线上时，如图 3 中，连接 BE．
同法可证 △DBE 是直角三角形，EB=CD=12，DB=3，
∴DE2=EB2+BD2=144+9=153，
∴DE=317．
综上所述，DE 的值为 35 或 317．
95. 【答案】 48
【解析】如图将 △FAE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到 △KAB．
∵∠FAC=∠EAB=90∘，
∴∠FAE+∠CAB=180∘，
∵∠FAE=∠KAB，
∴∠KAB+∠CAB=180∘，
∴C，A，K 共线，
∵AF=AK=AC，
∴S△ABK=S△ABC=S△AFE，
同理可证 S△BDN=S△ABC，
∴S△AEF+S△BDN=2⋅S△ABC=2×12×6×8=48．
96. 【答案】B
【解析】过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．根据旋转性质可知，∠Bʹ=∠ABC．
在 Rt△BCD 中，tan∠ABC=CDBD=13，
所以 tanBʹ=tan∠ABC=13
97. 【答案】 32
【解析】如图，过点 D 作 DE⊥AC 于 E，
∵ 将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 PD，
∴DP=BP，∠DPB=90∘，
∴∠DPE+∠BPC=90∘，且 ∠BPC+∠PBC=90∘，
∴∠DPE=∠PBC，且 DP=BP，∠DEP=∠C=90∘，
∴△DEP≌△PCBAAS，
∴DE=CP，EP=BC=9，
∵AE+PC=AC−EP=6，
∴AE+DE=6，
∵AD2=AE2+DE2，
∴AD2=AE2+6−AE2，
∴AD2=2AE−32+18，
当 AE=3 时，AD 有最小值为 32，
故答案为 32．
98. 【答案】 32
99. 【答案】B
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD=3，∠C=90∘，
∴BD=CD2+BC2=32+32=32，
在 Rt△ABDʹ 中，BDʹ=BD=32，AB=3，∠ABDʹ=90∘，
∴ADʹ=AB2+BDʹ2=32+322=33．
100. 【答案】D
【解析】轴对称图形是沿某条直线翻折后两部分能完全重合的平面图形；
中心对称图形是沿某点旋转 180∘ 后能与原图形完全重合的平面图形．
A选项：是中心对称图形而非轴对称图形，故A错误；
B选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B错误；
C选项：是中心对称图形而非轴对称图形，故C错误；
D选项：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确．
故选D．
101. 【答案】 210
【解析】 ∵∠A=45∘，过 D 作 DE⊥AB 于 E，则 ∠AED=90∘，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
∵M 为 AD 中点，
∴△AME≌△DME，
∴ 恒有 Nʹ 落在 DE 上 Nʹ 处，
∴ 本题的问题变成了在 DE 上的一点，使该点到 B 点和 C 点的距离之和最小，
∵A，B 关于 E 点对称，
∴ 当 A，Nʹ，C 共线时，BNʹ+CNʹ 最小，
∴BNʹ+CNʹ=AC=22+62=210．
102. 【答案】B
103. 【答案】B
【解析】 ∵△ABʹCʹ 为 △ABC 旋转得到，
∴AC=ACʹ，
∴∠ACʹC=63∘，
又 ∵∠ACʹBʹ=63∘，
∴∠BʹCʹB=180∘−63∘−63∘=54∘．
104. 【答案】
(1) −2,−3
(2) 3,3
(3) 由题意可知 AB 扫过的面积为扇形 ABBʹ 的面积，
S=14π⋅AB2，其中 AB=32+12=10，
∴S=14π⋅10=52π，可知扫到的扇形面积为 52π．
【解析】
(1) 由题意可知，△AB1C1 由 △ABC 旋转而得，
故由小方格可算得 AC=5，即 AC=C1A=5，
△ACC1 为等腰 Rt 三角形，
∴CC1=5×2=10，
∴ 可知点 C1−3,−1，
△ABB1 也为等腰直角三角形，
∴B1 坐标为 −2,−3．
(2) 由题意可知 △A2B2C2 是由 △ABC 平移得到，
由 B21,2 可知首先把 △ABC 向右平移 5 个单位，
再向上平移 1 个单位即可，得到 △A2B2C2，
∴ 原 C−2,2 向右平移 5 个单位 Cʹ3,2，
向上平移 1 个单位 C23,3，即 C23,3．
105. 【答案】
(1) ∵∠FEB=∠MCE=90∘，
∴EF∥MC，
∴∠FEM=∠M，又 ∠FGE=∠MGD，FG=DG，
∴△FGE≌△MGD，
∴EG=GM，MD=EB，
又 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴BC=DC，
∴BC+BE=CD+DM，即 CE=CM．
(2) ① ∵EG=MG，DG=GF，
∠DGM=∠EGF，
∴△DGM≌△FGE，
可得：DM=EF=BE，DM∥EF，
延长 EF 交 DC 于 H，∠MDC=∠DHE，
又 ∵∠BEF=∠HCB=90∘，
∴∠DHE=∠EBC，
∴∠EBC=∠MDC，
又 ∵DC=BC，
∴△DMC≌△BEC，
∴∠EBC=∠MDC．
② ∵∠ECB=∠DCM，
∴∠BCE+∠DCE=∠DCM+∠DCE=90∘，
∵G 为 EM 中点，GE=GM，
∴CG⊥EM 并且 CG=EG．
106. 【答案】C
107. 【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) 略
108. 【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
109. 【答案】C
110. 【答案】
(1) 如图 1 所示：△A1B1C1 是所求的三角形．
(2) 如图 2 所示：△A2B2C1 为所求作的三角形．
111. 【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
112. 【答案】C
113. 【答案】
(1) △A1B1C1 如图所示：
(2) △A2B2C2 如图所示．
114. 【答案】①②④
【解析】∵ 把 Rt△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 Rt△DFC，
∴CF=CB=2，∠BCF=90∘，
∴△CBF 为等腰直角三角形，
∴BF=2BC=22，∠CBF=45∘，
∴ ①②正确；
∵ 直线 DF 垂直平分 AB，
∴FA=FB，BE=AE，
∴∠A=∠ABF，
而 ∠BFC=∠A+∠ABF=45∘，
∴∠A=22.5∘，
∵CE 为斜边 AB 上的中线，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠A=22.5∘，
∴∠CEF=180∘−90∘−2×22.5∘=45∘，
∴ ③错误；
作 EH⊥BD 于 H，如图，
∵ 把 Rt△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 Rt△DFC，
∴CD=CA=2+22，
∵ 点 E 为 AB 的中点，
∴EH=12AC=2+1，
∴△ECD的面积=12⋅2+1⋅2+3=22+3，
∴ ④正确．
115. 【答案】C
【解析】根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65∘，∠C=∠E=70∘．
如图，设 AD⊥BC 于点 F．
则 ∠AFB=90∘，
∴ 在 Rt△ABF 中，∠B=90∘−∠BAD=25∘，
∴ 在 △ABC 中，∠ BAC=180∘−∠B−∠C=180∘−25∘−70∘=85∘，即 ∠BAC 的度数为 85∘．
116. 【答案】C
【解析】如图，设小方格的边长为 1，
得，OC=22+22=22，AO=22+22=22，AC=4，
∵OC2+AO2=222+222=16，AC2=42=16，
∴△AOC 是直角三角形，
∴∠AOC=90∘．
117. 【答案】
(1) 23
(2) 3
【解析】
(1) 如图 2，
在矩形 ABCD 中，∠A=∠D=90∘，
∵AP=1，AB=3，
∴PB=12+32=2，
∵∠ABP+∠APB=90∘，∠BPC=90∘，
∴∠APB+∠DPC=90∘，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP:CD=PB:CP，即 1:3=2:PC，
∴PC=23．
(2) 设线段 EF 的中点为 O，连接 OP，OB，如图 1，
在 Rt△EPF 中，OP=12EF，
在 Rt△EBF 中，OB=12EF，
∴OP=OB，
∴O 点在线段 BP 的垂直平分线上，如图 2
当点 E 与点 B 重合时，点 F 与点 C 重合时，EF 的中点为 BC 的中点 O，
当点 E 与点 A 重合时，EF 的中点为 PB 的中点 O，
∴OOʹ 为 △PBC 的中位线，
∴OOʹ=12PC=3，
∴ 线段 EF 的中点经过的路线长为 3．
118. 【答案】
(1) ∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在 △AFD 和 △CED 中，
∠2=∠1,∠4=∠3,CD=AD,
∴△CDE≌△ADFAAS．
(2) ∵△CDE≌△ADF，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形．
(3) 当旋转角 α=90∘ 时，四边形 AFCE 是正方形，这时 BC=2CE，理由如下：
∵ 由（2）知，四边形 AFCE 是平行四边形，
∴ 当 α=90∘ 时，平行四边形 AFCE 是菱形，
又 AC=BC，
∴∠BAC=∠B=22.5∘，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=22.5∘+22.5∘=45∘，
∴△CED 是等腰直角三角形，则 CD=ED，
∵ 四边形 AFCE 是平行四边形，
∴AC=2CD，EF=2ED，
∴AC=EF，
∴ 菱形 AFCE 是正方形，
∴AE=CE，
在 Rt△ACE 中由勾股定理：AC=AE2+CE2=2CE，
∵AC=BC，
∴BC=2CE．
119. 【答案】A
120. 【答案】C
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